2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(文)(含解析)新人教A版

1、§ 5.1平面向量的概念及线性运算取新考明考情考向分析1 . 了解向量的实际背景.2 .理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3 .理解向量的几何表示.4 .掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5 .掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6 .了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平回向量的线性 运算（加法、减法、数不晌 量）及其几何意义、共线向 量定理，常与三角函数、解 析几何交汇考查，有时也会 有创新的新定义问题；题型 以选择题、填空题为主，属 于中低档题目.偶尔会在解 答题中作为工具出现.271.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向

2、的量;向量的大小 叫做向量的长度（或称叁）平面向量是自由向量零向量长度为0_的向量；其方向不确定记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为土 - |a|平行向量（共线向量）共线向量的方向相同或相区0与任一向量平行或共线相等向量同向且等长的有向线段两向量只后相等或/、等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02 .向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律向量的加法求两个向里和的运算交换律：a+ b= b+ a;(2)结合律：(a+ b) +c= a+ (b +c)向量的减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差a- b= a+ ( b)数乘向

3、量求实数人与向量a的积的运算(1)| 入 a| = | 入 | a| ； (2)当人0时，入a的方向与a的方向也 且；当入0时，入a 的方向与a的方向也 区；当入=0时，入a=0(1)(入 + w)a=入 a+a；(2)入(w a)=(入 w )a；(3)入(a+ b)=入 a +入b3 .平行向量基本定理如果a=入b,则a / b;反之，如果a / b,且bw 0,则一定存在唯一一个实数入,使a=入b.概 念 方 法 微 思 考1.若b与a共线，则存在实数入使彳导b=入a,对吗？提示 不对，因为当 a=0, bw0时，不存在 入满足b=入a.2如何理解数乘向量？提示 入a的大小为|入a|=|

4、入| a|,方向要分类讨论：当入0时，入a与a同方向；当入0 时，入a与a反方向；当 入=0或a为零向量时，入a为零向量，方向不确定.3如何理解平行向量基本定理？提示 如果a= X b,则a/b；反之，如果a/b,且bw。，则一定存在唯一一个实数人,使得a=入b.题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确（请在括号中打或“x”）(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.( V )(2)| a|与|b|是否相等与a, b的方向无关.( V )(3)若 a/b, b/c,贝U a/c.( x )(4)若向量XB与向量CD是共线向量，则 A, B, C, D四点在一条直线上.(x )(5)当两个

5、非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.( V )(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.(x )题组二教材改编2 .已知？ABCD的对角线 AC和BD相交于点 O,且OA= a, OB= b,则DC=, BC= .( 用 a， b 表示 )答案 b a a b解析 如图，DC=AB=O&OA= b-a,XXX XXBC= OC- OB= OA- OB= a- b.3 .在平行四边形 ABC用，若| Ab+Atd = | AB-AD,则四边形 ABCD勺形斗犬为答案 矩形解析 如图，因为Ab+AD=ACKfe-AD= DB所以1丽=1面.由对角线长相等的平行四边形是矩形

6、可知，四边形ABCO矩形.题组三易错自纠4 .对于非零向量a, b, “a+b=0”是“ a/b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若a+b=0,则a=b,所以all b.若a/b,则a+b=0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.5 .设向量a, b不平行，向量 入a + b与a+2b平行，则实数 入=.-1答案2 解析 :向量a, b不平行，a+2bw0,又向量 入a+b与a +2b平行，则存在唯一的实数解得入=（1 =2.入=(1,使 入 a+b=(i(a+2b)成乂,即 入 a+b=(ia+2|ib,贝U1= 2 ,6 .设

7、D, E分别是 ABC勺边 AB BC上的点,_ 1 _AD= 2AB-L 2_>,> 、BE= BC 右 DE=入 1ABH 入 2AC 入 i,入2为实数），则入1 +入2的值为答案2解析3bcX 1 = 入 2=三， 即 入 l+ X 2=.632题型一 平面向量的概念1 .给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；若A B, C, D是不共线的四点，且 龟=DC则ABC四平行四边形;a = b的充要条件是| a| = | b|且a/b；已知入，叱为实数，若 Xa= b,则a与b共线.其中真命题的序号是.答案解析 错误

8、，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；错误，若b = 0,则a与c不一定共线；正确，因为X屋女所以|俞=|而且Ab/DC又A, B, C, D是不共线的四点，所以四边形ABC时平行四边形；错误，当a / b且方向相反时，即使| a| = | b| ,也不能得到a= b,所以| a| = | b|且a / b不 是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；错误，当 入=。时，a与b可以为任意向量，满足Xa= b,但a与b不一定共线.故填.2 .给出下列四个命题：若 a/ b,贝U a=b；若 | a| = | b| ,贝U a=b；若 | a| =

9、| b| ,贝U a/ b；若 a=b,贝U | a| =| b| ,其中正确命题的个数是 ()A. 1B. 2C. 3D. 4答案 A解析只有正确.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.题型二平面向量的线性运算多维探究命题点1向量加、减法的几何意义例1（2017 全国n ）设非零向量 a, b满足| a+ b| = | a b| ,则（）A. a±bB. | a|

10、 = | b|C. a/ bD. | a|>| b|答案 A解析 方法一 I a+ b| = | a- b|,| a+ b| = | a b| .a2+ b2+2a - b = a2+ b22a - b.1. a - b = 0. aXb.故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则.在？abcdK 设 XB= a, AD= b,由 | a+b| =|a b| 知，|AC = | DB,从而四边形 ABCD;矩形，即 ABLAD故a±b.故选A.命题点2向量的线性运算例2（1）（2019 包头模拟）在平行四边形 ABCD点E为CD的中点，BE与AC的交点为F,设AB= a, A

11、D= b,则向量Bf于(12A.3a+3bC.答案 C解析 Bf= 2BE= !(Bc>CE 3321 _12,=o b-2a =-a+-b,3233故选C.（2）（2018 全国I ）在 ABC3, AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E成于（.3飞A.4 AB- 4 AC3一B.4AB- 4ACc.4收4 ACD.4AB+ 4ac答案 A解析 作出示意图如图所示.> 1 -> 1EB=EA DB= 2AD CB1 1, > >1,> >=2 x 2( AB+ AC) + 2( AB- AC=4缸 4 AC.故选A.命题点3根据向量线性运算求参数

12、例 3 在锐角 ABC CM= 3MB AM xAB+ yAC 则：=答案 3解析 由题意得CAAM= 3(Ab-AM),即 4AM/I= 3 超 AC、口 H f 3f 1亦即 AM=二 AB+ 二A C 44mtt 31则 x=& y=Q c故 一= 3. y思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.求首尾相连(2)求已知向量的和.共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求 参数的值.跟踪训练1(1

13、)在ABC43,点D, E分别在边 BC AC上，且B"2& CE= 3口 若AB= a, AC=b，则 DW 于()15113A. -a+ bB-a-b312312D. - 1a+ 13b31213>="(AC- AB 二AC 34=-1AB- 5AC= - 1a:5b,故选 C. 312312(2)(2018 营口模拟)在平行四边形 ABC珅，E, F分别为边BC CD的中点，若AB= xAE+ yAF(x, yC R),贝U x y=.答案 2. .一 .、 一 一 一 一 1>解析 由题意得AE= AB+ BE= AB+ 2ADAf=A>

14、Df=Ad 加因为 AB= xAe+ yAF,所以届=x + 曲g+y AQ4x = §, 解得yx + ,= 1, 所以x+y=。,所以x-y=2.题型三平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量 a与b不共线.(1)若 Afe=a+b, ®3=2a+8b, 也 3(a b),求证：A, B, D三点共线；(2)试确定实数k,使ka + b和a+kb共线.证明 ,.砧=a+b,配=2a+8b, CD=3(a-b), BD= 3+ CD= 2a+ 8b+ 3(a- b)= 2a+8b+3a-3b=5( a+b) = 5陌雨前浜线.又.它们有公共点 B, . A, B, D三点

15、共线.(2)解假设ka+b与a+kb共线，则存在实数 入，使ka+b= X (a+kb),即(k入)a=( X k 1) b.又a, b是两个不共线的非零向量，k X = X k 1 = 0.消去入，得 k2-1 = 0,k=±1.引申探究1 .若将本例(1)中“Bb= 2a+8b”改为“ BC= a+nb”，则m为何值时，A, B, D三点共线？解 BC CD= (a+ mb) + 3(a b) =4a+(m- 3) b,即 BD= 4a+(mr 3)b.若A, B, D三点共线，则存在实数入，使BD= AB即 4a + (mr 3) b=入(a+ b).4=入,所以解得mF 7.

16、mr 3=入,故当mF 7时，A B, D三点共线.2 若将本例(2) 中的“共线”改为“反向共线”，则 k 为何值？解 因为ka b 与 a kb 反向共线，所以存在实数 入，使ka + b=入(a+ kb)(入0).k=入,所以所以k=±l.k 入=1,又入0, k=入,所以k= - 1.故当k= 1时两向量反向共线.思维升华(1) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a, b共线是指存在不全为零的实数入1,入2,使入旧+入2b = 0成立；若 入旧+入2b=0,当且仅当 入1=入2=0

17、时成立，则向量 a, b不共线.跟踪训练2已知O, A, B是不共线的三点，且 O住mOAnOBm nC R).(1)若m n=1,求证：A P, B三点共线；(2)若A, P, B三点共线，求证：n=1.证明若ri n= 1,则OP= mOA (1 -m)OB=OBb m(OA-OB,OP- ob= m OA- OB ?即mmBA眄静线.又MBA公共点B,则A, P, B三点共线.(2)若A, P, B三点共线，则存在实数入，使靛入BX.OP-OB=入(OAOB .又 5p= mS/V piGb故有mOA（n-1）OB=入张入丽 即（rrn 入）九（n+ 入-1）OB=0.O, A B不共线

18、，OA丽共线,m- X = 0,m+ n= 1.n+ 入 一 1 = 0,1 .对于非零向量 a, b, “a+2b=0”是“a/b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若a+2b=0,则a=2b,所以all b.若a/b,则a+2b=0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件2 .已知向量 AB= a+3b, BC= 5a+3b, CD= 3a+3b,贝 (A.AB,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案 B解析 . BD>BC>Cd> 2a+6b=2ABBteXB共线，由于 孙

19、ABr公共点B,因此 A B, D三点共线，故选 B.3.如图，在正方形ABC珅，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点 B的三等分点，那-1T 1B.4AB+ AD1 一 2 一D. 3AB- -A D23么EF等于（）1-> 1->A. -AB-AD 231 一 1 一C. -AB+-DA 32答案 D解析 在 CEF,有 EF= EO CF1 一因为点E为DC勺中点，所以EC= 2DC因为点F为BC上的一个靠近点 B的三等分点,所以CF= 2CB34. （2018 锦州模拟）在ABC4点G满足G#G跳GC= 0.若存在点 O使得OG= 1BC,且OA 6=mOB nOC

20、则 m- n 等于（）A. 2B. 2C. 1D. - 1答案 D解析 斯苕国比=0,OA- OGF OB- OGF OC- OG= 0,og= 1( OAvO拼O° =6於6( Oo困，可得 OAf 2qo 3ob31一，1. m= -, n=2，m- n=1, 故选 D.5 .如图，已知 AB是圆O的直径，点 C, D是半圆弧的两个三等分点，AB= a, AC= b,则 画于()11B.-a bD.a+bC. a+b答案 D解析 连接OC OD CD由点C, D是半圆弧的三等分点， 可得/ AOC= Z COD= Z BOD= 60。，且AOAG口4OC国为边长等于圆 O半径的等

21、边三角形，所以四边形 OACD；菱形，所以Ab=AO1 E 1. 上小心 一+ AC= AB+ AC= -a+b,故选 D.7 1 2 76 .如图，在ABC43, Ah-AC； P是BN上的一点，若AP= mi AB- -AC,则实数 m的值为（）5B.113II9 A.1113C.G答案 B解析注意到N, P, B三点共线,一 .7 r 266r因此 AP= mAB-石AO mAB-石AN6 ,5从而叶G，,所以m=彳7,若 | 丽=|Af = | 危一丽=2,则 | ABACf =.答案 2 3解析 因为|丽=|丽 =|亚两=2,所以 ABC是边长为2的正三角形，所以|超雨为ABCW边B

22、C上的高的2倍，所以|超丽=2 3.8 .若点。是 abo在平面内的一点， 且满足| Ob- Oc = 10+oo 2OA,则 abc勺形状为答案直角三角形解析 因为 O Oo 2oA=ob-oAfoooA= AB+ AC, OB- OC CB= AB- AC所以 |Afe+ ACf =| Ab- AC, rtr即AB AC= 0,故ABlAC, ABC直角三角形.9 .若M是 ABC勺边BC上的一点，且CM= 3MB设AM=入AB+则入的值为3答案4解析 由题设知罂3,过M作MN AC交AB于N, MBl,MN BN BM 1 则一=一 人AC BA BC 4'AN 3从而融 =彳，

23、 又 XMi=入 超 AC>Xn+NMi= 3超 1AC,44所以入=3.10 . （2019 包头质检）已知ei, e2为平面内两个不共线的向量，MN= 2ei 3e2,寸2入e + 6e2,若M N, P三点共线，则入=.答案 4解析因为M, N, P三点共线，所以存在实数k使得Mn= kNp 所以 2ei 3e2=k（入 ei+6e2）, 又ei, e2为平面内两个不共线的向量,2= k 入, 可得解得入=4.3 = 6k,11 .如图所示，设 O是ABS 部一点，且 OAfQO -2OEB求 ABC! AOM面积之比.解取AC的中点D,连接OD则 OAF OC= 2OD. Ob=

24、- OD.O是AC边上的中线BD的中点，S»A ABC= 2S»A OACABCW AOCT积之比为 2 ： 1.BF与C改于点Q设AB= a, AC=12 .如图所示，在 ABC, D, F分别是AB, AC的中点, b,试用a, b表示向量AO解 方法一 由D, Q C三点共线，1可设 D& kiDC= ki(AC- AD = ki b2a1=2kia+ kib( ki 为头数)， 同理，可设 Bb= k2BF= k2( AF=-AB)=k2 2b a = k2a + 2k2b( k2 为实数)，一一一 i i又 BO=BD+DO= - 2a+ -2kia+ k

25、ib1 .小=-2(i + ki) a+ kib,i. . i所以由，伶一 k?a+2k2b= - 2(i + ki)a + kib,J. _ . i , 一即2(i +ki 2k2)a+ 2k2ki b = 0.,iki = 3,解得2 k2=3.又a, b不共线,i .2 i + ki 2k2 =0, 所以i .2k2 ki = 0,所以 Bb= |a+b.33所以 Ab= AB+Bb=a + 6a+1b = a( a+ b) - 333方法二 延长AO交BC于点E, O为ABC勺重心，则E为BC的中点,所以 AO= 3AE= 3x 2( AB+ AC = 3( a+ b).13 .如图所示，矩形 ABCD勺对角线相交于点 O E为AO的中点，若De= X AB+ 科而 入，W为实数），则入2+1等于（）1D.一165 1 A. B.-C.8 4答案 A解析 De= 2dA+ 1Do- 29 4；Db=1dav 4(DavXB)= 1Xfe-狗13,22 5.所以入=4, (1 = 4,故入+(! =8，故选a.14 . A, B, C是圆O上不同的三