(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型及函数的综合应用讲义

1、§ 2.6函数模型及函数的综合应用考纲解读考点内容解读函数模型及函数 的综合应用函数模型建模求解以 及函数的综合应用要求B五年高考统计201320142015201617题14分2017常考题型预测热度解答题 分析解读应用题是江苏高考的必考内容，试题主要考查实际问题建模求解.五年高考考点函数模型及函数的综合应用1.(2015四川，13,5分)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数，k,b为常.数).若该食品在0 c的保鲜时间是192小时，在22 c的保鲜时 间是48小时，则该食品在33 c的保鲜时间是 小时.

2、答案 242.(2014辽宁改编，12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足： f(0)=f(1)=0;I对所有 x,y C 0,1,且 xwy,有 |f(x)-f(y)|<2|x-y|.若对所有x,y C 0,1,|f(x)-f(y)|<k 恒成立，则k的最小值为 .1答案3 .(2013课标全国I理改编，11,5分)已知函数f(x尸1 Lm - 11 " 若网刈 >ax,则a的取值范围 是.答案-2,04 .(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状 ，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两

3、条相互垂直的公路为 l 1,l 2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为l,如图所示，M,N为C的两个端点，测得点M到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米，点N到l 1,l 2的距离分别 为20千米和2.5千米，以l2,l 1所在的直线分别为 x,y轴，建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线C符合函数次+ b(其中a,b为常数)模型.求a,b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解析 (1)由题意知，点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).40,广；h (400

4、 + b将其分别代入y= + b,得fd = 1 000, 解得1 000/ L -(2)由 知,y= 炉(5WxW20),则点P的坐标为'由此得A,f 3 0001Oh 4 X I O6,t 5,20.£ 000设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y'=-1 000 2 000则l的方程为y-厂=-上(x-t),4 X 心16 X d设 g(t)=t 2+，则 g'(t)=2t-.令 g'(t)=0, 解得 t=10V'？.当 t (5,10 .)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当 t C (10谯,20)时,g&

5、#39;(t)>0,g(t)是增函数；从而，当t=10也时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t) min=300，此日f(t) min=153 .答：当t=10M时，公路l的长度最短，最短长度为15遂千米.5.(2013 课标全国 I ,21,12分)设函数 f(x)=x 2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 y=4x+2.(1)求 a,b,c,d 的值；(2)若x>-2时,f(x) wkg(x),求k的取值范围.解析 (1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2, f '(0

6、)=4,g'(0)=4.而 f '(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+ d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而 a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x 2-4x-2,则F'(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)>0,即k>1.令 F'(x)=0, 得 x1=-ln k,x 2=-2.(i)若 1Wk<e2,则-2<xi W0.从而当

7、 xC (-2,x 1)时尸(x)<0;当 xC (x 1,+8)时尸(x)>0. 即 F(x)在(-2,x 1)上单调递减，在(xi,+ 8)上单调递增.故 F(x)在-2,+ 8)上的最小值为f(xi).而 F(x 1)=2x 1+2-石-4x 1-2=-x i(xi+2)>0.故当 x> -2 时,F(x) >0,即 f(x) Wkg(x)恒成立.(ii)若 k=e2,则 F'(x)=2e 2(x+2)(e x-e-2).从而当 x>-2 时,F'(x)>0, 即 F(x)在(-2,+ oo)上单调递增.而 F(-2)=0,故当

8、x>-2 时,F(x) >0,即 f(x) Wkg(x)恒成立.(iii) 若 k>e2,则 F(-2)=-2ke -2+2=-2e-2(k-e 2)<0.从而当 x>-2 时,f(x) < kg(x)不可能恒成立 综上,k的取值范围是1,e 2.教师用书专用(67)4x +a6 .(2017浙江,17,5分)已知aCR,函数f(x)=* +a在区间1,4上的最大值是 5,则a的取值范围是./9答案' 27 .(2013天津理改编，8,5分)已知函数f(x)=x(1+a|x|). 设关于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集为A.若1 1-12

9、'1? a,则实数a的取值范围是 ./I -怖八* (、 0 答案三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2016江苏扬州中学质检，17)某环线地铁按内、外环线同时运行.，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min,求内环线列车的最小平均速度(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h,外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内.、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？30解析

10、 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h,由题意可知打 X60W10? v>20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min,列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x列列车运行，则外环线投入(18-x)列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t130723060min、12 min,则t二次x 60= ' ,t 2=2“火：X60=1&.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min,于是有“260 *726。|+ 乂 _ 汁 L0 W x W 1 力 x E N .t=|t 1-t 2|= *18 一 H=该函数在(1,9)上递减，在(10

11、,17)上递增.又t(9)>t(10),所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.2.(2017江苏扬州期中,18)如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线l上有相距70千米的B,C两 个小镇，并且AB=30千米,AC=80千米，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人,C镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在B,C之间建一个码头 D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人 每千米运输成本之比为1 ： 2.(1)求si n/ABC的大小；(2)设/ ADB与，试确定0的大小，使得运输总成本最少.解析 (1)在

12、 ABC 中,cos / ABC=AD AH6 400AB2 - BC2X 30 X 701逑=-7,所以 sin /ABC=.ADRD4召30(2)在ABD中，由nnNABDming=in/E总以得=sin&=H1)1成-sin 日 + cos。77120居 120脚7所以 AD= ,BD=301203COS0 -S1I10 -CQS7i30sinsin+初4 x sin。设水路运输每百人每千米的运输成本为k元，陆路运输每百人每千米的运输成本为2k元,k0,则运输总成本 y=（5CD+3BD ）2k+8XkXAD=2k5（70-BD）+3BD+4AD 则由 =9,3解得b=24或b=

13、?(舍).故太阳光线所在直线的方程为y=- x+24,令 x=30，得 EG=1.5,因为 1.5<2.5,所以此时能保证采光要求.(2)设AD=h,AB=2r,则半圆的圆心为 H(r,h),半径为r.设太阳光线所在直线的方程为y=- x+b,3r + 4卜- 4占即3x+4y-4b=0,由 '厂 =r,2 cos&令 H( 0 )=，。/刃则 H'（ e）=1 - 2cosffsin &令 H'( 0 )=0,解得 cos 0=2, 0 = 3 当 0。3时,h'（。）o,h（。）单调递减；当3。/时,H'（。）0,h（。）单调递

14、增， .当时,H（。）取得最小值, ,k>0, .当。=3时,y取得.最小值.12瑜-CQSP730 90此时BD=J满足0BD70,所以点D落在B,C之间，符合题意.所以。=时，运输总成本最少 答：当。=3时，运输总成本最少.3.（2017江苏镇江期末，17）如图，某公园的三条观光大道 AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D,E,F.（1）若甲、乙都以每分钟 100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，

15、求此时甲、乙两人之间的距离；TT（2）设/CEF=9，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离.的2倍，且/DEF=,请将甲、乙之间的距离 y表示为0的函数，并求甲、乙之间的最小距离.解析 （1）依题意得BD=300,BE=100,在 RtAABC中,cos B= 4E = , . B=）,在BDE中，由余弦定理得：1DE=BD+B甘-2BD- BE- cos B=300 2+1002-2X 300X 100X =70 000, .DE=100 .答：甲、乙两人之间的距离为100/ m.（2）由题意得 EF=2DE2y, / BDEW CEF7 ,在直角三角形 CEF 中,CE=EF- cos / C

16、EF=2ycos 0 , HE DE在BDE中,由正弦定理得 鼠必BBWDBE, 200 - 2ycoe y(2)在保证上述采光要求的前提下，如何设计.AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？(注:计算中兀取3)A解析 如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系3半径r=9.设太阳光线所在直线的方程为y=-lx+b,即 3x+4y-4b=0,|27 + 24 - 4i?|=-r 2+50-(r-10) 2+250W 250.当且仅当r=10时取等号.所以当AB=20米且AD=5米时,活动中心的截面面积最大.2.(2016江苏苏、锡、常、镇四市二模，17)如图是某

17、设计师设计的Y形饰品的平面图，其中支架OA,OB,OC两两成120角,OC=1,AB=OB+OC且OA>OBW设计师在支架 OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M,且M与OB的 长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在4AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N,且N与 AOC勺面积成正比，比例系数为4”k.设OA=x,OB=y.V(1)求y关于x的函数解析式，并写，出x的取值范围；(2)求N-M的最大值及相应的 x的值.解析(1)由题意得，AB=y+1,在 ABC 中，由余弦定理得,x 2+y2-2xycos 120 ° =( .y+1) 2, x?-解得y

18、= .1 +布 由 x>0,y>0,x>y, 得 1<x< 二,所以x的取值范围是'2".(2)M=kOB=ky,N=4W k S AOC=3kx,且 N-M=k(3x-y)=k,设 2-x=t,贝U t e当且仅当4t= :即t=-时取等/ 一 1) ®号，此时 t e , 21 ,x=2- 2所以当x=2- 2时,N-M取最大值(10-4馈)k.C组 20162018年模拟方法题组方法函数的实际应用题1.（2018江苏常熟高三期中）如图所示为自动通风设施.该设施白下部 ABC比等腰梯形，其中AB为2米，梯形的 高为1米,CD为3米，

19、上部CFD个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆,且滑动过程中始终保持和 CD平行.当MNB于CD下方或上方时，通风窗的形状均为矩形 MNGHi影部分均不通风）.设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数y=S（x）;（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 S取得最大值？解析 当0Wx<1时，过A作Ah CD于K（如图）.CD - AB i则 AK=1,DK= = ,HM=1-x,AK MHI - x由DK = DH=2,.得 DH=2 = 2 ,HG=32DH=2+x,S(x)=HM HG=(1 -x

20、)(2+x)=-x 2-x+2.5当1<x<2时，过E作.ETJ_ MN于T,连结EN(如图).MN贝U ET=x-1,TN=ti- (x - I)2.S(x)=MN- ET=2收 (x -1),/- x2 - x 十/ 0 岑 x < 1,- 1) P - (x - I)2, 1 < x < 1.综上,S(x)=(2)当 0Wx<1 时,S(x)=-x 2-x+2=- S(x)在0,1)上递减, .S(X)makS(0)=2.5当 1<x<5 时,S(x)=2(x-1)(x - I)2<2 -当且仅当（x-1）=，即 x= 11 +1 e

21、 -时取,，S（x） ma尸!, 4>2,，S（x）的最大值为 4.p也+ 故当MNf AB之间的距离为4米时，通风窗的通风面积 S取得最大值.2. 一个圆柱形圆木的底面半径为1 m,长为10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保才I不变，底面为等腰梯形 ABCD如图所示，其中O为圆心，C,D在半圆上）,设/ BOC=, 木梁的体积为 V（单位:m3）,表面积为S（单位:m2）.（1）求V关于0的函数表达式；（2）当体积V最大时，求0的值；（3）当木梁的体积-V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解析 （1）S梯形ABC= sin 0 =

22、sin 0 cos 0 +sin 0 , 0 体积 V( 0 )=10(sin0 cos 0 +sin 0 ), 0 , .(2)V'( 0 )=10(2cos 2 0 +cos 0 -1)=10(2cos 0 -1)(cos0 +1).令 V'( 0 )=0,得 cos 0 = 2，或 cos 0 =-1(舍).时，2wcos 9 <i,v'（ e） >o,v（。）为增函数；时,0<cos e<2,v'（ e）<o,v（。）为减函数,IT.当时，体积V最大.（3）是.理由如下:g )木梁的侧面积 S侧=(AB+2BC+CD) 10=20cos 0 +2sin - +1 , 0 C/cosfl + 2s in + 1 fo, 1S=