三角形的中位线

1、三角形中位线定理课课A 。BC 。D。E如图，在如图，在A、B外选一点外选一点C，连结，连结AC和和BC，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么，但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将教大家一种测量的方法。办？这堂课，我们将教大家一种测量的方法。并分别找出并分别找出AC和和BC的中点的中点D、E，如果能测，如果能测量出量出DE的长度，也就能知道的长度，也就能知道AB的距离了。的距离了。今天这堂课我们就要来探究其中的学问。今天这堂课我们就要来探究其中的学问。三角形的中位线中位线和三角形的中线中线不同不同CBAF

2、ED定义：连接三角形两定义：连接三角形两边中点的线段边中点的线段叫做三角形的叫做三角形的中位线中位线注意演示演示AF是是ABC的的中线中线我们把我们把DE叫叫 ABC 的的中位线中位线 注意：注意：三角形的三角形的中位线中位线是连结三角形是连结三角形两边中点两边中点的线段的线段三角形的三角形的中线中线是连结是连结一个顶点一个顶点和和它的对边中点它的对边中点的线段的线段 区分三角形的中位线和中线：区分三角形的中位线和中线： 理解三角形的中位线定义的理解三角形的中位线定义的两层两层含义含义: : DE DE为为ABCABC的中位线的中位线 DD、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 D

3、EDE为为ABCABC的中位线的中位线 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 一个三角形共有一个三角形共有三条三条中位线。中位线。ABCD。E。FE点是线段点是线段AC的的中点中点 AD=DB且且 DEBCAE=EC ABCDE经过三角形一经过三角形一边的中点与另边的中点与另一边平行的直一边平行的直线必平分第三线必平分第三边边.如图如图,已知，在已知，在ABC中，点中，点D为线为线段段AB的中点，自的中点，自D作作DE BC，交，交AC于于E，那么点，那么点E在在AC的什么位置的什么位置上？上？ 为什么？为什么？这时这时DE是是ABC的的_中位线中位线三角形的中位线平行于第

4、三边，并且等于第三边的三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半一半ABCDEF已知：已知：在在ABC 中，中，DE是是ABC 的中位线的中位线求证：求证：DE BC，且，且DE=1/2BC . 证明：证明：如如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使EF=DE ，连连 结结CF.DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFEAD=FC 、A=CEFABFC又又AD=DB BD=CF所以所以 ，四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DE BC 且且 DE=1/2BC同一法同一法定理定理证法二：证法二：过点过点C作作AB的平行线交的平行线交DE的的延长线于延长线于FCF

5、AB，A=ECF又又AE=EC，AED=CEF AD=FC又又DB=AD，DB=FC所以，四边形所以，四边形BCFD是平行四边形是平行四边形证法三：证法三：如图，过点如图，过点C作作AB的平行线的平行线交交DE的延长线于的延长线于F，连结，连结AF、DCAE=ECDE=EF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形AD=FC又又D为为AB中点，中点，DB=FC所以，四边形所以，四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 ABCEDF FA AB BC CE ED DF F证法四：证法四：如图，过如图，过E作作AB的平行线交的平行线交BC于于F，自，自A作作BC的平行线交的平行线交FE于于GAGB

6、CEAG=ECFAEG CEFAG=FC，GE=EF又又ABGF，AGBF四边形四边形ABFG是平行四边形是平行四边形BF=AG=FC，AB=GF又又D为为AB中点，中点，E为为GF中点，中点，DB=EF四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形DEBF，即，即DEBC，DE=BF=FC即即DE=1/2BCA AB BC CED DF FG G过过D作作DEBC，交，交AC于于E点点D为为AB边上的中点边上的中点所以所以DE与与DE重合，因此重合，因此DEBC同样过同样过D作作DFAC，交，交BC于于FBF=FC= 1/2BC (经过三角形一边的中点与经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必

7、平分第三边另一边平行的直线必平分第三边)四边形四边形DECF是平行四边形是平行四边形 DE=FC DE=1/2BCE是是AC的中点（经过三角形一的中点（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）平分第三边）ABCDEEF证明：证明：如果如果 DE是是ABC的中位线的中位线那么那么 DEBC， DE=1/2BC 证明证明平行平行问题问题 证明一条线段是另一条线段证明一条线段是另一条线段的的2倍倍或或1/2用用 途途ABCDE1.如图如图1：在：在ABC中，中，DE是中位线是中位线 （1）若）若ADE=60， 则则B= 度，为什么？度，为什么？ （2）若）若B

8、C=8cm， 则则DE= cm，为什么？，为什么？ 2.如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则则DEF的周长的周长= cm图1图260412ABCD。EBACD 。E。F5433. 梯形梯形ABCD中中ADBC，对角线，对角线AC、BD相交于点相交于点O，A、B、C、D分别是分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形中点，则四边形ABCD是是_若梯形若梯形ABCD周长为周长为10，由四边形，由四边形ABCD的周长为的周长为_ABCDOABCD梯形梯形5A 。BC 。D。E4. 在在A、B外选一点外选一点C，连结

9、，连结AC和和BC，并分别找出，并分别找出AC和和BC的中点的中点D、E，如果能测量出，如果能测量出DE的长度，的长度，也就能知道也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的的距离了。为什么？如果测的DE =20m，那么那么A、B两点间的距离是多少？为什么？两点间的距离是多少？为什么？2040随着学习的不断深入，同随着学习的不断深入，同学们将会有更多的办法来学们将会有更多的办法来解决这个问题解决这个问题例例1.求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形四边形是平行四边形求证：求证：四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形ADCBE

10、FGH证明证明: :连结连结ACACAH=HD CG=GDAH=HD CG=GDHGACHGACAC21HG( (三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边, ,并且等于它的一半并且等于它的一半) )同理同理EFACEFACAC21EFHGEFHGEF且且HG=EFHG=EF四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点. .已知已知：在四边形在四边形ABCDABCD中中,E.F.G.H,E.F.G.HABCDEGHFDCBAHGFE 在四边形在四边形ABCD另加条件另加条件AC=BD， 四边形四边形EFGH是是菱形

11、菱形，为什么？为什么？ 在四边形在四边形ABCD另加条件另加条件ACBD，四边形四边形EFGH是什么是什么特殊四边形特殊四边形？为什么？为什么？ 若四边形若四边形EFGH是是正方形正方形，AC与与BD应满足什么应满足什么条件条件？ 2. 连结连结BD 证：证：EH = FG 3.连结连结AC、BD ，证：，证：EFHG， EHFG 4.连结连结AC、BD， 证：证：EF=HG， EH=FG 1 1.连结连结AC， 证：证：EF= HG如果四边形如果四边形ABCD是特殊的四是特殊的四边形，将会有特殊的平行四边边形，将会有特殊的平行四边形形EFGH出现吗？出现吗？作业作业1. 如图如图,AF=FD

12、=DB,FGDEBC,PE=1.5,则则BC= BC= 34.5991.52. 已知：如图已知：如图 E、F把四边形把四边形ABCD的对角线的对角线BD三等分，三等分，CE、CF的延长线分别平分的延长线分别平分AB、AD . 求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 .ABDCEFGH3. 已知：如图已知：如图 E、F分别是分别是AC、BD的中点，的中点，CD AB，E、F不都是对角线的交点不都是对角线的交点 .求证：求证： EF 1/2（CD AB） .图图2DABCFEG图图3注意：注意：在处理这些问题时在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线要求出现三角形及中位线有中点连

13、线而有中点连线而无三角形无三角形,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形有三角形而有三角形而无中位线无中位线,要作中点的连线或过中点作要作中点的连线或过中点作平行线平行线定定 理理 应应 用：用：定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2 2倍倍或或 1/21/2提供了一个新的途径提供了一个新的途径解决解决“中点问题中点问题”三角形的三角形的中位线中位线是连结三角形是连结三角形两边中点两边中点的线段的线段三角形的三角形的中线中线是连结是连结一个顶点一个顶点和和它的对边中点它的对边中点的线段的线段三角形的三

14、角形的中位线中位线是三角形中一种重要的线段是三角形中一种重要的线段,它与它与三角形的中线三角形的中线不同不同：理解三角形的中位线定义的理解三角形的中位线定义的两层两层含义含义: : DE DE为为ABCABC的中位线的中位线 DD、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 DEDE为为ABCABC的中位线的中位线 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点一个三角形共有三条中位线。一个三角形共有三条中位线。ABCD。E。F 如果如果 DE是是ABC的中位线的中位线 那么那么 DEBC， DE=1/2BC 证明平行证明平行 证明一条线段是另一条线段证明一条线段是另一条线段的

15、的2倍或倍或1/2ABCDE 三角形的中位线定理三角形的中位线定理 是三是三 角形角形 的一个重要性质定理：的一个重要性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半一半. 定理的主要用途：定理的主要用途：让学生自选一个顺次连结特殊四边形让学生自选一个顺次连结特殊四边形中点的问题，总结形成文字命题，并加中点的问题，总结形成文字命题，并加以证明以证明把证明三角形中位线定理的几种方法把证明三角形中位线定理的几种方法整理出来整理出来选做题：选做题：END顺次连结平行四边形四边中点所得的顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是四边形是顺次连结等腰

16、梯形四边中点所得的四顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是边形是顺次连结矩形四边中点所得的四边形顺次连结矩形四边中点所得的四边形是是顺次连结菱形四边中点所得的四边形顺次连结菱形四边中点所得的四边形是是顺次连结正方形四边中点所得的四边顺次连结正方形四边中点所得的四边形是形是平行四边形菱形菱形矩形正方形填空题：填空题：已知已知:梯形梯形ABCD,ADBC,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O, A、B、C、D分别是分别是AO、BO、CO、DO的中的中 点点,求证求证:四边形四边形ABCD是梯形是梯形 梯形梯形ABCD的周长的周长=梯形梯形ABCD的周长的的周长的2倍倍ABCDODCBA证明证明: AD为为OAD的的_ AD _1/2AD 同理：同理：BC =_ ADBC AD _BC，由，由ADBC AD _BC 四边形四边形ABCD是梯形是梯形 _为为OAD的中位线的中位线AD=_AD 同理：同理：AB=_=2BC, CD_2CD AD+AB+BC+CD=2(AD+