浅谈数学思维中的猜想

1、浅谈数学思维中的猜想摘要：研究猜想的规律和方法，对于培养能力、开发智力、发展思维就有重要意义。关键词：猜想 规律 对象猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等。依据已有的材料和知识作出符合一定的经验事实的推测性想象的思维方法。数学猜想是在数学证明之前构想数学命题的思维过程。数学猜想和证明是数学学习和研究中的两个相辅相成互相联系的方面。数学猜想的基本形式有：一、 类比性猜想。是指运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性部分相同或整体类似，得出新命题或新方法的猜想。例如： 若为ABC三边上的高，则，得出猜想命题：为ABC三内角的平分线，则 ；由已知命题：“三角形的

2、三条角平分线相交于一点，且此点为三角形内切圆的圆心”， 猜出猜想命题：“四面体的六个二面角的平分面相交于一点，且此点为；四面体的内切球的球心”。反过来，在求解或证明某一问题时，往往可以联想它的类比问题而解题的方向或途径。例如：设求证： .分析：观察特征不等式的结构，抓住其形式特点，即，上式左边为动点P(x，y)与定点A(8，2)与B(2，5)的距离之和，当P在AB连线上时，结论成立，当P不在AB连线上时，利用三角形两边之和大于第三边即得 。二、 归纳性猜想。是指运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例，特例进行观察分析，从而得出有关命题的形式，结论或方法的猜想。例如：从，猜想出111222

3、=333×（333+1）n个n个n个n个由假设 ，先推出，再作出归纳猜想 。 三、 探索性猜想，是指运用尝试探索法，依据已有知识和经验，对研究的对象或问题作出的逼近结论的方向性或局部性的猜想。例如：假定我们已经有了一个猜想A：圆台的侧面积是，其中R为下底半径，r为上底半径，h为高。要验证这个公式（或猜想）的正确性，可通过一些特例的演绎来确认。我们可以由此推出：B：当时，圆柱的侧面积是 。C：当时, 圆柱的侧面积是 。D：当时，半径分别为R和r的两个同心圆之间的圆环面积是。E：当时，半径为R的圆面积是；由于，而B、C、D、E均为真，因此A是极为可靠的结论。四、 仿造性猜想，是指由于受到

4、物理、生物学或其他学科中有关的客观事物、模型或方法的启示，依据它们与数学对象或问题之间的相似性作出的有关数学规律或方法的猜想。例如：从力的分解与合成猜想有关图形的几何性质，抛射运动来猜想和解决有关抛物线的几何性质等都是仿造性猜想的典型事例。例如：蜂房问题是由法国自然科学工作者马拉尔蒂（Marardi）在18世纪初提出的。蜂房的外形为正六棱柱，其一端为开口的正立六边形，另一端由三个全等的菱形彼此毗邻相接于顶点组成顶盖。经测量发现菱形的钝角都等于，锐角都等于。法国物理学家雷奥姆赫（Reaumer）猜想，这是蜜蜂为尽量节省建筑材料而选择的设计。他提出了下列问题：“试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个六棱柱，使所得的这一立体有预定的容积，而其表面积为最小。”通过数学计算最后确实证实了这一结论。猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。因此，研究猜想的规律和方法，对于培养能力、开发