(完整版)实变函数与泛函分析基础第三版答案

1、泛函分析习题解答1、设(X,d)为一度量空间，令 U(xo, ) x|x X,d(x,xo) S(Xo, ) x|x X,d(x,x。),问U(Xo,)的闭包是否等于S(xo,)。解答：在一般度量空间中不成立U(Xo, ) S(Xo,)，例如：取R1的度量子空间X 0,1 U2,3，则 X 中的开球 U(1,1) x X;d(1,x) 1的的闭包是0,1,而 S(1,1) xX;d(1,x) 10,1 U22、设C a,b是区间a,b上无限次可微函数全体,定义d(f ,g)1max r 0 2r a t b|f g(r)(t)|11fg(r)(t)|C a,b按d( f ,g)构成度量空间。证

2、明：(1)显然 d( f ,g) 0 且 d(f, g) 01r, max|f(r)(t) g(r)(t)|f(r)(t) g(r)(t)|r, t a,b有|f(r)(t) g(t)|0,特别当r 0,t a, b时有 | f(t)g (t)l 0t a,b有 f(t)g(t)。(2)由函数)上单调增加，从而对f ,g,hC a,b有即三角不等式成立d(f,g)1 max2ra t b1 maxc 2r a t br 0 21maxn Q a t b r 0 217 max2r a t b r 0 /|f g(r)(t)|1 |f(r)(t) g(t)| h%) h g(r)(t)| 1 |

3、f(r)(t) h(r) (t) h(r)(t) g(r) (t)| .|f(r)(t) h| |h(r)(t) g(r)(t)|1 |L。)h(r)(t)| |h(r)(t)g(r)(t)|fh(r)(t)|1 |f(r)(t)h| |h(r)(t) g(r)(t)|1 max c 2r a t b r 0 21maxn Q a t b r 0 2|h(r)(t) g|11飞)h(r)(t)| |f(r)(t) h(r)(t)|11f h(r)(t)|d(f,h) d(h,g)d(f ,g) d( f, h) d(h,g)。|h(r)(t) g(r)(t)|max2r 一3、设B是度量空间X

4、中的闭集，证明必有一列开集Oi,O2,L证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：On x|d(x,B)证 B I On；n 1|hg(t)|1 |h(r)(t) g(r)(t)|On,L包含B ,而且I On n 11-,( n1,2,)，On为开集，从而只要n可实上，由于任意正整数 n,有B On,故：B I On。 n 11 另一万面，对任息的 x0 I On,有 0 d(x0,B) , (n 1,2)n 1n令n有d(Xo,B) 0。所以 B (因B为闭集)。这就是说，I OnBn 1综上所证有：B I On。 n 14、设d(x, y)为度量空间(X,d)上的距离，证明d(x,y) d(

5、X,y)也是X上的距离。1 d(x,y)证明：首先由d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离且d(x, y) d(x, y),因此显然有%(x, y)且d(x, y) 0 1 d(x, y)的充要条件是d(x, y) 0 ,而d(x, y) 0的充要条件是 x y,因此d(x, y) 0的充要条件是x y。其次由函数f(t) 六在0,)上单调增加有d(x y) d(x, y) d(x, z) d(y,z),1 d(x, y) 1 d(x,z) d(y,z)d(x,z)d ( y, z)1 d(x,z) d(y, z) 1 d(x,z) d(y, z) d(x,z) d(y,z)d(x,z) d

6、(y,z)1 d(x,z) 1 d(y, z)即三角不等式成立。所以 d(x, y)也是X上的距离。5、证明点列 fn按题2中距离收敛于f C a,b的充要条件为fn的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明：由题2距离的定义:d(f,g)1| f (t) g(t)|max-(r'/3 "则有:02r at b1 | f(r)(t) g(r) (t)|若fn上述距离收敛于f，则 d(fn,f)1| fn(r)(t)f(r)(t)|一max 1n()"L 0(n)。所以对任何非负整r 0 2r a t b 1 | H%) f (t)|数r有：max a t bf

7、n")。)f(r)(t)|1 |不。)f(r)|2rd(fn, f)0(n) o由此对任何非负实数 r有max|fn(r)(t) f(r)(t)| 0(n)。a t b从而对任何非负整数r, fn的各阶导数fn(r)在a,b上一致收敛于f的各阶导数f (r)o反之：若对每个r ,fn的各阶导数fn(r)在a,b上一致收敛于f的各阶导数f(r),则对每个r 0,1,2,L有max|fn(r)(t) f| a t b0, Nr, n Nr 有:max|fn(r)(t) f(r) (t)|a t b| fn(r)(t) f (r)(t) |从而对任意的非负实数 r有：max| n (r)山

8、 -atb1 MNt) f(t)| 1O又由于从而;d(fn,f)1 max0 2r|fn(t) i I1 I fn(r)(t)f(r)(t)l r0 2r0, R 有:1i2O从而取max( N0, N1,L NR), n N 时0,d(fn，f)1 1fn"'。) f |max f 首02 at b1 | fn()(t) f()(t)|R 1 maxc 少 a t b r 0 2MZt)f(r)(t)|rr1+ r 0 2 r R 1 2N, n N 有 d(fn,f)7、设E及F是度量空间中两个集,证明：记r d(E,F) f(r)(t)|1maxD d 9 a t b

9、r R 1 2I1 2)R1|曾。)广气)|1 |fn(r)(t)产。)|o从而点列 fn按题2中距离收敛于f如果 d(E,F) 0,证明必有不相交开集xinf Fd(x,y)C a,bo。及G分别包含E及F 。,1，-0。 x E,以x 5 d(x,F)为半径作点x的邻域U (x, x),令O UU (x, x),则O是开集且Ex FO。同理可作开集 G,使得g UU(y,y fy)(1 .y 2d(y,E)。余证OI G,如若不然即OI GOIG ,由。及G的作法可知，必有 x E, y F ,使得P U(x, x),P U(y, y),即 d(x, P)1x 2d(x,F),1 一d(y

10、,P) y 2d(y, E)。从而有d(x, y)d(x,P) d(y, P)12d(x,F) d(y,E)另一方面 d(x,F) d(x,y), d(y, E) d(x, y), 从而有1d(x, y) -d(x,F) d(y,E) d(x,y),族开集，使得对每个 x X ,有F中的开集O ,由于 d(x,y) d(E,F) r x inf Fd(x, y) 0 ,故得矛盾。因此 OIG9、设X是可分距离空间，F为X的一个开覆盖，即 F是使x O ,证明必可从F中选出可数个集组成 X的一个开覆盖。证明：因X是可分距离空间，所以在X中存在可数稠密子集B x1, x2,L xnL 。因F是X的

11、一个开覆盖。因此 x X ,存在F中的开集O,使得x O且x是O的内点。存在r 0,使rrrx U(x,r)。，因B在X中稠密，从而可在U (x,)上取出B中的点Xk,再取有理数r ,使得r 442(此处的有理数r与x, xk均有关系)于是x U(xk,r) U(x,r) O,由x X的任意性从而满足该条件的开集O的全体覆盖 X。又由于U (xk, r )的xk和r均为可数故这种开集 O的全体至多可数。10、设X是距离空间，A为X中的子集，令f(x) infd(x,y),x X ,证明f (x)是X上的连续函数。x A证明：x,xo X ,则由 d(x, y)d(x, xo) d(x0,y)可

12、得d(X,Xo)孤d(X0,y)f(x) d(x,x。)f(Xo)f (x) f (xo) d(x,xo)同理可得：f(x0)f (x ) d(x,x0)| f(x)f (x0) |d(x,x0)。因此当 xx0即 d(x,x0)0 时有| f (X) f (Xo) | 0。所以f (x) inf d(x,y),x X在x0处连续，由x0在X上的任意性得 x Af(x) inf d(x, y)在 X 上连续。 x A14、Cauahy点列是有界点列。证明：设Xn是度量空间中的(X,d)中的Cauahy点列，则 0, N, n,m N有d的，Xm)o特另ij取 1 , N则对任意的 n, m N

13、有d(Xn, xm ) 1 ,则 sup d(Xn,xm ) 1 ,即点列Xn,n N 1的直径 n.m N(Xn,n N 1) 1 ,从 而点列Xn,n N 1是(X,d)有界集。其 次对于Xn,1 n N 1,取Mmaxd(Xi, Xj,1 i, j N 1,则(Xn,1n N 1)M 即xn,1 n N1是(X,d)中的有界集。又集Xn Xn,1 n N 1 UXn,n N1,所以Xn有界。设(X,|g|)是赋范空间，Xn是(X,|g|)中的Cauahy 点列点列，则0, N, n,m N 时有|XnXm| ，今取 1 ,则N ,使得| XnXN 1 | 1 °n N,|Xn| |Xn i|M | X1 |,|X2|,L |XN |,|XN 1|1,则 n,有 |Xn |M 。所以点列Xn有界。