第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点

1、第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点教学重点： 解析函数的洛朗展式与孤立点教学难点： 解析函数的洛朗展式与孤立奇点的分类教学基本要求：掌握洛朗定理、解析函数孤立奇点的三种类型和整函数与亚纯函数的概念；能熟练求一个解析函数在其孤立奇点的洛朗展式；能熟练判断各种奇点的类型1解析函数的罗朗展式1 双边幂级数 形如的级数称为双边幂级数 正则部分是幂级数，故收敛圆对于主要部分 ， 可作代换成为一幂级数它的收敛区域为 ，因此当时，两者有公共的收敛区域即圆环： .在此圆环内有.定理5.1设双边幂级数的收敛圆环为则（1）（5.1）在内绝对收敛且内闭一致收敛于（2）在内解析（3） 级数在内可逐项求导任意次. 2

2、、解析函数的罗朗展式 定理5.2（罗朗定理）在圆环内解析的函数必可展开成双边幂函数其中且展式唯一. 定义5.1 （5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数.注意 泰勒级数是罗朗级数的特殊情形. 例5.1 将函数在下列三个区域内（1）圆 （2）圆环 （3）圆环内求的罗朗展式.解：首先（） 在圆内（）在圆环内有，故 （3）在圆环上，故 3、孤立奇点邻域内的罗朗展式定义5.2 若在奇点的某一去心邻域内解析，则称为 的一个孤立奇点.若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心邻域 内可展成罗朗级数. 例5.2 求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式解：有两

3、个奇点和.在的（最大）去心邻域内在的（最大）去心邻域内2解析函数的孤立奇点1孤立奇点的三种类型定义5.3 设是的孤立奇点，（1） 若主要部分为0，则称是的可去奇点.（2）若主要部分为有限多项，则称是的极点，此时主要部分的系数必满足，此时称为极点的级，亦称为级极点.若主要部分有无限多项，则称是的本性奇点.2、可去奇点的判断定理5.3 设为的孤立奇点，则下述等价：（1）在的主要部分为0；（2） （）在点的某去心邻域内有界.证： （1）（2）由（1）有因此 （2）（3）即例1.27（3）（1）考虑主要部分的系数其中，可任意小，故4极点定理5.4 若以点为孤立奇点，则下述等价（1）是级极点，即主要部分

4、为（）在点的去心邻域内有且解析且（）以为级零点.定理5.5 的孤立奇点为极点的充分必要条件是5、本性奇点定理5.6 的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是定理5.7 若为之一本性奇点，且在点的充分小去心邻域内不为零，则亦必为的本性奇点.如：为的本性奇点，亦为的本性奇点.6、毕卡定理定理5.8 若为的本性奇点，则对任意数（可以是），都有一个收敛的点列使定理5.9（毕卡大定理） 若为的本性奇点，则对每一个，除掉可能一个值外，必有趋于的无限点列 使3解析函数在无穷原点的性质定义5.4 设函数在无穷远点（去心）邻域内解析，则称为的一个孤立奇点.作变换，于是函数在去心邻域内解析.即是的一孤立奇点，依此可规定的类型.定义5.5 若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我们相应地称为的可去奇点、级极点或本性奇点.类似于有限孤立奇点的分类，可以对的主要部分的项数对进行分类.主要部分为例5.6 求出（1），（）的奇点（包括），并确定其类别.解：（1）所以为可去奇点.为一级极点为非孤立奇点（因是的聚点）（2）令，得该函数的所有奇点为，是一级极点是非孤立奇点，因是的聚点.至于应是可去奇点.例5.7 若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点.证： 是的孤立奇点，且不能是可去奇点，若不然，令则