2019-2020学年四川省乐山市高二上学期期末数学(理)试题

1、2019-2020 学年四川省乐山市高二上学期期末数学（理） 试题一、单选题1 命题“x R ， x2 x ”的否定是（ ）222Ax R ， x xBxR ，x xCx0R ，x0x0 Dx0 R ，2 x0 x0【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“x R ， x2 x ”为全称命题2故其否定为：x0 R ， x0 x0故选： D【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题2下列命题中正确的是（）A.若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B.垂直于同一平面的两个平面平行C.存在两条异面直线同时平行于同一平面D.三点

2、确定一个平面【答案】C【解析】根据空间中的平行与垂直关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,如果一个平面内有无数条直线有另一个平面平行，则这两个平面也可能相交，故A错误；对于B,垂直于同一平面的两平面平行或相交，故 B错误；对于C,当两条直线同时平行于同一平面时，这两条直线可以平行、异面、相交，故存在两条异面直线平行于同一个平面，故C正确；对于D,不共线的三点才能确定一个平面，故D错误；故选：C本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查逻辑思维能力和推理判断能力，属于基础题.r3.已知平面 内有一点M 1, 1,2 ,平面 的一个法向量为n 6, 3,6 ,则下列点P

3、中，在平面 内的是()A. P 2,3,3B. P 2,0,1C. P 4,4,0D. P 3, 3,4【答案】A【解析】可设出平面内 内一点坐标P x, y, z ,求出与平面平行的向量UULTMP x 1,y 1,z 2，利用数量积为0可得到x, y, z的关系式，代入各选项的数据可得结果.【详解】解：设平面 内一点P x, y, z ,则： luutMP x 1,y 1,z 2 ,rQ n 6, 3,6是平面的法向量，r luut r uurn MP , n MP 6(x 1) 3( y 1) 6(z 2) 6x 3y 6z 21 , ,r ult由 n MP 0 得 6x 3y 6z

4、21 02x y 2z 7把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.故选：A.【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念. 224.椭圆幺 L 1的左、右焦点分别为E、F2,点P在椭圆上，如果PF1的中点在y 123轴上，那么 PR是PF2的()A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍【答案】A【解析】先求椭圆的焦点坐标，再根据点p在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，求得点P的坐标，进而计算|pfJ, PF2 ,即可求得结果.【详解】22椭圆 土 _L=1的左焦点是Fi,右焦点是F2, 12 3 Fi 为3,0, F2 为3,0,设P的坐标为 x,y ,线段PF1的

5、中点为因为段PFi的中点在y轴上，所以0,第6页共20页任取一个PF1PF1,3 22PF1是石，PF2 2a |PF1PF2的7倍.【解析】设球的半径为R ,可得圆柱的底面半径为R,高为2R,由此求出球的表面积故选：A【点睛】本题重点考查椭圆的几何性质，考查距离公式的运用，椭圆定义的应用，属于中档题5.如图，球。内切于圆柱。1。2,记圆柱0。2的侧面积为Si,球O的表面积为S2 ,B. S12 S23D. Si = S2与圆柱的侧面积得答案设球的半径为 R ,可得圆柱的底面半径为 R ,2局为2R ,则球的表面积S2 4 R ,圆柱的侧面积 2 R 2R 4 R2,1 1 SI = S2 ,

6、故选：D.【点睛】本题主要考查了圆柱及其内切球的表面积的运算，属于基础题2 26.已知F是双曲线C： -y- 1的左焦点，P、Q为C右支上的点，若PQ的长916等于虚轴长的2倍，且点A 5,0在线段PQ上，则4PQF的周长为（）A. 22B. 28C. 38D. 44【答案】D【解析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值 2a解决.求出周长即可.【详解】22 双曲线C：上 L 1的左焦点F 5,0 , 9 16 点A 5,0是双曲线的右焦点，则 b 4,即虚轴长为2b 8,双曲线图象如图：. PF AP 2a 6 ，QF QA 2a 6，而 PQ 16, + 得

7、：PF| QF |PQ 12,. 周长为 l PF QF PQ 12 2 PQ 44,故选：D【点睛】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为2a,通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键，考查学生的转化能能力7 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）B. 16c. 143D. 4【解析】由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求，根据 柱体的体积公式即可得结论【详解】由三视图可得，该几何体分为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体， 1根据柱体体积公式可得该几何体的体积为：V = 2 1 2+2 2 1=6,2故选：A【点睛】

8、本题考查几何体的三视图的有关知识，考查计算能力，能够准确判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.8 .若双曲线x2 y2 1的右支上一点P a,b到直线y x的距离为J2 ,则a b的值为（）A.工IB. -C.工或 1D. 2 或 22222【答案】B【解析】P a,b点在双曲线上，则有 a2 b2 1,即a b a b 1,根据点到直线的距离公式能够求出 a b的值，由此能够得到 a b的值.【详解】P a,b点在双曲线上，则有 a2 b2 1,即a b a b 1 .a b lcd 尸/2 , . a b 2, 显又P点在右支上，则有 a b ,a b 2,1a b 2 1, a b

9、，2故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.9 .在VABC中， ACB 90, D是BC的中点，PA 平面ABC ,如果PB、PC与平面ABC成的角分别是30。和60。，那么PD与平面ABC所成的角为（）A. 30B. 45C. 60D. 75【答案】B【解析】设PA 1,由已知求出PB 2, AB 33, AC , CD 也，从而 33得到AD 1 ,由此能求出PD与平面ABC所成角的大小.【详解】设 PA 1 ,ACB 90 , D是BC的中点，PA 平面ABC ,在VABC中，ABC成的角分别是30和60 ,ACP 60 ,

10、DADP是PD与平面ABC所成角,PB、PC与平面/4 6，AC 1 cot60,3 ABP 30 ,PB 2, AB1 1CD -BC2 2ad Jac2 cd2 1 2 1,一 PA .tan ADP 1, AD ADP 45 , PD与平面ABC所成角的大小为45 ,故选：B第7页共20页本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.10.如图，过抛物线 y2 2Px ( P 0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B ,交其uuir准线l于点C ,若CB 2器，且AF3,则P的值为(A. 92B. 3C.D.【解析】分别过点 A B作准线的垂线,分别交

11、准线于点E,D,设|BFa,根据抛物线定义可知BDa ,进而推断出BCD的值,在直角三角形中求得BD/FG,利用比例线段的性质可求得如图分别过点 A, B作准线的垂线，分别交准线于点E, D,设BFa ,则由已知得:在直角三角形 ACE中,. AE 3,ACBC 2a,由定义得:3 3a,2 AEBD第13页共20页3 3a 6 ,从而得 a 1 ,一 一 12 一 3 BD/FG，.求得 p p 32故选：C【解析】首先以C.-5D.正方形边长为 2, M (0 , y ,2),从而可求出向量uuur uur，一EM ,AF的坐标，由【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线

12、的定义和基本知识的综合把 握，属于中档题.11 .如图，四边形 ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M2线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线 EM与AF所成的角为 ，则AB , AD , AQ三直线为x, y , z轴，建立空间直角坐标系，并设uuuu uuur 2 y2 ycos |cos EM ,AF |得到c0s国行5，对函数 75g=5求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cos的最大值.【详解】解：根据已知条件，AB, AD , AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB 2,则:A 0,

13、0,0 , E 1,0,0 , F 2,1,0 ；M 在线段 PQ 上，设 M 0,y,2 ,0Uy 2;uuuruurEM (1,y,2), AF (2,1,0)；uuur uur2 ycos | cos EM , AF |_.FT飞造设 f(y)_2_y_丁5g . 5 f (y)2y 5- , = 5( y 5) y 5 函数 g(y) 2y 5是次函数，且为减函数，g(0)5 0 ；g(y) 0 在 0,2 恒成立，f (y) 0；f(y)在0,2上单调递减；2y 0时，f(y)取到最大值一.5【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角 的概念

14、及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数 符号和函数单调性的关系.二、填空题12 .“ A C 0且B 0”是“Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的方程”的()条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】B【解析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆时，满足 A C 0,B 0且D2 E2 4AF 0,所以“ A C 0且B 0”是“ Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的方程” 的必要不充分条件.

15、故选B.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础 题.13 .抛物线x2=-8y的准线方程为 .【答案】y=2【解析】试题分析：由于抛物线x2=- 2py的准线方程为y二,则抛物线x2=- 8y的准线方程即可得到.解：由于抛物线 x2=- 2py的准线方程为y二，则有抛物线x2= - 8y的准线方程为y=2.故答案为y=2.14. ABC的两个顶点为 A 0,0 ,B 6,0，顶点C在曲线y x2 3上运动，则 ABC 的重心 G的轨迹方程为 .【答案】y 3(x 2)2 1【解析】可设重心坐标为(x, y),顶点C的坐标为(, y),根据已知条件将

16、 改、y0用 x, y表示，再代入曲线 y x2 3的方程，求轨迹方程.【详解】解：设C点坐标为(x, y),ABC重心坐标为(x, y),依题意有3x 0 6 %, 3y 0 0 y0,解得 3x 6 , y0 3y,因点C(x0, y)在y x23上移动，y x2 3 ,所以 3y (3x 6)2 3 ,2整理得3(x 2) y 1为所求ABC重心轨迹方程.故答案为：y 3(x 2)2 1【点睛】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的灵活运用.15 .如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3,则直线BB1与平面A

17、B1C1所成的角为 【答案】30uur【解析】以B为坐标原点，建立空间直角坐标系， 利用BB与平面AB1C1所的一个法向 量 的夹角，求出则 BB1与平面AB1C1所成的角.解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系,3),C1(0 , 2,则 A(右，1, 0) , B1(0, 0, 3),uuuu _uuurAB1( J3,1,3), B1C1 (0 ，uuu2, 0) , BB1 (0,0, 3).r设平面AB1C1所的一个法向量为n(x ，z)uuuv v皿 AB n 0 口贝U uuUUv v 即B1c1n 03x y 3z2y 01),uur rQ

18、 cos BB1 , numr rBBgnuur =r|BB1|n|BB与平面AB1C1所成的角的正弦值为BB与平面AB1C1所成的角为-6故答案为：(30 ) .6【点睛】本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法.要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系. 2216 .如图，已知双曲线C : 22 1(a 0,b 0)的左右焦点分别为Fi、F2 , F1F2 8 , a bP是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A, APFi的内切圆在边PFi上的切点为Q若PQ 2,则该双曲线的离心率为 【答案】2【解析】由|PQ| 2, APFi的内切圆在边PFi上的切点为Q,根

19、据切线长定理，可得|PFi| IPF2I 4,结合|FiF2| 8,即可得出结论.【详解】解：由题意，Q|PQ| 2, APFi的内切圆在边PFi上的切点为Q,根据切线长定理可得 AM AN , FiM FQ , PN PQ ,Q|AFi | | AF2 | ,AM FiM AN PN NF2 ,FiM PN NF2 PQ PF2|PFi | PF2 |FiQPQ PF2FiMPQPF2PQPF2PQPF22PQ 4,即2a 4, 2c 8 c-双曲线的离心率是e - 2.a第i16页共20页【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生 的计算能力，属于基础

20、题.三、解答题17.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，对角线 AQ和平面BDCi交于点O, AC、BD交于点M ,求证:【答案】证明见解析G、O、M三点共线.【解析】欲证Ci、O、M三点共线，只须证它们都在平面 ACiCA与平面GBD的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C1、O、M三点是平面 AC1cA与平面CiBD的公共点即可.【详解】连接ACi, ACI BD M , M AC, M BD ,则 M 面 ACiCA, M 面 CiBD,又.AiC I 面 BDCi O , . O AC , O BD则 O 面 ACiCA, O 面CiBD, 即Ci、O、M均在面ACiCA

21、内，又在面CiBD内则Ci、O、M必定在面ACiCA与面CiBD的公共交线上，即Ci、O、M三点共线.【点睛】本题主要考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基 础题.i8.已知顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线 y 2x i截得的弦长为 JT5,求 抛物线的方程.【答案】y24x,或y2 i2x.【解析】【详解】试题分析：本题考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线相交的弦长 问题，考查基本的计算能力 .先设出抛物线方程，由抛物线与直线相交列出方程组，消参得关于x的方程，得到两根之和、两根之积，将弦长 AB进行转化，把两根之和、两根之积代入，解方程求出参数巳从而得

22、抛物线方程.试题解析：设抛物线的方程为y2 2px ,则 y 2 px得y 2x i2p 2i4x (2 p 4)x i 0, x x2 , xix2 一24AB ik2|xi x2 45ylxx2P_4xix2 V5 j(% 2)2 4 ; Vi5 ,则 Jp p 73, p2 4p i2 0, p 2,或 6,y24x,或 y2 .【考点】i.抛物线的标准方程；2.弦长公式；3.两根之和、两根之积.i9.已知点 A(2, a),圆 C :(x i)2 y2 5(i)若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；(2)设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线 l被圆

23、C截得 的弦长为2石，求实数a的值.【答案】(i) a 2,切线方程：x 2y 6 0或a 2 ,切线方程：x 2y 6 0 ；(2) a 1 或 a 3【解析】(1)由切线条数可确定 A在圆上，代入圆白方程可求得 a ；根据在圆上一点处 的切线方程的结论可直接写得结果;(2)设直线l方程x y b b 0 ,代入点A坐标得到b a 2；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得(1)Q过点A只能作一条圆C的切线第24页共20页a2 5，解得:(2)2 时，A 2,22 时，A 2,设直线l方程为:,则切线方程为:2 ,则切线方程为:2y 5,即 x1 2y

24、 5,即2y 6 0x 2y 6 0直线l方程为：x圆C的圆心到直线距离d245 d2 2J5a 125/3,解得:本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题;关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论:21.过圆 x a22y b r上一点x, y的切线方程为:x0 a x aybyb r2；2.直线被圆截得的弦长等于2. r2 d2 .20.如图，已知四棱锥 PABCD ,底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD ,ABC 60 , E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接 AE、EF .(1)求证：AE PD ;(2)求证：EF平面PCD.【答案】(1)证明

25、见解析；(2)证明见解析【解析】(1)通过底面 ABCD是菱形，ABC 60 ,可以得到AE AD ,由PA平面ABCD可得PA AE ,由线面垂直判定可得 AEL平面PAD,进而可得结果；(2)如图，取AC的中点为O ,连接EO , FO ,通过EO/CD , FO/PC来证明平 面EOF平面PCD,进而可得结论.【详解】(1)证明：ABCD 是菱形， ABC 60 , VABC为等边三角形，AE BC , AE AD . 又. PA平面ABCD, AE 平面 ABCD ,PA AE , 由 PAI PD P,AE 平面 PAD ,而 PD 平面 PAD , AE PD .(2)如图，取 A

26、C的中点为O ,连接EO , FO ,则EO,FO分别VABC , VPAC的中位线，. EO/AB ,则 EO/CD , FO/PC ,由线面平行判定定理可得：EO平面PCD, FO 平面PCD又.PCI CD C,则平面EOF 平面PCD,而EF 平面EOF ,故EF平面PCD.本题主要考查了通过线面垂直得到线线垂直，通过构造面面平行来得到线面平行，属于中档题.21 .已知椭圆C : x2 上 1 a b 0的离心率为立，椭圆C与y轴交于A, B两 a2b22点，且AB(1)求椭圆C的方程;(2)设点p是椭圆C上的一个动点，且直线 PA,PB与直线x 4分别交于M ,N两点.是否存在点 P

27、使得以MN为直径的圆经过点 D 2,0 ?若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由2【答案】(1)工y2 1； (2)点尸不存在.4【解析】分析：(1)根据椭圆的几何性质知 2b 2,即b 1,再由离心率得e从而可得a 2,得椭圆方程;(2)假设点P存在，并设P(x0, y0),写出pa的方程，求出m点坐标，同理得 N点坐标，求出MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D得一关于x0, y0的等式，把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得x0,注意x的范围，即可知存在不存在.详解：(1)由已知= 2 ,得知= 2 ,卜=1又因为离心率为，所以2因为-lr +工，,所以所以椭圆C的标准方程

28、为 + T1 = J .(2)假设存在.设-I 由已知可得 或0邺),-1), 所以/尸的直线方程为V二-七8P的直线方程为.v=,L1,人、口 虫乂一1 .令上=4 ,分别可得+1 ,工所以 AA - m-tT = 2-,工a线段 的中点(4也均)，若以 MY为直径的圆经过点 D (2,0),4 y4十则1,之，8因为点尸在椭圆上，所以 4单；=1 ,代入化简得=0 ,4品所以一4=8,而卜32，矛盾, 所以这样的点尸不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关 于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否 则不存在.22.如图，梯形 ABCD所在的平面与等腰梯形 ABEF所在的平面互相垂直， ABCDEF, AB AD . CD DA AF FE 2, AB 4.(1)求证：DF /平面BCE ；(2)求二面角C BF A的余弦值;（3）线段CE上是否存在点 G ,使得AG 平面BCF ?不需说明理由.B仃【答案】（1）详见解析（2）页（3）不存在5【解析】（1）根据平行四边形求得DF /CE ,再利用线面平行的判定定理得证;（2）建立空间直角坐标系 A xyz,求出平面BCF的法向量和平面 ABF的