(完整word版)奥数题(高难度)

1、1 .图形：（高等难度）如图，长方形 ABCtD, E为的AD中点，AF与BE BD分别交于 G H, OE垂直AD于E, 交 AF于 O 已知 AH=5cm HF=3cm 求 AG.图形答案：由于且3 If DF,利用相似三角形性质可以得到.西：工.W ：班' =5 ： 3;又因为E为期中 点，那么有QE:产D = l:2,所以屿州=5:卜加:3 ,利用相似三角形性质可以得到: G0 =且距OE m 10: 3 ,而金£? " 'm=（"5*31 = 4（an： j 所以HG = 41号二岑1a112 .图形面积：（高等难度）DB直角三角形 AB

2、C的两直角边 AC=8cm BC=6cm以AC BC为边向形外分别作正方形 ACD E与BCFG再以AB为边向上作正方形 ABMN其中N点落在DE上，Bg CF于点T.问：图 中阴影部分（AVPD与梯形BTFG的总面积等于多少？应用题：（高等难度）如右图皿是直角三角形曲的斜边.所以国k死：=于-6： = 10：.即,西二10cm .设四边形ACPN的面积为5： , A5ZC 的面积为S：,四边形CRT的面积为.而根据勾股定理，有 S + 邑* 瑞嘉=$ *S± +鼻/$3= "所以 =g +,而邑皿=义3，即 Sju” -，二=SI ,所以 Sjjf： = 5;,所以与每=

3、2Ssz =2xSx62 = 48on2 .3 .我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收 6.9元，用量超过8立方米的除交6.9元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店 1月份煤气费1_是82.26元，8月份煤气费是40.02元，又知道8月份煤气用量相当于 1月份的匕，那么超过8立方米后，每立方米煤气应收多少元应用题答案根据题意可知,这两个月份都超出了 8立方米，8月份交了爪9元加上40.02-69 =33.12元:, 1月份交了 6_9元加上般与-69 = 7536元,其中33匕元和7536元是超出的§6分.由于S月份煤气用量相当于1月份的工，可以把8

4、月份煤气用量看作T份，1月份煤气用量 15看作15份. 1月份比出月份多用了 8份，多交了 7536-33-12 = 42事元.所以这4224元就 对应8份,那么3艾12元对应3312422txS=_份，所以69元部分（8立方米）对应 7一冷盘份，1份为办米.由于4224元就对应8份，所以超过g立方米后， 每立方米煤气应收4224 + （11 乂 S） = 0一4s元.4 .乒乓球训练（逻辑）：（高等难度）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判， 而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时，发现甲共打 了 15局，乙共打了 21局，

5、而丙共当裁判 5局.那么整个训练中的第 3局当裁判的是 乒乓球训练（逻辑）答案本题是一道逻辑推理要求较高的试题首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、 甲丙之间进行的那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数丙当了5 局裁判，则甲乙进行了5 局；甲一共打了15 局，则甲丙之间进行了15-5=10 局；乙一共打了21 局，则乙丙之间进行了21-5=16 局；所以一共打的比赛是5+10+6=31 局此时根据已知条件无法求得第三局的裁判但是， 由于每局都有胜负，所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情况，必然被别的对阵隔

6、开而总共31 局比赛中，乙丙就进行了16 局，剩下的甲乙、甲丙共进行了15 局， 所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲丙隔开.所以可以知道第奇数局 （第1、3、5、局）的比赛是在乙丙之间进行的.那么， 第三局的裁判应该是甲5 . 奇偶性应用： （高等难度）在圆周上有1987 个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987 次染红，1987 次染蓝 .求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色奇偶性应用答案：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m 个珠子为红色，第二次必然还仅染这m 个珠

7、子为红色.则染红色次数为2m 次。,2mi 1987 （偶数 司数），假设不成立。，至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。6 . 整除问题： （高等难度）一个数除以3 余 2，除以5 余 3，除以7 余 2，求适合此条件的最小数整除问题答案：这是一道古算题.它早在孙子算经中记有："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知 .”意思是，用除以3的余数乘以70,用除以5的余数 乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和

8、大于 105,那么就 减去105,直至小于105为止这样就可以得到满足条件的解 .其解法如下：方法 1: 2X70+3X21+2X 15=233233-105 X2=23符合条件的最小自然数是237 .平均数：（高等难度）有4个不同的数字共可组成 18个不同的4位数.将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数.那么这18个数的平均数是：.平均数答案：一般而言，4个不同的数字共可组成忆=24个不同的4位数.如果只能组成18个不同的4位数,说明其中必有力这样才会组成m3x2x1 = 18仝不同 的4恒队在这四个不同的数中，则设最小的数版一加，倒数第

9、二个则是痛工炉，两数正好是一对反序数.根据完全平方数的特点，*。两数必是 1、瓢5、6、9之中的两个，且，在。、。之间.可以分为以下4类：当c = 4时，在1024、1034中.只有1024为完全平方额，但420L不是才当。=5时？在1025% 1035、1045中没有完全平方数2当。=6时，在1026、1036、1046, 1066、-56中也没育完全平方政予（4）当心 9时，在形为丽的数中，只有33： =1489 ,而9goi =湖，符合题意用在形为耐的数中，由于63； =3969 I 67；=44gL均不符合孑在形为 丽的数中，由于73二=5329,不符含）在形为丽的额中.由于77=59

10、2"不符合.所以，符合条件的数只能是由1。、8、口四个数组成的四位数.求这1B个数的和,有两种方法，一种是枚举法j另一种是概率法.概率法的大致思路如下；对于没有。的四位数* " J d排和域互不相同的四位数时， 共有24个数,每个数字在每个数位上出现的概率是一样的，所以，每个数字在每个数位上都出现24十4 =6次.则总和为:8*匕一。一4囹6N111 .而其中如果有一个数是0,则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除.即为:ri-占y-OmGmIIII一口-ip xxlli =45Yixa44所以，本题中18个数的总和为1*8 + 9卜6444,所以，这18个数的平均数为11

11、-8-91x6444+18 = 6444 .8 .追击问题：(高等难度)如下图，甲从 A出发，不断往返于 AB之间行走。乙从 C出发，沿C E FAC围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D点 米。EFACDB来，CQ=£1尸=120米，CE力产=30米，D8=100米追击问题答案：若甲要从背后追上乙,只有甲从Df CB寸才有可能，且当甲到达八时，在DC上乙厘D的 距离不能超过120-120+”4 = 24米.而甲第一次以上述行走方向到达。时,要用(80*120*100700)+5 =80秒p以后每隔 (80 120 + 100)x25

12、=120 秒到达一次.乙走一圈的距离为。20330)x 2 = 300米.设当甲第支次以上述行走方向到达D时,乙在上离口的距离不超过24米.由于此时甲共走了网)-120。-叨秒,所以乙走了4黑20 + 120(工-1)米，血Z走的路程比300 米的整数倍多出来的剖分在30x2-.120 = 180米和180-24 =204米之间，所以有 4邛O + 120Q-1)滁以300的余数在由4到204之缸 即(4眦r-160)除以300的余额在 180 204 之间.即480t除以300的余数在40、64之间，也即"0工除以300的余数在40、64之间.显然当x = 2时，3的+300的余数

13、为66在40、代之间.这时，乙走了 4x肾0720乂(2-1)卜800米，离D点800-300冥2-180 = 2Q米.那么当甲追上加寸喜。点20+(5-4*5=100米.9.正方形：（高等难度）若图中，和5：两块面积之差为用兀一次51工）（其中那、为正整数），请问那 之值为何？正方形答案如图所示，ABC皿一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点。以C为圆心、半径为 4cm的四分之一圆的圆弧交 EF于G,以F为圆心、半径为 2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点,10.求面积：（高等难度）卜图中，ABCD是边长为1的正方形，A, E, F, G, H分别是四条边 AB , BC,

14、 CD,DA的中点，计算图中红色八边形的面积（法2 ）妞&上图,所以,S- - Sr =（8 花）一（16 4兀）=3亢一£ （cm1故？?1-汽=3十8 = 11 .。去 1） S膻££ = 2x4 = 8c晒'j ,用/bcd =x 1x4* = 4T（cm*）,所以 m =3 f n =S f ?w-?7 = 3-S=11 .A +S： =SJSCD -S苗号且g = 4x4-4x4x-r4 = 16-4t （or?）.S +5, = 5 . fe* ” 3 京口sH 2乂42乂2乂冗4= 87L（ cm i,而一工=3赤号况口 羯书理日一工

15、-冗8 = 3兀- S 1cm二,S多神出=*阳x 2=就cm2）求面积答案如图，易知蓝边正方形面积为；，AABD面积为:，ABCD面积为之， 5820113所以ZUBC面积为-一=7可证AE： EE=1 ： 4,8 20 40黄色三角形面积为AABC的1,等于工，由此可得，所求八边形的面积是: 9120至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接 OE OF,分另IJ与AF、BG交于M N, 设AF与EC的交点为巳连接OP MOF的面积为正方形面积的 £ , n为OF中点， OPN 面积等于4FPN面积，又OPN面积与 OPM面积相等

16、，所以OPN面积为 MOF面积的3 ,为正方形面积的4£ ,八边形面积等于 OPM面积的8倍，为正方形面积的 6 .11 .阴影面积：（高等难度）如右图，在以AB为直径的半圆上取一点 C,分另1J以AC和BC为直径在 ABC外作半圆A EC和BFC.当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。阴影面积答案：两杳月形面积二+二X.钻* EC - lx ACBC3 S 322本题即 AC X BC何时有最大值一因为AC: + BC2=AS：,当ACZ = BC-时，AC、5C二二01x8）有最大值，此时ACXBC有最大值，即HC=8C时阴影面 积最大.12

17、.得奖人数：（高等难度）六年级举行一次数学竞赛， 共有若干名同学得奖， 其中得一等奖的同学比余下的得奖人 数的五分之一少三名， 得二等奖的占领奖人数的三分之一， 得三等奖的人数比二等奖的人数 同学多21名，问得奖人数是多少？得奖人数答案：解答：设获奖人数为 x,则x = （-x+21）+|（|-X + 21）-3所以x=111 （人）13 .竞赛：（高等难度）光明小学六年级选出的男生的1/11和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍.已知六年级共有156人，问男、女生各有多少人？竞赛答案：魁履工（156J2）力+ Q-i） +2=99人女生人数：156-99=57 （人）.14 .粮食问题：（高等难度）甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存