(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型

1、平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终uuruuu点的大写字母表示，如：ABJL何表示法 AB , a；坐标表示法a xi yj （x, y）.向uur量的大小即向量的模（长度），记作| AB |,即向量的大小，记作Ia | .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行、零向量a= 0rrI a I =0.由于0的方向是任意的，且规定 0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别）单

2、位向量：模为1个单位长度的向量.向量a0为单位向量I a0 I = 1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b .由于向量可以进行任意的平移 （即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量，.相等向量经过平移后总可以重合，记为 a b.大小相等，方向相同（x1,y1） （x2, y2）x1x2VlV2182向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uuir r r uur uur uuu 设 AB a, BC b,则 a + b=

3、AB BC = AC.(1) 0 a a 0a；（2）向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则.向 量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuruuuruuur uuiruuuuuuABB

4、CCDL PQQRAR，但这时必须“首尾相连”3向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量 记作 a,零向量的相反向量仍是零向量 .关于相反向量有：(i )( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a = 0； (iii) 若a、b是互为相反向量，则 a= b,b= a,a + b=0,向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 .作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)，4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入 a ,它的长度与方向规定如下：(I)

5、 a a ;(n)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0,方向是任意的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b = a.6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 1, 2使：a1己2 02,其中不共线的向量 3,62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算 .(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件.(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(

6、即重合) ，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.平面向量的坐标表不1平面向量的坐标表下:r r ,在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴万向相同的两个单位向量 i,j作为基底.由平面向一一，、r r r ，一 r、“，, 一重的基本te理知，该平面内的任一向重 a可表不成a xi yj ,由于a与数对(x,y)是 对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y),其中x叫作自在x轴上的坐标，y 叫做在y轴上的坐标,(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向

7、线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关2 .平面向量的坐标运算:xx2, yiy2rre, rr(1)右 ax1, y1,bx2,y2，则 abuuu(2)若 A xi, yi , B x2, y2 ,则 AB %X, y2必 若 a =(x,y)，则 a=( x, y)-4rJ'rxi y2x2 yi0右 ax1，yi ,bx2,y2 ,则 a/b(5)若 ar xi,yi ,br rx2,y2 ，贝U a bxi x2yi y2rb，则 xi x2 yi y203 .向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运算 回几何方法坐

8、标方法运算性质向i .平行四边形法则J"、量2三角形法则a b (x x2,y 必)abba的加(a b) c a (b c)法ujjruuurULLTAB BC AC向三角形法则r r量a b (x &,% %)a b a ( b)的jjj uuj减AB BA法Ljur uuriuuuOB OA AB向 量 的 乘 法a是,个向重, 满足：>0时，a与a同向；<0时，a与a异 向；=0 时，a = 0,a ( x, y)(a) ( )a()aaa(a b)aba / b a b向 量 的 数 量 积a?b是一个数a 0或b 0,a?b=0a 0且b 0时，a?b

9、 |a|b|cos a,bra?b x& %弦a?b b ?a(a)?b a?( b) (a?b)(a b) ?c a?c b ?c2.12 .22a | a| , |a|y|a?b| |a|b|三.平面向量的数量积I cos叫做a与b的1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为一- ，一 一r rr2向量的投影：lb Ir ra b厂cos =£|a|数量积（或内积），规定0 a 0,，r，、一， ，一R,称为向量b在a方向上的投影,投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a rb等于r ,、r , r、, u, 一a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模

10、与平方的关系:5乘法公式成立:2r b2ra2r b2ra rb ra r bra2rara2ra6.平面向量数量积的运算律:一r r r r交换律成立： a b b a_ rrr rrr对实数的结合律成立：aba babR . r r r r r r r r r r分配律成立：a bc acbc cab，、人八 rr r rr r r特别汪息：(1)结合律不成立：a b ca b c；一八 ,r,rr r 八日，Ir(2)消去律不成立aba c不能彳#到bcrr r r(3)a b=o不能彳#到a=0或b =0.7两个向量的数量积的坐标运算：rrr r已知两个向重 a (x1,y1),b (

11、x2, y2)，则 a . b =22 y1y28向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OuA=a, OBu=b，则/aob=nnr r(0°180°)叫做向量a与b的夹角.r r cos = cos a, br r a?b r bx1x222xiyiyy222工 乂2丫2当且仅当两个非零向量a与b同方向时，° =00,当且仅当a与b反方向时° =1800,同时0与 其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a b,10两个非零向量垂直的充要条件a ± b a . b=o xx2 y1y20,平面向

12、量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的uur uur(4)四边形ABC皿平行四边形的条件是 AB CD.uuu ULLT(5)若AB CD ,则A、B、C D四点构成平行四边形.(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.r r r rr r(7)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.r r r r(8)若 ma mb,则 a b.r r(9)若 ma na ,则 m(10)r ra与b不共线，则r ra与b都不是零向量.(11)a b |a| |b|,则 a/b

13、.(12)r r r r|a b| |a b| ,r r则a b.题型2.向量的加减运算1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”，则|ar b|2.化简uuu (ABuuuruurMB) (BOuur uuuuBC) OM3.已知uuu|OA|uuuuuu5 , | OB | 3 ,则| AB |的最大值和最小值分别为4.已知uuuruuu uuuruuur r uurAC为AB与AD的和向量，且 AC a, BDrb,则uuuABuuur,AD5.已知点C在线段AB上，且uuurAC3 uuuuuur3 AB ,则 AC5uuu BC ,uuuABuuiu BC.题型3.向量的数

14、乘运算r r1.计算：(1) 3(a b)r 2(ar b)r r2(2 a 5br r 3C) 3( 2a 3b21)一 r一 、r2.已知 a(1, 4), b(3,8),则题型4.作图法球向量的和r r已知向量a,b ,如下图，请做出向量 3a °3 rb 和 2a - b .题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在 ABC中，D是BC的中点,请用向量uur uurAB,AC表示uurAD .uuur2.在平行四边形 ABCD中，已知ACuur a,BDr uur uuurb ,求 AB?口 AD .题型6.向量的坐标运算uuu1.已知AB(4,5),A(2,3),则点B

15、的坐标是uuir2.已知PQ(3,5) , P(3,7),则点Q的坐标是3.若物体受三个力F1(1,2) , F2( 2,3) , F3( 1, 4),则合力的坐标为r ,八、 r ,八、 ,r ,rr ,r r r4 .已知 a ( 3,4) , b (5,2),求 a b , a b , 3a 2b.5 .已知 A(1,2), B(3,2)，向量 & (xuuu2,x 3y 2)与AB相等，求x, y的值.uuuuur6.已知 AB (2,3) , BCuuiruuir(m,n), CD ( 1,4),则 DA7.已知O是坐标原点，A（2, 1）,B（uur uur r uuu4,

16、8),且AB 3BC 0,求OC的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底 ur rn1 .已知e,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：ure1ituu urur ur ur uu ur ur uu uu ur uu uuA. ee2和eqB. 3e2q和4q6gc. e3e2和e23eD. e2和q.rr .2 .已知a （3,4）,能与a构成基底的是（）A ,3 4、B.4 3.C,344.A. （-,-）B.（一，一）C.（一，一）D. （ 1,一）5 55 5553题型8.结合三角函数求向量坐标uuuuuu1 .已知O是坐标原点，点 A在第二象限，| OA |

17、 2 , xOA 150°,求OA的坐标uuu _uuu2 .已知O是原点，点A在第一象限，|OA| 4J3,xOA 60°,求OA的坐标.题型9.求数量积r rr rr r r r1.已知 |a| 3,|b| 4,且 a与 b 的夹角为 60°,求(1) a b , (2) a (a b),r 1 r rJ、，r r、(3) (a -b) b , (4) (2a b) (a 3b).2rrrr, r,r r r,r、2.已知 a(2, 6), b( 8,10),求(1) | a|,| b|, (2) ab, (3) a (2ab),r r rr(4) (2a b

18、) (a 3b).题型10.求向量的夹角一 .r .1.已知|a |r 8,|b| 3,“ ，r 一。一12,求a与b的夹角.rrr，一2.已知 a (J3,1),b( 2j3,2),求 a与 b 的夹角.3.已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC.题型11.求向量的模一，r r 一 r . Ir1 .已知|a| 3,|b| 4 ,且a与b的夹角为60°,求(1) |Arrb|, (2) 12ar3b |.一，r2 .已知ar, r rr(2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (5) |aJ , ,、 r 1 rb |, (6)

19、| a -b |.23 .已知 |a| 1,|b| 2, |3a 2b | 3,求 13ar b|.题型12.求单位向量r【与a平行的单位向量:r星】|a|1.与a(12,5)平行的单位向量是r 12.与m ( 1，1)平行的单位向量是2题型13.向量的平行与垂直一 r一、 ，r r , rr1.已知 a(6,2) , b( 3,m),当 m为何值时，(1) a/b? (2) ab? r.r2.已知 a(1,2) , b(3,2) , (1) k为何值时，向量ka,r - r J -b与a 3b垂直?(2) k为何值时，向量kar-r r 一b与a 3b平行?.r 一 . 一， 一 3.已知a

20、是非零向量,r.rrr.rr .rr ra b a c,且 b c,求证：a(b C).题型14.三点共线问题1.已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证：A,B,C 三点共线.uuuu 2 2 r r uuur2.设 AB(a 5b), BC2r r uuur2a 8b,CDr r3(a b),求证：A B、D二点共线.uuu r r uuir3.已知 AB a 2b, BCr r uuur r r5a 6b,CD 7a 2b ,则一定共线的三点是2)在直线AB上，求a的值.4.已知 A(1, 3), B(8, 1),若点 C(2a 1,a5.已知四个点的坐标O(0,0),

21、 A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t,使uur uuu uuurOA tOB OC 成立?题型15.判断多边形的形状uuu r uur r uuur uuur1 .若AB 3e, CD 5e,且|AD| | BC |,则四边形的形状是.2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形.3 .已知A( 2,1), B(6, 3), C(0,5),求证：ABC是直角三角形4.在平面直角坐标系内,uuuuuuuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC(1,3),求证:ABC是等腰直角三角形.题型16.平面

22、向量的综合应用rr一 一.r rr r 一1 .已知a (1,0), b (2,1),当k为何值时，向量ka b与a 3b平行?2 .已知a (j3,75),且a b, |b 12,求b的坐标.r r rr rr3 .已知a与b同向，b (1,2),则a b 10,求a的坐标.r_r_ r_ r r.r4 .已知 a(1,2), b (3,1), c (5,4),则 C a b .4.已知arr(5,10), b ( 3, 4), C (5,0),请将用向量a,b表示向量c.一r _ r _4,，5 .已知a (m,3) , b (2, 1),(1)若a与b的夹角为钝角，求 m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.一 rJr _r_r6 .已知a(6,2) , b( 3,m),当m为何值时，(1) a与b的夹角为钝角？( 2) a与b的夹角为锐角？7 .已知梯形 ABCD的顶点坐标分别为A( 1,2) , B(3,4) ,