人教A版选修2-2数学归纳法课时作业

1、天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋金戈铁骑2019-2020学年人教A版选修2-2数学归纳法课时作业。1.用数学归纳法证明 3n>n3(n>3, nC N*),第一步应验证()A.当n=1时，不等式成立B.当n=2时，不等式成立C.当n=3时，不等式成立D.当n=4时，不等式成立解析：由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时，不等式成立，故选C.答案：CI 2.已知 f(m - *4- + -1 . 4) J H 174-1114-a7i3*,A.f ( n)共有 n 项，当 n=2 时，f (2 ) 一 gB.f(n)共有(n+1)项，当n=2时，监)一打升：C.

2、f ( n)共有(n2-n )项，当 n=2 时，f (2) 一 / + 1D.f ( n)共有(n2-n+1)项，当 n=2 时,f (2) _ g +1解析：由题意知f (n)的最后一项的分母为n2,故f(2 Ji；排德逊就A,选项C.又 f ( n :； - 'J i ' ' 代 3B-HDH + l所以f(n)的项数为n2-n+1.故选D.答案：D3.已 知 n 为 正学 归 纳 法 证明升=,不, I 时,拧己假设当n=k(k>2，且为偶数)时，命题为真，则还需要用归纳假设再证 ()A.当n=k+1时，等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+

3、2时，等式成立D.当n=2( k+2)时,等式成立解析：因为假设n=k(k>2,且为偶数)，所以下一个偶数为k+2,故选B.答案：B< 4.用数学归纳法证明不等 式幻 >巴(n C N*)成立，其初始值至少应取()24J11*164 1A.7B.8C.9D.10解析：左边=1十;十;十十* 二±*= 2*.代入鉴证可知n的最小值是 &答案：B。5.用数学归纳法证 明工|!_三+斗2. - n n=-+ n= n n则”n=k+l时，等式左 2342R7-1 2tl w+1h422h边应在n=k的基础上加上()a_iB _2kH-2C2Jc+l 2fr42D4

4、zk+i 2k+z解 析：当 n=k 时， 左边 =i -I i - - - 三.当 n=k+1时，左边234Wk-I Zic-1.1 1 . , 1 1 . 1 1 =2 J 42ftl Ik zfc+1 Zk+Z答案：C< 6.用数学归纳法证明"当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除"，当第二步假设n=2k-1(kN)命题为真时，进而需证n=时，命题为真.解析：因为n为正奇数，所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案：2k+1L 7.在用数学归纳法证明“3如+2+52n+1( n C N*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时，式子34(k+1)+2+52(

5、k+1)+1应变形为.答案：(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)< 8.用数学归纳法证明+ ；+1 L(n>2,nC IN).分析：验证当n=2时不等式成立一假设当n=k时不等式成立一证明当n=k+1时不等式成立一结论证明当n=2时，左边一 L 一二右边=1 -i -Za 4Z Z因.(2)假设当n=k(k>2,kC N)时，不等式成立,1 1 1 1 1则当n=k+1时,1 1 1 1 1 1 1"3宝十y十(k + 1)2(k + D2=,一 _Jt(fr41)z Hfe+lP=庵41所以当n=k+i时，不等式也成立.由(1)(2)知，对任意

6、n>2的正整数，不等式都成立.匚 9.用数学归纳法证明 1 X 4+2 X 7+3 X 10+n(3 n+1) =n( n+1)2(其中 n C N).证明(1)当n=1时，左边=1 X 4=4,右边=1 X22=4,左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k( k e N)时等式成立，即 1 x 4+2x 7+3 x 10+ - +k(3 k+1)=k( k+1)2,则当n=k+1时，1X4+2X7+3X10+k(3 k+1)+(k+1) - 3( k+1)+1=k(k+1)2+(k+1)3( k+1) +1 =( k+1)( k2+4k+4) =( k+1)( k+1)+12, 即当n

7、=k+1时等式也成立.根据 和(2),可知等式对任何 n N*都成立.能力提升< 1.某同学解答“用数学归纳法证叫屈l(ne N*)”的过程如下：证明：当n=1时，显然命题是正确的；假设当n=k( k > 1, k e N*)时，有而不BvA"+l.则当n=k+1时Ju +也+ 1)=+31+ 2 <+ 41 + 4 = (k+1) +1,所以当n=k+1时命题是正确的.由可知对于nCN*,命题都是正确的.以上证法是错误的，错误的原因在于()A.从n=k到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k到n=k+1的推理不严密D.当n=l时，验

8、证过程不具体答案：A< 2.用数学归纳法证明“凸n(n>3, n N*)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1内角和增加了()D.211解析：如图，由n=k至1J n=k+1时，凸n边形的内角和增加的是/1 + /2+/ 3=兀，故选B.答案：B。3.用数学归纳法证明(n+1)( n+2) (n+n) =2n - 1 - 3 (2n-1),从 n=k 到 n=k+1,左边需要增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2 k+1)一欧十3C.i+1*+1解析：当 n=k时，等式左边为(k+1)( k+2) (k+k),而 当 n=k+1时，等式左边为(k+1 +1)( k+1 +2)

9、 (k+1+k+1) =(k+2) , (k+3) (k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)( k+k+2),故增乘的代数式 为= 2(2k+1).答案：B口 4. 某个与正整数有关的命题：若当n=k( kC N*)时，命题成立，则可以推出当n=k+1时，该命题也成立.现已知当n=5时，命题不成立，则可以推得()A.当n=4时，命题不成立B.当n=6时，命题不成立C.当n=4时，命题成立D.当n=6时，命题成立解析：“若n=k时，命题成立，则n=k+1时，该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k时,命题也不成立.”故选A.答案：AL 5. 用数

10、学归纳法证明" n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时，式子(k+1) 3+5( k+1)应变形 为.解析：采取凑配法，凑出归纳假设 k3+5k 来,(k+1) 3+5( k+1) =k3+3k2+3k+1 +5k+5=( k3+5k) +3k( k+1) +6.答案：(k3+5k)+3k(k+1)+6L 6.设实数c>0,整数p>1, nC N.(1)用数学归纳法证明:当X>-1,且XW0时,(1 +x) p>1+px;(2)数列an满足al > gan+l =七%推十",注明二an>an+l >匚巴证明(1)当p=2时,

11、(1 +x) 2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.假设当p=k(k>2,k N*)时，不等式(1 +x)k>1+kx成立.则当 p=k+1 时,(1 +x) k+1=(1 +x)(1 +x) k>(1 +x)(1 +kx) =1 +(k+1) x+kx2>1+( k+1) x.所以当p=k+1时，原不等式也成立.综合可得，当x>-1, xw0时,对一切整数p>1,不等式(1 +x) p>1+px均成立.1(2)先用数学归纳法证明 an_> E当n=1时，由题设al > 8如an>亡#成立.*假设当n=k(k>1,k

12、C N)时，不等式am s成立.由 an+i .广 .al 士您且,最会an>0, nC N.p p则当 n=k+1 ： ? 一 ；'，： =1 -f4 j. .P P K P、碓 /由中的结论博窜y=i十;(t)(，i+p x点一 1)一点' 因此明 >，即豕1>匕； 所以当n=k+1时，不等式a”而出成定.1f综合可得,对一切正整数n,不等式an> e均成立.因此a+i A也成金.再一 "人J %即 an+i<a 综上所述,an>an+ >N*.L 7.已知集合 X=1,2,3,%=1,2,3,，n(nCN*),设 S=(

13、a,b)|a 整除 b或 b整除 a, aC x beYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.写出f(6)的值；(2)当n > 6时，写出f ( n)的表达式，并用数学归纳法证明.解:(1) f(6) =13.正十2十(詈+ n = 6t + 1.(2)当 n>6 时，f(n) = d*(t e N).十2十G十詈)，门=乱十工 川十2 + (詈垃+ 3,n 十 Z + G + -y-J» ft 6t +产十2十(詈十等 it = 6t + 5下面用数学归纳法证明：当 n=6 时，f(6) =6+2-113,雄i仑成立；Z 3假设当n=k( k > 6)时结论成

14、立，那么n=k+1时，&+1在 &的基础上新增加的元素在(1, k+1),(2, k+1),(3, k+1)中产生，分以下情形讨论：1)若 k+1=6t,则 k=6(t- 1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+£、3=(k+1)+1;2)若 k+1 =6t+ 1,贝U k=6t,此时有f (k+1) =f ( k)+1=k+：2 j j .=(k+1)+'3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+ 1,此时有f (k+1) =f ( k) +2=k+_i bi一工 Z 3=(k+1)+工，；：二成二；4)若 k+1 =6t+ 3,贝U k=6t+ 2,此时