2014年北京各区中考数学二模试题分类汇编之代数综合

1、MNPM1.在平面直角坐标系 xOy中，点P(m, 0)为x轴正半轴上的一点，过点 P做x轴的垂线，分 别交抛物线y=-x2+2x和y=-x2+3x于点M, N.1(1)当m 时, 2(2)如果点P不在这两条抛物线中的任何一条上.当四条线段OP, PM,. PN, MN中恰好有三条线段相等时,求m的值.1.解：（1） 1; 1 分（2） OP=m,MN=（m2+3m）（ m2+2m） =m, OP=MN . 2 分当0Vm <2时， PM = m2+2m , PN= m2+3m .，若 PM= OP=MN ,有m2+2m=m,解得 m=0, m=1 （舍）.3 分若 PN= OP=MN

2、,有m2+3m=m,解得 m=0 （舍），m=2 （舍）4 分当2Vm <3时，不存在符合条件的 m值. 5分当m >3时，-1 PM=m2 2m , PN=m23m . .若 PM= OP=MN ,有 m2 2m=m,解得 m=0 （舍），m=3 （舍）. 6 分若 PN= OP=MN ,有 m2 3m=m,解得 m=0 （舍），m=4. 7 分综上，当m=1或m=4,这四条线段中恰有三条线段相等.yl 5 ,4 .3 .-5-4-3-2-1 O12345 x-12 .-2-3-4-522.已知关于x的万程：x (m 1)x m 0和2x (9 m)x 2(m 1) 3，其中 m

3、 0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；2(2)设一次函数 yi x (m 1)x m的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，将A、B两点按 照相同的方式平移后，点A落在点A'(1,3)处，点B落 在点B'处，若点B'的横坐标恰好是方程的一个根， 求m的值；2_一一(3)设二次函数y2x(9m)x 2(m1),在(2)的条件下，函数y1，y2的图象位于直线x 3左侧的部分与直线 y kx (k 0)交于两点，当向上平移直线y kx时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则 k的值是一一.22 _一.2,2.解：(1)(m 1) 4m m 2m 1 (

4、m 1) , 1分由m 0知必有m 1 0 ,故0.方程总有两个不相等的实数根 2分(2)令 0 ,依题意可解得A( 1,0) , B(m,0).平移后，点A落在点A'(1,3)处，平移方式是将点 A向右平移2个单位，再向上平移 3个单位得到.，点B(m,0)按相同的方式平移后，点 B'为(m 2,3) . 3分则依题意有(m 2)2 (9 m)(m 2) 2(m 1) 3. 4 分解得m1 3, m25 (舍负).2 m的值为3. 5分3(3) k -. 7 分2y1m (m 0)的图象交x若EA=EB,且4AEB的面积M在点N的左侧)，3.经过点(1,1)的直线l： y k

5、x 2 (k 0)与反比例函数于点A( 1,a), B (b, -1),与y轴交于点D.(1)求直线l对应的函数表达式及反比例函数G1的表达式；(2)反比例函数G2： y21(t 0), x若点E在第一象限内，且在反比例函数 G2的图象上, 为8,求点E的坐标及t值；反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M, N ( 若DM DN 3J2,直接写出t的取值范围.3 . (1)解：.直线 1： y kx 2 (k 0)经过(1,1),k 1 ,，直线1对应的函数表达式y x 2 .直线1与反比例函数 G1：y1m (mx-1), a b 3.A( 1,3) , B (3,-1).1分0)的图象

6、交于点 A( 1,a) , B (b ,1. m 3.，反比例函数G1函数表达式为(2) -. EA=EB, A( 1,3) , B (3, -1),，点E在直线y=x上.AEB 的面积为 8, AB 4J2, EH 242 . .AEB是等腰直角三角形.E (3,3),5分(3)分两种情况：(i )当t 0时，则0 t 1 ； 6分 一 5(ii)当 t 0 时，则-t 0.45综上，当 V t 0或0 t 1时，反比例函数 G2的图象与直线l有两个公共点 M, 44 .已知：关于 x的一元二次方程 mx2 (m 3)x-3 0.(1)求证：无论 m取何值，此方程总有两个实数根；(2)设抛物

7、线y mx2 (m 3)x-3,证明：此函数图像一定过x轴，y轴上的两个定点(设x轴上的定点为点 A, y轴上的定点为点 C);(3)设此函数白图像与 x轴的另一交点为 B,当 ABC为锐角三角形时，求m的取值范围.6 -30-3-6224.解：(1)(m3)12m (m 3) (m 3)2 0，无论m取何值，此方程总有两个实数根 2分由公式法："2 3 m(m 3)212m 3 m3) 2m2m.3,八, , x1 =一 1,X2= .4 分此函数图像一定过 x轴，y轴上的两个定点，分别为 A (1, 0) ,C (0, 3)一一 _3A ( 1, 0) ,C (0, -3)和 B

8、 (2，0)m4分(3)由(2)可知抛物线开口向上，且过点观察图象，当 m< 0时， ABC为钝角三角形，不符合题意 当m>0时，可知若/ ACB=90°时， 可证 AOCA COB.,AO CO .CO BO2 . |OC |OA ? OB .32=1 x OB|.OB=9.即 B(9,0).3.，当0 9时， ABC为锐角三角形即当m>l时， ABC为锐角三角形.35.如图，二次函数y x2 bx c经过点（-1,0 ）和点（0, -3）.(1)求二次函数的表达式;(2)如果一次函数y 4x m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标；

9、(3)将二次函数图象 y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G,如果直线y 4x n与图象g有3个公共点，求n的值.- i i I-4-3 -2 -1 O 1 -.一、 一2, 一5.解：(1)把(-1,0)和(0,-3)代入到y x bx c中，得0 1 b c3 cb2解得： 3分c3所以y x2 2x 3 2 c c y x 2x 3 y 4x m 6x (3 m) 0 (6)2 4(3 m) 0(2)由题意得:2xm 122y x 2x 3y 4x 12解得:mx3y012 ,公共点为(3,0)(3)原抛物线解析式为：y x2 2x 32原

10、抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：y x 2x 32yx2x3由y4xn得 x22x3n0(2)2 4(3n) 0n 4 6分n 3将(0,-3)代入到y 4x n中，得综上，n 3或n 4.26.关于x的一兀二次万程 x2 3(m 1)x 3m 2 0.(1)求证：无论 m为何值时，方程总有一个根大于0;2(2)右函数y x 3(m 1)x 3m 2与x轴有且只有一个交点，求 m的值； 一一，2.、_ _一(3)在(2)的条件下，将函数 y x 3(m 1)x 3m 2的图象沿直线x 2翻折，得到新的函数图象 G.在x, y轴y1上分别有点P(t, 0), Q(0, 2t),其中t 0,当线

11、段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求 t的值.：I I I II IOx(2)解：.若函数y9( m 1)2,一 1.m 一3当线段PQ经过点0,9 时，2t 9，x11, x13m 21 分- x110.无论m为何值时，方程总有一个根大于0；2 分x2 3(m 1)x 3m 2与x轴有且只有一个交点4(3m 2) 041.12-,(3)解：当m -时，函数y x 2x 1 x3依题意，沿直线x 2翻折后的解析式为： _ 22y x 3x2 6x 9,图象G如图所本.22可得，y x 3 x 6x 9与x, y轴的交点分别为3,0 , 0,9 .设直线PQ的解析式为y kx b k 0 ,

12、由 P t,0 , Q(0, 2t).直线PQ的解析式为y 2x 2t5分当线段PQ与函数图象G相切时，2x 2t x 6x 916 4 9 2t 0t 92综上：当t勺或t9时，线段PQ与函数图象2G只有一个公共点.27.已知关于x的一元二次方程x2 3x k 1 0有实数根，k为正整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y x2 3x k 1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于 y轴左侧的部分沿x轴翻 折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G.当直线y 5x b与图象G有3个公共点

13、时，请你直接写出b的取值范围.8.(1)解:二方程有实数根0 13 4k 0134份V k为正整数. k为1, 2, 3妙(2)当k 1时， 9,方程的两个整数根为6, 0当k 2时， 5,方程无整数根当k 3时，1,方程的两个整数根为2, 1k 3,原抛物线的解析式为：y x2 3x 2 4分平移后的图象的解析式为y x2 3x盼(3) ；b的取值范围为 16 b 1冷9.已知关于x的一元二次方程mx2 4x 4 m 0 .(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求 m的值；(3)在(2)的条件下，设抛物线 y mx2 4x 4 m与x轴交点为A

14、、B (点B在点A的右侧)，与y轴交于点C.点。为坐标原点，点P在直线BC上，且OP =BC,2求点P的坐标.V.22244m(4 m) 16 16m 4m 4( m 2) > 0,，方程总有两个实数根. (2)解：x4 ；4(m2)22m4 2(m 2)2m4 2(m 2)12m2设P(X0,3% 3),由勾股定理有：X04 2(m 2) m 4Xi , X22m m. 方程有两个互不相等的负整数根，m 40 .mm0,- m0,或m 40. m 40.0 m 4.m为整数，m=1或2或3. 当m=1时，x1 L43 x2,符合题意；1当m=2时，X1 2y41 X2 ,不符合题意；，

15、. 一 3 41当m=3时，X1 - X2，但不是整数，不符合题意.33m=1 .(3)解：m=1时，抛物线解析式为 y X2 4X 3.令 y 0 ,得 X11, X23 ;令 x=0 ,得 y=3.A (-3, 0), B (-1, 0), C (0, 3).BC，12 32 斤.1 .而 OP=- BC设直线BC的解析式为y kX b,b 3,b 3,k b 0. k 3. 直线BC的解析式为y 3x 3.2整理，得 20x0 36x0 13 0. 1 .13斛得x0一或x0.2101 313一 ,一P( 一2 21010.已知：关于x的一元二次方程(k2 1)x2 (3k 1)x 2

16、0.(1)当方程有两个相等的实数根时，求 k的值；(2)若k是整数，且关于x的一元二次方程(k2 1)x2 (3k 1)x 2 0有两个不相等的1整数根时，把抛物线 y (k2 1)x2 (3k 1)x 2向右平移1个单位长度，求平移后2抛物线的顶点坐标.10. (1) .原方程是关于 x的一元二次方程k2-1 W 0kw 土 1.方程有两个相等的实数根A =(k-3)2 =0 1 分k=3，k=3时，原方程有两个相等的实数根 2分(2)二方程有两个不相等的整数根，(k 3)2 0,且 kw ±. 3分(3k-1)+(k-3)3k-1+k-34k-421 x1=, 2 、=, 2 、

17、 = -, 2 、=2 (k -1)2 (k -6 2 (k -1)k+1_(3k-1)- k-3)_3k-1-k+3_ 2k+2 _ 12 (k2-1)-2 (k2-1 -2 (k2-1) - k-1 4当k=0时，可使为,X2均为整数，k=0 5 分当k 0时，抛物线为yx2 x 2.一 .一一，19顶点坐标为(1 , -) 7分2421把抛物线y x2 x 2向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的2顶点坐标为(1, -) 7分411.已知抛物线y ax2 (3a 1)x 2(a 1) (a 0) .( 1 )求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；(2)若抛物线 y ax

18、2 (3a 1)x 2( a 1)与 x 轴交于 A(m,0)、 B (n, 0)两点，m、n、a均为整数，一次函数 y=kx+b( kw 0)的图象经过点 P(nl, n+l)、Q(0, a),求一次函数的表达式.2(3a 1) 4a 2(a 1)=a2 2a 1=(a 1)20点.(2)点,，无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交解：:抛物线yax2 (3a 1)x2(a 1)与x轴交于A( m, 0)、B (n, 0)两令 y ax2(3a 1)x 2(a1) (a 0)中 y=0,有：ax2 (3a 1)x 2(a 1)x=2,m=2, n=0.m、n、a均为整数,a=-1, m=0, n=2n+l)、Q(0, a),y 4x 1.一次函数 y=kx+b(kw0) 的图象经过点 P(n-l,当 a=-1,n=2 时，有 R1,3)、Q(0,-1),当 a=-1, n=0 时，有 R- 1, 1)、Q(0, -1),解得：y 2x 1.212.已知二次函数y x 2x 3图象的对称轴为直线.(1)(2)(3)请求出该函数图像的对称轴；在坐标系内作出该函数的图像；有一条直线过点 p(1,5),若该直线与二次函数2_ 、，y x 2x 3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系