2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修二数学下期中试题及答案

1、2020-2021深圳宝安区桥兴学校高中必修二数学下期中试题及答案一、选择题1.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为2.卜列命题正确的是（B.D.2024A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面3.已知直线m、n及平面 ，其中m/n,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1） 一条直线；（2） 的是（）一个平面；（3） 一个点;（4）空集。其中正确A. (1) (2) (3)B. (1) (4)C. ( 1)(2)(4)D.(2) (4)4.已知定义在R上的函数f（x） 21,ix m

2、1（m为实数）为偶函数，记a = f (log0.5 3), b = f (log2 5),c = f (2m),则 a,b,c,的大小关系为(A.B.5.直线x y0截圆cab22 cx y 2xC.D.A.B.6.如图是某四面体2y aC.10所得弦的长度为D.4,则实数a的值.6ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1,则四面体ABCD外接球的表面积为B.A. 20C. 25D. 1007 .已知三棱锥S ABC的每个顶点都在球 。的表面上，ABC是边长为4J3的等边三角形，SA 平面ABC ,且SB与平面ABC所成的角为-,则球O的表面积为（）A. 20B. 40C.

3、 80D. 1608 .若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）33A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm9 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）锲图A. 12C. 2410 .在梯形ABCD中,B. 18D. 30ABC 90 , AD/BC , BC 2AD2AB 2 .将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）2A.一3D. 211 .如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中:BM与ED平行 CN与BE是异面直线CN与BM成60角DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（）A. 1B.

4、 2C. 3D. 412.如图，在正方体 ABCD AB1C1D1中，M, N分别是BC1, CD1的中点，则下列说 法错误的是（）A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与AB1平行二、填空题13 .九章算术中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将 四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖月需.若三棱锥P ABC为鳖月需，PA 平面ABC, PA AB 2, AC 4 ,三棱锥p ABC的四个顶点都在球。的球面上，则球O 的表面积为.14 .如图，在圆柱 O O2内有一个球 O该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 O VO的体积为V ,

5、球O的体积为V2 ,则一的值是15 .已知一束光线通过点 A 3,5 ,经直线l ： x y 0反射，如果反射光线通过点B 2,5 ,则反射光线所在直线的方程是 .16 .如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把 ABD与 ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：uuu uur BD AC 0 ； /BAC=60。；三棱锥D - ABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平面 ABC的法向量互相垂直.其中正确结论的序号是 .(请把正确结论的序号都填上)17 .已知B与点A 1,2,3关于点M 0, 1,2对称，则点B的坐标是.18 .在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD中

6、，M为线段PB上的一动点，则当AM MC 最小时，cos AMC 19 .已知点P(x, y)是直线y kx 4(k 0)上的一个动点，PA, PB是圆22C :x y 2y 0的两条切线， A, B是切点，若四边形 PACB的面积的最小值为 2, 则实数k的值为.20 .在正方体ABCD ABCD中，E是DDi的中点，则直线 BE和平面ABBA所成 的角的正弦值为.三、解答题21 .如图，在以A, B,C,D,E为顶点的五面体中， 。为AB的中点，AD 平面ABC , AD /BE, AC CB, AC 2 J2，AB 2BE 4AD 4.(1)试在线段BE找一点F使得OF 平面CDE ,并

7、证明你的结论;(2)求证：AC 平面BCE ;(3)求直线DE与平面BCE所成角的正切值.22 .如图，在直三棱柱 ABC AB1cl中，AD 平面ABC,其垂足D落在直线 AB 上.(I)求证：BC AB ；(n)若P是线段AC上一点，AD J3, AB BC 2,三棱锥A PBC的体积为3 + AP a古,求的值.3 PC23.在三麴i S ABC中，平面SAB 平面SBC, AB BC , AS AB,过A作AF SB,垂足为F ,点E, G分别是棱SA, SC的中点.(1)求证：平面EFG /平面ABC.(2)求证：BC SA.24.如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形ABEF所

8、在平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形，AB AE , FA FE , AEF 45(1)设线段CD、AE的中点分别为 P、M ,求证：PM /平面BCE;(2)求二面角F BD A所成角的正弦值.25 .如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC, AC BC, M为AB的中点，D为 PB的中点，且4PMB为正三角形.a(1)求证：DM/平面APC;(2)求证：BC，平面APC；(3)若BC 4, AB 10,求三棱锥D BCM的体积.BC是底面圆O的直径,26 .如图，AAi、BBi为圆柱OOi的母线(母线与底面垂直)，D、E分别是AAi、CB1的中点，DE 平面CBBi.(1)证明：AC

9、 平面 AA1B1B；(2)证明：DE/平面ABC.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1 . B解析：B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为_212S 5 22 2 121 2 20 3 ,故选 B.22. C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出【详解】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点 确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定

10、一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题3. C解析：C【解析】 【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可 得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2）,直线a,b到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符 合题意的点；如图（3）,直线a,b所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，综上可知（1） （2） （4）是正确的，故选C.本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位

11、置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题.4. B解析：B【解析】由f x为偶函数得m 0,所以a 2网0,53 1 2log23 1 3 1 2, b 2log25 1 5 1 4,c 20 1 0,所以 c a b, 故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5. A解析：A【解析】【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可 【详解】由题意，根据圆的方程x2 y2 2x 2y a 1 0,即（x 1）2 （y 1）2 2 a,则圆心坐标为（1,1）,半径r JTF,1 1 2又由圆心到直线的距离为 d 十 亚,. 2所以由圆的

12、弦长公式可得2小丁）2 （扬2 4，解得a 3,故选a.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程， 求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力.6. C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD为等腰直角三角形，其外心为BD中点。1 ,设。为AD中点，则。为外接球球心，15半径长度为一AD -,22所以表面积为257. C解析：C【解析】 【分析】根据线面夹角得到 SA 4,计算 ABC的外接圆半径为r a 4, 2sin A2r21 SA ,解得答案.

13、2【详解】SA 平面ABC ,则SB与平面ABC所成的角为 SBA ,故SA 4. 6ABC的外接圆半径为r a 4 ,设球O的半径为R, 2sin A2一 c c GA.一L一.一.c则R2 r2SA ,解得R 2J5,故球。的表面积为4 R2 80 .2故选：C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力8. B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：.由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:棱柱的高为5;底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为，几何体的体积 V=X3X4X5-xLx3x4x 5=20 (cm3)23 2考点：1.三视图读图的能力

14、；2.几何体的体积公式.3、4,9. C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为K=-X3X4X5-X X3x4x3=24,故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体 的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系

15、，属于中档试题.10. C解析：C【解析】【分析】由题意可知旋转后的几何体如图 ：直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以1 c 5该组合体白W积为V V圆柱 V圆锥12 2 -12 1 -33故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.11. B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案.【详解】把平面展开图还原原几何体如图：M月B由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故错误

16、；CN与BE平行，故错误；连接BE ,则BE PCN ,EBM为CN与BM所成角，连接EM ,可知 BEM为正三角形，则 EBM 60 ,故正确；由异面直线的定义可知，DM与BN是异面直线，故正确.，正确命题的个数是 2个.故选：B.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题.12. D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明 MN /BD ,再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接CiD , BD ,Q在三角形CiDB中，MN /BD ,故C正确.QCCi平面ABC

17、D, CCi BD , MN与CCi垂直，故A正确；QACABD, MN /BD , MN 与 AC 垂直，B 正确；. MN/BD, MN与A1B1不可能平行，D错误故选：D.【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键二、填空题13. 【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得 因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即 可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20九【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA

18、 平面ABC ,可得PC 2J5 ,PB 272 因为VPBC为直角三角形，可得 BC 2J3，所以PB BC,因此 AB BC ,结合几何关系，可求得外接球 O的半径R Jr2 -PAJ22 1 J5,代入公式即可求球。的表面积.【详解】本题主要考查空间几何体.由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA 平面ABC ,PA AB 2, AC 4, PC 2芯，PB 2技因为VPBC为直角三角形，因此BC 2J3或BC 2H （舍）.所以只可能是BC 2芯,此时PB BC ,因此AB BC ,AC所以平面ABC所在小圆的半径即为r " 2,2又因为PA 2 ,所以外接球O的半径R

19、 j2 PA221 B所以球O的表面积为S 4#220 7t.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到 AB BC,再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题.14. 【解析】设球半径为则故答案为点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解 题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利 用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 3解析：32【解析】Vir2 2r 33设球半径为r ,则1 4一 2 .故答案为一 .3点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解 的

20、柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接 利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.15 .【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考 查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：2x 7y 31 0【解析】【分析】计算A 3,5关于直线y。的对称点为 A 5,3 ,计算直线AB得到答案.设A 3,5关于直线x yx 30的对称点为A x, y，故x 3 y2i,故A5 025,35,化简得到2x 7y 31 0. 5 3故反射光线为AiB ： y x

21、 22 5故答案为：2x 7y 31 0.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键16 .【解析】【分析】 由折叠的原理可知BD，平面ADC可推知BD，AC数量积为零由折叠后AB=AC = BC三角形为等边三角形得 /BAC =60°；由DA = DB= DC根据正三棱锥的定义判断 平面ADC 解析：【解析】【分析】由折叠的原理，可知 BD，平面ADC,可推知BDXAC,数量积为零， 由折叠后AB = AC = BC,三角形为等边三角形，得/ BAC = 60° ; 由DA = DB=DC,根据正三棱锥 的定义判断. 平面ADC和平面ABC不垂直.【详解】B

22、D,平面 ADC, ? BD±AC,错；AB = AC=BC,对；DA = DB= DC,结合，对错.故答案为【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论 证，属中档题.17 .【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设 B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本 分析求解能力属基础题解析：1, 4,1【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】1 x 2 y 3 z设Bx,y,z,则0 , 1 -,2 ，所以x 1,y 4, z 1 ,所以B的坐222标为 1, 4,1 .

23、【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题18 .【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时 点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与 交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正一一 1斛析：-3【解析】【分析】将侧面PAB和侧面PBC平展在一个平面上，连 AC,即可求出满足 AM MC最小时, 点M的位置，以及 AM,CM长，解VAMC ,即可求出结论.【详解】将侧面PAB和侧面PBC平展在一个平面上，连AC与PB交点即为满足AM MC最小，正四棱锥P ABCD各棱长均为1,在平展的平面

24、中四边形 PABC为菱形，且 PAB 600,3 3 24 42 34AM MC 43,在正四棱锥P ABCD中，AC J5 2222AM2 CM2 AC2在 VACM中，cos AMC 2AM CM 1故答案为：1.3【点睛】 本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.19.【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为 切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据 题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的 解析：【解析】分析：回出图形（如图），根据圆的性质可得SI边形PA

25、CB2SVPBC ,然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理. 详解：根据题意画出图形如下图所示.由题意得圆C:x2 y2 2y 0的圆心0,1 ,半径是r 1,由圆的性质可得 Sg边形pacb2SVpbc ,四边形PACB的最小面积是2,1 Svpbc的最小值S 1 -rd （d是切线长）， 2圆心到直线的距离就是PC的最小值,5又k k点睛:1 k20,2.本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理.20 .【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正 弦值【详

26、解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所 成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 一一 2解析：2 3【解析】【分析】作出直线BE和平面ABBA所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】 设F为AAi的中点，连接EF , EB, BF ,根据正方体的性质可知EF平面ABB1A1 ,所以 EBF是直线BE和平面ABBiA所成白角.设正方体的边长为 2 ,在Rt EBF中_._EF 2EF 2, BE 72212 3，所以 sin EBF -BE 3OiG(3)2)由,可知AG 根据所给【点睛】本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于

27、基础题三、解答题i21 . (1)在BE上取点F,使得BF BE ;证明见解析；(2)证明见解析；42.23【解析】【分析】1(1)在BE上取点F,使得BF - BE ,根据直线和平面平行的判定定理即得；( 4线面垂直的判定定理即得；(3)取BE中点G ,连接AG , CG ,由DEAG 与平面CBE所成的角等于 DE与平面CBE所成的角，已知 AC 平面BCE , 条件计算即得.【详解】，一，一1(1)如图，在BE上取点F,使得BF BE,4理由如下：OF 是 VABG 中位线，OFAG, FO/DE ,OF 平面 CDE, OF 平面 CDE.(2)已知AD 平面ABC ,又QADBE,B

28、E 平面 ABC , BE AC,又 AC CB AC 平面 EBC.(3)取BE中点G ,连接AG , CG ,Q DE/AG ,AG与平面CBE所成的角等于DE与平面CBE所成的角，又 AC 平面BCE,AGC是AG与平面CBE所成的角，在 Rt ABC 中，AB 4, AC 272 ,BC 272 ,在 Rt BCG 中，cg VBCBG 3,在 Rt ACG 中，tan AGCAC 2 ：2CG 3即直线DE与平面CBE所成角的正切值为 2/2.3【点睛】本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所 成的角的正切值，属于中档题 .22. （1）证明见解

29、析；（2） 3.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线 BC,由已知AD与平面ABC垂直可得AD BC,再由直三棱柱中侧棱 AAi与底面ABC垂直，又得AA BC ,从而可得 BC与平面AA1B垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知 ABC是等腰直角三角形， 可得其面积，由AD AB可通过解直角三角形得 AA1 ,从而可求得三棱锥 Ai ABC的AP体积.由三棱锥 A PBC与三棱锥A ABC的关系可求得 PC,从而得CP.（也可设PCPC X,求得三棱锥 A PBC （用x表示），再由已知列方程解得 x） 试题解析：（1） AD 平面 A1BC,

30、BC 平面 ABC,2瓜AA . AD2 AD2V A1 PBC 三 S36 VPBC AA13 x .AD BC ,在直三棱柱 ABC A1B1C1中易知AAi 平面ABC , AA1 BC，: AA I AD A , BC ± 平面 AA1B1B , AB 平面 AABB,. BC A1B.设PC x,过点B作BE AC于点E ,由（1）知BC，平面AA1B1B , BC AB. AB BC 2, AC 2 " BE 应，12-S PBC BE CP x. 22 AD 平面ABC ,其垂足D落在直线AB上，AD A1BAA BA,AD s/3,AB 2,2在 Rt ab

31、d 中，bd Jab2 ad2 1,又 ad bdad,.ad 3,在 Rt ADA1 中,.2211又三棱锥A PBC的体积为 ,x 叵,解得x 32 .23245.2AP 5AP 5，.二-.4PC 323.(1)见解析(2)见解析【解析】证明(1) AS AB, AF SB,垂足为F ,，F是SB的中点，又因为 E是SAM 中点，EF / AB, EF 平面 ABC, AB 平面 ABC, EF /平面 ABC;同理EG /平面ABC.又EFEG E, .平面 EFG /平面 ABC.(2) 平面SAB 平面SBC,且交线为SB,又 AF 平面 SAB, AF SB, AF 平面 SBC

32、, . BC 平面 SBC, . AF BC ,又因为 AB BC, AF AB A, AF、AB 平面 SAB, BC 平面 SAB, . SA 平面 SAB, . BC SA.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查 空间想象能力和推理论证能力 .24.(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】1(1)取BE中点N ,连MN ,CN ,得MN /AB,MN AB ,可证四边形 2行四边形，进而有 MP/CN ,即可证明结论；(2)设AB AE 2 ,由已知可得AEL平面ABCD ,过F做FQ /AE , Q ,得FQ平面ABCD,过Q做QO BD垂足为。

33、，连FO ,可证bd FOQ ,得到 FOQ为二面角f bd A的平面角，解Rt OFQ即可. 【详解】(1)取BE中点N ,连MN ,CN，又M为AE的中点，CPMN为平交AB于平面1 -MN/AB,MN AB ,在正方形 ABCD中，P是CD中点, 2CP/MN,CP MN, 四边形CPMN为平行四边形，MP/CN , MP 平面 BCE, CN 平面 BCE ,PM /平面 BCE ；(2)设AB AE 2, ABE是等腰直角三角形， AB AE ,AE AB ,平面 ABCD 平面 ABEF ,平面 ABCD I 平面 ABEF AB ， AE 平面 ABEF ,AE 平面 ABCD，

34、过 F 做 FQ /AE ,交 AB于 Q , FQ 平面 ABCD , Q FA FE , AEF 45 , EF AF, EAF 45 , AF 72, FAQ 45 , 在 RtAFQ 中，FQ AQ 1, BQ 3, 过Q做QO BD垂足为O,连FO, Q FQ 平面 ABCD, FQ BD , FQ I OQ Q ,BD 平面 FOQ , BD OF ,FOQ为二面角F BD A的平面角,在 Rt BOQ 中，bQ3, OBQ 45 , OQ在 Rt FOQ 中，OF JFQ2 OQ2 J22, 2FQ 22 sin FOQ ,OF 11二面角F BD A所成角的正弦值Y22.11【点