(完整word)2015年年全国初中数学联赛试题答案

1、2015年全国初中数学联合竞赛试题2015年全国初中数学联合竞赛时间言3月22日第一试！上年旧狙史扣篥二法，:与史50-11;加第一试A一.选择题（本题满分总分,每小题了分）L设实数0.加c满足口+ u = 3, 十/十二4t十告直+之¥-（）2-c 2一1 2-5A.0B.3C 6D. 92 .若利物魂尸=丁 +配（与工越只有一个公共点,且过点乂（叫/卜n）,则Jk= （3A. 8B. 12G 16D 243 .矩形4SB中，皿=5,花= 10. £尸方更为矩形外的两点=%则斯=C ）A- WBB. 15C. 4121D.4 .已却。为坐侨原点，位于第一象限的点在反比例函

2、教F =4卜口）的图象上，位于郭二家眼的点日 -X在反比例函教了 = -：（工0）的图就二,且i_LQ&,qhanN的 的值为（）A. 1日¥。10;5 .已如实数4 3满足关系式安-工1.则r3的最小值为（）A. 3-2B6-4戊C. 1D 6+4726没冗是小二100的五整卸且使5疝十3理-5是15的倍数+则符合条件的所有正差数理的和是（）A. 2S5E350C. MOD. 635二,填空题（本鹿满分篝分，每小题7分、1 .赎鼻尻是一元二次方程必-1"的两根，则的疸为.2 .从三边长均为整数且周长为加的三角形中任取一个,它是直角三角电的稀率为.3-已司锐角回C的

3、外心为Or3。交3U于口，反尸分剧为的外心若四 ><< 即=品，二.4 .将数字L 2, 3, 一一 34> 35,弼填荏<5乂6的方格中.寻个方珞鹏一个紫？,要求当行数字从左 到三是耳、小到大的唾序r0第三列所珞6人毅苧的和为最小值为.第一试(B)一选择题(本题满分心分，每小题7分)L 设实数 S* b I G 满足 q + h 3 I S -+ SQ + C3 = 4 T RJ(+ b F )+ G 十 十 1 = f ) 2-c2 a t bA. 12B 9C6D. 32 .若乱物线尸= / + h + e与工轴五有点t且过点出四.司.月的一队rt),则夫=

4、)A.EB. 12C. 16D 243 . ACD中,AD=5,他=1Q，国产分即为矩形外的两点，Jtf=Z>7=4, AF=CE=3则即=( )A. 4而B 15C. TniD. 1CJ54.已知实教席是美系式Y*专丁=3,则x-F的最大值为C)A.3H 6C.9D 125一 m知。为生标度星位于第一象跟的点/在反比例函效丁=；5>0)的图象上：也于第二象琅的点与在反比例函数3=上式百的四臬上，旦口4_LQ5P叫t皿上如。的值为C )216.设料是小于100的正篁效且吏21-3掩-2是6的%目，则荏啻条件的所有正整数用的和是)A.7S45. E50C.1536D 1634二、填空

5、题(本题祷分U分，每小厩7分)1-设d 6是一元二次方程1-XT=O的两根T则力必的值为.3 .仄三边长均为鳖蚊且音长为四桀三角形的个数为.4 U D两点在以四为直径的半更理上，.必平分皿已 融20, .切=4号，则Jf?的长为5 .在圆阍上按序撵故和为15的五个互不怛与的正鉴意如N j出 品便吗濡+ A/cd +必+皿最九 则这个最小值为.第二试（A）一1本腱清分却分）关于上的方程4了二74MH =工有且仅有一个实欺根.求京薨府的职值范匿.二本题满分驾分）切图.连内接四边形48的对题凄乂匚班交于点口，且£ JO . .4S = ACt过点D作DFL3,交班L的延长线二点产，/的平分

6、翳分罚交必即于点M，N”（1）证明！ Za4D-3ZDACi式累虻空三生:证明：MV三山D. BD AC三. （本题清分工分）设正整数加，门满足：关于工的方费a-MG十同二二十.十n至少有一个正骑魏择 证知2（所"一片"）5*第12页共12页第二试Cb）一、（本惠满分如分）若三毁不占满是mt,求的星卜邕 l-1-a 1 + 24二、（本题帮分工5分）如茎，更内适四边形的对痴茨zIC, EZJ交与点£，且HC_LED, .必一且C三曲.过点。作破皿，交勘的延长毁于百F,4中的平分缱分别交.Q即于亘 M M（1）证睥 ZfiWO = 3ZZJWCi（2）梵果MV=一，

7、证即=8+加.三” （本题满分25分）着美手工的方霍/-34,十至少有一人正第数根？求濡足条件的正整数 E的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评至试卷时，诗依揖本评分掠港一第一派选择超和填空廛只设彳分和。分两档；第二试各题. 请接股本评分标点荻定的修牛屋次纶分一如果考生的解答方法和本解答不同，兵要忠含瑾.少囊正随.在 评卷时请辞煦本评分椁港划分的档次，维子相位的分数.第一试一，选择题；f本题满分及分，每小题7分）1. 设实数 R,瓦 t 浦足 T a+&4-c= 3 f +/ = 4,则 k-汇-* C +优= C 32 -c2 Q二一3A 0B 3C. 6

8、D, 9【答】D.丫口一力一£ = ?, 4占上+£工=4,=Q 中 G+Q+b)-Q一mcPb2 +e2 c1 -ncr 4-c2 4一也二"心 +2. c202. b 2 2 口2 &=6十（工十3十u）=9.2.若抛物跳下=/+加十&与#鞋只有一个公扶点且过点（叫龙）13（梅一8述），则褶=C ）A S.B 12,C 1爪D,24.r«l c.辕题意r有力=疝3 +励+。=（m-8）' +匕（汨一需）+白：于是可存匕=&-2也.T把物线尸一/十笈十c与h域宾有一个公共点，二炉-4c = M二。=!/=©波）

9、一4Sjt n = mJ 4-5wn-r = sm2- ImJjn+（4- in）1 =16 .生悬形_.过匚3 -, .4D = ?. .43 = 10, £、 F匕工为运已八二同占，正= DF = Q，旺=CE =；A 4715B.15.c j5n. d. 10/2把于第二黑二是百则XF-C ）【雷】C.品3AFD = /BEC = 9y dBEC =也 DFA. 3 "AF = /RCE .延长E4,砂交于有G.V Z.GAB = P00ZIMF= ZADF. ZG5M- 900- ZC5£= BCE = ZDAF.二一AFD,且4G营= 90",

10、二金。8, BG = 6rA GF = 11, GE = l(h :,EF =，GF+GF：=阴14.己第。为坐标原点，位于第一象限的直3在反比饵函数y=（H n 0）的图集上,44点月在反比例函数丁-（工。 的图象上且口 _L8,的调为A-.B .C.l.DZ22【答】4过点万分划作翩,£D_Lh轮.垂足为Cr EL由Q4，Q日得406 = 90口.亍是可得且3s占o班1所以皿乙由。=2=庐远=隹01= 注, OB ViOD-BD W- Vil 25 .三题实数工丁输显关系忒号宣 f=L则/十V的曼小值为t ）A. 3-171. B S4淄. C.1D. 6+4用一蓄R设m + T

11、=3则由题设条件可知?=工+' + 1 =上-1 所以工是关于网的一元二次方程泪；一加+±-1 = 0的两个实效报，于是有：3=142+1）占0.解号 s/i或"2-Z旗.民因为炉+/=+r,一与=52c+D=a尸一九所以，当e=220 （即工=y=10）时.1+j上电得最小值，®/h（tt（2-2j2-l）1-3=6-4j2,6 .设忖是小于IM的正整数且使5储十物-5是H的倍数的符合彖伴的所有正整数在的和是f）A.2S5.B350.C.540.D635.答】口丁 5於+3内一5是15的些乱:5|（5/+3力-5）,二5|加.二5|% 设内=5泪C熠是正

12、整费工现5H+3林一 5 n125*+15/-5 = 120疝+15清十5（既二-1）.75万十3/1-5是15的倍数一二E二7是3的倍数，优=3比十1或冠二筑十2,其中和是能贡整效，制其强+ L）=1诚+ 5或用式3£+2） = 1航410,其中立是菲位整敢，二符合要件的所密正整数弁的和是 C5 + 20+35 + 50 + 65-F80+95J + <10+25+ 40+55-F70+B5> =636.二、审空期：C本第满分28分，每小题7分） 21,设儡5是一元二次方程V-K 1 = U£两报，则3一44%十系的史为.【答】1L 口”是一元二次方程r0的两

13、根，二电力一11a + blf a2 -iz-bl ： b* -2?-bl t, 3,4 4占 +1 . 3d +4£J + 2*s-3dT（dJ + l）+45 + 2（iJ+l）-3dr + 3d!fe + 2= 3（£i-l）+3口+ ®+ 2 = 69+6）+5 = 11.2 .从三边长均为整数且局长为嚣的三房形中.任取一个宜是直撵三指影的概窣为.【等*钳三绪用的三边长为冬瓦£ f门之方之小，贝弘之齿4占斗W=24,力5±廿*9;e）=24,所以 8<a<12 ,数国为可能取值为S 9r U0或11.浜足翱9的豆&

14、：4及。）忑以格(8, 8 B), (9?% 61 (9, ST 7)f (10，10. 4), (10- 9, 5 (10* 8. 6L(10, 7. 7X Cllr II, 2), Cllr 10. 31 (IL, 9t 4), C1L & 5), Cllr 7r EX共12其中,只有一组是直第三:甬导典三也长：所以所求楼宣为一.12月CO的外心.若3 .已知转角占/SC的外心为0, W交RC于D, E、F分别为也/W. AB>ACt EF-BC,则/C-Z3<.【答«r.柞EAI_LHC于点AT &_LFC三点N, FF人EM亍&P点又印=S

15、C, ；PF =处=；. ZP肝= 30*,22V E、F分别为 ABD、&ACD的外心，Y，芥分别为立。.CD的中又 EFL 且A EH_L5c. I 乙ADC 三 CF讦三 301又ZADC-Z5 + ZBAD= ZB ) (180。-2ZC)-90* + Zff-ZC, ZC-ZB= 9(T-ZXDC= 600.4.将以字L 215,” ”，35.海填在6X6的方格中,每个方格填一个数字，要求总行数字.从 左到右是从小到I大的暇序，则第三列所填6个数字的黏的最小值为.【管】63.该第三列所填6小蛉字按从小到大的陵序排列后球次为/： 3OE#.医为K所在行前面需要弱两个比H小的数字

16、，所以1不小于3；因为8所在行前面需要漕两个比3小 翼演字.且W及所在行前面两个阪字都比方小，所以B不小于自同理可知：C不小于£）不小于12, E不小于15j F不小于L&因此；第三列所填6个彖字之和£+5 +C + Z）>3+6 + 9+12 + 15+13 = 63.始至即为使得第三列所填6人数字之和取塔及小值的一种埴法（后三列的数字填法不唯一）.r 12319202145625272973g22232410111Z262S301314is313435161713323335第一试一、选择题；（本题满分42分,每小题了分）, t 3 -r 1 j J _1

17、L 设瓦c满足士 a+& + c= 3 ,廿）£ = 4,则一-i-+=（.2仃2a2一匕A-12.E9C 五D3.【答】B 解答与<A）卷第1题相同一2 .题目和解答与CA)卷第3题相同.3 .题目和解答与( 卷第3题相同.4.三纪实教工*丁,海足关系式/一孙一丁二=3.则(X-尸尸的最大值为A.3.B. 6.C.9.D 12【答】D.设1/ = £ .则克可等厂出入题设守式尊。")气。工)3+3，' = 3,薯理寿孙对4-一3 = 0,由判别式 3M (3；)1 -12(£：-3)>0 号一2后 £2 4 2石，

18、故(H->>2 =5，12.邑题目和解若与CA)卷第4题相同.6.谈廿是小于100的正翌盥旦堂2屋一3注2是6的倍生，则将合釜蟀的所有正整数出的空星【)A7 肿.B.SO.C.153S.D.1634.【答】D.V 2rr -3m-2* £的倍数，:2|(2点-3疗2),，2办，:2|七 理m-2海是正笠教工 则？鼠-3m-2 -87m2 -6jh-2 -6m1 -6« + 2(m2 -1).；2始-业-2是6的倍数+初二一1是3的等数，二川二3国+1或5。344 2,其中七是非负整数工网=2(3k+1) = 6k+2或网=2(3k+2) = 6t+4r其中不是非

19、负整数二符合条伴的所肓正螯数疗的和是 C2-a+14+-»+86+92+9S) 4 <4-bl0+1612488494)=16341二,填空JS，(本题满分据分+每小题7分)1.题目和解答与GO卷第1题相同.2三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为,【答】1工设三焉恋的三边长为珥4eJr则3金之壮+方+士=工4, %式日;作+。)=24,所以8<a<13T故。的可能取值为49, 1011,建足题量的数组£4及匕)可以为二(S, & S)f (9)3 6% (9,8 7% (10. 1 口， 4). (10, 9. 5% (10, 8, B),

20、(10, 7, IX <11： 11, 2), C11T L0, 31 C1L7 O1 4L 匚 11, £, 5 C11T 7r 6)f 共12组，所以，三边长均为整数且周长为四的三箱形的个教为12泉C、门两点在以/片为直役的举选周上. .3平分/即C.金苗=工0,血 =4/，则/C为 长为.D(答】4/7、连检。D, OC ,作 DEL 巨8 于区，QF_L/C于F.V AD平分C, AZDOB = 2ZRAD = /3C.- W JJiQ FIJLOA = OD, ：.AOFODE t ：,OE = AFf ：, AC = 1OF2OE.设TC = 2r,则庞=4产=工.

21、在RtaODE中，由匐股定理得£ = JgD：-口£ = JlOO /.在中，AD2 =DEAE2t 即f4而f =(100-5) + (10-冷解得工二2一：.AC = lx=i.4在国用上技序播放和为15的五个互不相等的正整歆生,/ 、便穹浜+庆+4 +&+=最 小，则这儿量小值为.tfl 1L和为15的五个互不相等的正蚕纸只能是k2r 3, & 5.注意到五个量在圆周上是拉亨描直的，且考恚的是和式就 +加+ 6;+也十阳，不妨设。=5.素1和5的色宣不怩鸵+不妨设= 1 ：史图2)此时的.和式为4Ms十小十廿十僦/+5。：交按1和。的位置后，得到为图3

22、的持法,此时的和式为2=5 +力十万十田-5。.因为月一月 =564d_5_2=(5刃(2_1)0,所以月月,因此，文藕1和占的位置使理1和5相邻C如图3) 以后，和式的值会变心in邕3为果 -3此时的和式为月一5十3十伤十或+5弓 交换©和2的二置次后，得到妇篁&的 理法，此村的和式为目=5 +匕+加+25+10.因为月-£= =2力+5。-沫-10 = (5-坎”2”。所以其,鸟，因此1文拄*和2的忙置里港2瓶旨柜鸵以后和式的直会变小.如耒匕-2此时的和式为月5十2十2d十旅十5。；交接和二的七置以后写到幻感5拘摧法r此村的和式为片=5 + e+3/M + 10

23、.因为月-片-2+54-。-10-4色-2)0,所以月 月，因此, 文摭G和2的空置史蹲2和5相靠以后和式的直会变小.练上可汨：1和2篁在3的两边(如荃£)时，和式的值会受小。当"=%总=4时，和式的值为上=5+4+12+6+1电=3)当厘=备6=3时和式的皆为 = $+3 + 12+5+10-38.因此，所求量小值为T.第二试(A)一,(本期斌分20分'关于*蚪方径必=+2J= =工有且但有一个实数根，求实数m的取值 范皂«将所给方程记为方程工.显然有/之那且天士L若用Q,则/匚工寸2斤三源此时方程d无解，不符合题意，故再占0.5分方童D变形蹲2匠二11

24、，西过平方后空理摄2/那一 4 -词£ -揖,再平方，至连得我2-鹏）/ = （用一4），4 一过屈二2将，=J-陇代入方程, 帆一m）得号套“显然，应该有0M用2,并且此时玄曙。只可鸵有露工=44 in主灯_ 44 4沿，于是有04测此时方程有唯一摩工=-=3J8（2 - ot）踪上所述所求实效网打或直范更为0W初，20分3二、本题清分公分）如圈,则内接四边施.妨8的对角级且C.郎交于点比*目/C 一助.43 =5。过点D作刀尸一或3文物的延长线子点尸，NMD的平分线分即交/D、或>于点,廿、门）证明卜ZBAD=ZDACi幻杲空=（证明小皿证明 门）在BE上取一点中.使用与心

25、a4C,叼瓦乩PmACJD.5L.AELPD, ：ADEAP£. ZPAE Z.I>AE, '.ZPAE/E.P = jDAC . :. zIHAD - 3XDAC .分（2） SZQ4C 三%.ZR4C = 2of, ZAW = 3a, NM?M = 9（T &.BF-DF CDK= rBD AC些=生，:占 口/33D AC '在ES上啜取F0 = EDr 连接次r BQ=BF-FQ=BF-FD. DCA, ：./QDB =DaC.又；上DBC 二庄口4C,二左QDS =乙03c.：.QD L BC.二乙侬= 25。又41C, ZBL4C-2a, ：

26、,ZABC = 9Q9-tx , ZFOD = <X>0-ct j 又鹿 的 j A 2HTO=la.；FN 平 adFD, ；,ZATM = a，工步AD-ZAFMNa-yZa,XAAr）= 13（r-ZAM）-4YDAf = 冢°-q = ZA0V,：ASV=AfD.25 分三、本题满分站分）设正整数册/满足士关于工的方程（x斗那+*）=，湘""注至少有一个正整 数解，证明：2沏'+"）<：5的.解方程即X24 （fn-brt-lJX + ,MM-JM-H -0方程£的判剧式4 =（酬十耳1）' 那一也）=

27、（祖4/巩十2（那十汽）十1 =（加一n?十2c源十？0十1f r-ftfii- it 1常誉营方* it it tf ti不妨谀泮之M,由越极可知.理票数方程工至少有一个正整数邮，所以.应为克金平方敷一 注鱼到=（加一让f十2Gn 十 内十1 =（湎一片十1），+4rt （wi-m+1）2 ,A 一8一冷产十2（泮十四）-1 二（加一也+3）' （4冏-g/t+g）:若4加一加 + 8 。 即两：2也-2：四加一总43尸.TTKOn-M-i-1）2 A （m- m + 8）3 :故只可能3 =（狙一m+ 2下 , EP（m-w）2 +2（jn+ n） + l = （rn- n + 2

28、）* j望理得阳这与他"均为 正整数君到因此加4力1 -2,从而可得册工2% 所以更工?一即分M工囱为坐1!，所以有（州一 1乂"2）01整理就得加：十7）5亚i.n 2m 2 m*"站分第二试（B）、（本题满分网分）若正数1匕满足而=1.求廿=一二一的最小值.1十值1十抄解因为就=1,所以。=1.所以a11111 a .12aa/=1=1=h= 1+ = 1 =.li0 1-1-22J 1 + 0 + 上 1 4出 2: 41 J2 -I-fii fl* '+ 3z? + 2a5分设N = "1,左+'如n.门十2十$.（G 口产十3+2&之当口应时取珥尊号.aaA1 a*10分所以30c < = 3 2点"=12之 1一（32>=2&-2, A 3+2J2N因此:，fit = 1/?-匕=也时1 M = -1-取得量小国2收'2一no分 21+Gt 1+3二，七本期满分25分）如图-到为或四边电.右CZ的对角然/C、如受于点£.且/C_£D. 期=且0三国，过