数形结合思想的运用

1、数形结合思想的运用开课时间:2005年3月29日 下午第五节开课地点:高二(3)班一 教学目标1 知道直线与圆的交点的含义，理解在特殊条件下的直线与圆的位置关系的含义.2 理解含字母直线方程中的字母的含义.3 以直线与圆的数学问题为载体，培养学生将“数”的问题转化为“形”来处理，将“形”的问题转化为“数”来处理的初步能力.4 在探究直线与圆的数学问题中，增强分析问题与解决问题的能力，领悟数形结合思想.5 在探究直线与圆的数学问题的过程中体验解决问题的过程，激发探究问题的乐趣.二 教学方法：教师引导下的学生探究学习.教学重点和难点：“数”与“形”的相互转换.三 教学过程1 引入及复习点与圆的位置

2、关系的判定直线与圆的位置关系的判定2 新课例1 已知曲线C1：2x+2y-m=0和曲线C2：x²+y²=1(y0)有公共点，求m的取值范围。由学生分析教师板书：曲线C2：x²+y²=1(y0)表示以原点为圆心，1为半径并在x轴上方的半圆，曲线C1：2x+2y-m=0表示斜率为-1的直线，其中表示直线在y轴上的截距，要使得两曲线有公共点，由图形可得结论m2，2思考1：若“公共点”改成“有两个不同的交点”呢？“有一个交点”呢？“没有公共点”呢？（由学生共同讨论）由图形可进一步知：有两个不同的交点 m2，2）有一个交点 m-2，22 没有公共点 m（-，-2）

3、（2，+）例2：已知直线y=k(x+2)-4与半圆x²+y²=4(x0)有公共点，求k的取值范围学生分析：x²+y²=4(x0)表示以原点为圆心，2为半径在y轴右侧的半圆，y=k(x+2)-4表示经过定点（-2，-4）的直线，则KAB=3，设AC的直线方程为kx-y+2k-4=0,由点0到直线AC的距离等于半径2，可得k=,则k,3思考2：若“有公共点”改成“有两个不同的交点”呢？“有一个交点”呢？“没有公共点”呢？（由学生共同讨论）有两个不同的交点 k,1有一个交点 k（1,3）没有公共点 k（-，）（3，+）思考3：若此题改编为：“已知P(x,y)在

4、半圆x²+y²=4(x0)上运动，求 的取值范围”呢？例3 已知P(x,y)在圆(x-3)²+(y-)²=6上运动，求的最值由学生分析：表示的几何意义是动点P（x,y）与原点o（0，0）连线的斜率则可设=k,即y=kx问题就转化为直线y=kx与圆(x-3)²+(y-)²=6之间的位置关系，即求它们相切时的斜率的值，的最大值为+2，的最小值为-2例4 已知x²+y²-4x+3=0，求x²+y²的最值由学生分析：x²+y²表示圆x²+y²-4x+3=0上任意一

5、点P(x,y)到原点的距离的平方，由x²+y²-4x+3=0知其圆心坐标为（2，0），半径为1，当P落在A（1，0）处，使x²+y²的最小值为1P落在B（3，0）处，使x²+y²的最大值为9教师总结：此题典型的是以“形”解“数”，从形中直接可以找出答案例5 若实数x,y满足x²+y²-2x+4y=0,求x-2y的最值由学生分析：设x-2y=t，则x-2y-t=0表示斜率为的直线，方程x²+y²-2x+4y=0表示以（1，-2）为圆心，为半径的圆，原题就转化为直线x-2y-t=0与圆x²

6、+y²-2x+4y=0有交点的问题，可求得t0，10，即x-2y的最大值为10，x-2y的最小值为0教师总结例5其实可改编为“已知直线x-2y-t=0与曲线x²+y²-2x+4y=0有交点，求t的最值”，与第一题进行对比。3 小结数形结合的基本思路是：（1）根据数的结构特征，构造出与之相对应的几何图形，并利用图形的特性和规律，去解决数的问题（2）将图形信息部分或全部转化成代数的信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论作业：1 曲线x2+y2-2x0,(0x2)与直线y=k(x-2)+2有两个交点，求实数k的取值范围2 实数x,y满足(x

7、-3)²+(y-2)²=1，求（1）x²+y²的范围 （2） 的范围3若点P(x,y)在圆(x-1)²+(y+1)²=4上运动，求3x+4y的取值范围课堂讲义例1：已知曲线C1：2x+2y-m=0和曲线C2：x²+y²=1(y0)有公共点，求m的取值范围。思考1：若“公共点”改成“有两个不同的交点”呢？“有一个交点”呢？“没有公共点”呢？例2：已知直线y=k(x+2)-4与半圆x²+y²=4(x0)有公共点，求k的取值范围思考2：若“有公共点”改成“有两个不同的交点”呢？“有一个交点”呢？“没有公共点”呢？思考3：若此题改编为：“已知P(x,y)在半圆x²+y²=4(x0)上运动，求 的取值范围”呢？例3：已知P(x,y)在圆(x-3)²+(y-)²=6上运动，求的最值例4：已知x²+y²-4x+3=0，求x²+y²的最值作业：1.曲线x2+y2-2x0,(0x2)与直线y=k(x-2)+2有两个交点，求实数k的