2020-2021历年中考数学易错题汇编-相似练习题附答案

1、2020-2021历年中考数学易错题汇编-相似练习题附答案一、相似1 .如图所示， 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=90°, AD± BC, DEL AC, ACDE 沿直线 BC 翻折 至iJCDF连结AF交BE、DE、DC分别于点 G、H、I.(1)求证：AF, BE;(2)求证：AD=3DI.【答案】(1)证明：二.在ABC中，AB=AC, /BAC=90, D是BC的中点, .AD=BD=CD, /ACB=45,°1 .在 ADC 中，AD=DC, DEX AC,.AE=CECDE沿直线BC翻折到CDF,.,.CDEACDF,2 . CF=CE /

2、 DCF=Z ACB=45 ；3 . CF=AE / ACF=Z DCF+/ ACB=90 ,°AB * AC ZBAE = ZACf 在 ABE 与 AACF 中，.任 C/',4 .ABEAACF (SAS ,/ ABE=Z FAC,5 / BAG+Z CAF=90 ,°6 / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE(2)证明：作 IC 的中点 M,连接 EM,由(1) /DEC=Z ECF4 CFD=90四边形DECF是正方形，EC/ DF, EC=DF/ EAH=Z HFD, AE=DFZAHE - zrn lEAn =上HF&

3、在 AEH 与 4FDH 中 AE Di ,2 .AEHAFDhl (AAS), .EH=DH,3 / BAG+/ CAF=90 ,°4 / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE,. M是IC的中点，E是AC的中点，.EM /AI,.而一应：.DI=IM,.CD=DI+IM+MC=3DI,.AD=3DI【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明AB®4ACF,利用全等三角形的性质得出/ ABE=Z FAC再证明/ AGB=90 ,可证得结论。(2)作IC的中点 M,结合正方形的性质，可证得 /EAH=/ HFD, AE=DF利用 AAS证明 AE

4、H与 FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2.综合题(1)【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，/ B=90。，小明想从中剪出一个以 / B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多 少.D C 3 Q D M图？).(2)【拓展应用】如图，在 ABC中，BC=qBC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形 PQMN面积的最大值为多少.(用含a, h的代数式表示)(3)【灵活应用】如图，有一

5、块 缺角矩形'ABCDE AB=32, BC=40, AE=20, CD=16,小明从中剪出了一个 面积最大的矩形(/B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.(4)【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm, BC=108cm, CD=60cm,且tanB=tanC= '1 ,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 PQMN,求该矩形的面积.【答案】(1)解：.EF、ED为4ABC中位线，M、N在边BC上且面积最大的矩形.ED/AB, EF/ BC, EF= BC, ED= AB, 又 / B=90°,四边形FEDB是矩形，s处班法 EF9DE

6、5 婢 ¥ ,-BC-AB则(2)解:.PN/BC,.APNAABC, PN h - PC _,即占贝U S 矩形 pqmn=PQ?PN=x (a-力 x)-1二x2+ax=-h(x-)dli+7,h.当PQ=二时，S矩形PQMN最大值为劾4(3)解：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点 G,延长AE、CD交于点PN=a- PQ, 设 PQ=x,H,取BF中点I, FG的中点K,由题意知四边形 ABCH是矩形,. AB=32, BC=40, AE=20, CD=16, .EH=20、DH=16, .AE=EH CD=DH,在 AEF和AHED中,AE=A11.AEFA

7、HED (ASA),.AF=DH=16,同理 ACDGAHDE, .CG=HE=2Q=24,.BI=24<32,中位线IK的两端点在线段 AB和DE上, 过点K作KL.X BC于点L,二 XBG? BF=J X(40+20) >C (32+16) =720,由【探索发现】知矩形的最大面积为/ B=ZC,答：该矩形的面积为 720;CD交于点E,过点E作EHL BC于点H,.EB=EQ. BC=108cm,且 EH，BC,，BH=CH= BC=54cm,tanB= Bis = 3 ,FJRJ 2.EH= J BH= J X 54=72cm在 RtA BHE 中,BE=qRF + 初=

8、90cm , .AB=50cm,AE=40cm,.BE的中点Q在线段AB上，.CD=60cm,ED=30cm,CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段 AB> CD上，1由【拓展应用】知，矩形 PQMN的最大面积为B BC?EH=1944cm2 , 答：该矩形的面积为 1944cm2 .1 1【解析】 【分析】(1)由三角形的中位线定理可得ED/ AB, EF/ BC, EF= BC, ED= JFEDB是平行四边形，而AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形/B=90；根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以(2)因为 PN/ BC,由

9、相似三角形的判定可得APNM4ABC,则可得比例式m 分一网昌- PN = a 日 方 ，解得力，设 PQ=x ,贝U S矩形pqmn=PQ?PN=xj a 餐产- -J<，因为力0,所以函数有最大值，即当竺 AE比拉，即a X( 心)APQ=时，S矩形PQMN有最大值为ah;延长AE、CD交于点H,取BF中点(3)延长 BA、DE交于点F,延长BC ED交于点G,I, FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH,于是 用角边 角可得 AEH HED ,所以 AF=DH=16,同 理可得 CD8 4HDE,则CG=HE=20所以

10、”=24,BI=24v 32,所以中位线 IK的两端点XBG? BF=在线段AB和DE上，过点K作KLA BC于点L,由(1)得矩形的最大面积为(40+20) 乂 (32+16) =720;(4)延长 BA、CD交于点E,过点E作EHI± BC于点H,因为tanB=tanC,所以/ B=/C,贝U EB=EC由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得 EH=BH= JX 54=72cm在 RtBHE中，由勾股定理可得 BE=90cm所以AE=BE-AB=40cm 所以 BE的中 点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面

11、积为 /B BC?EH=1944cnf3.如图1,等腰4ABC中，AC= BC,点 O在AB边上，以 O为圆心的圆与 AC相切于点 C,交AB边于点D, EF为。的直径，EF± BC于点G.军11(1)求证：D是弧EC的中点；(2)如图2,延长 CB交。O于点H,连接 HD交OE于点K,连接 CF,求证：CF= OK+DO;图二2b(3)如图3,在(2)的条件下，延长 DB交。于点Q,连接QH,若DO= 6 , KG= 2,求QH的长.AC是。O的切线, OCX AC,/ ACO=90 ；a A A+Z AOC=90 ,° ,.CA=CB,/ A=Z B, EFL BC,/

12、 OGB=90 ；/ B+/BOG=90 ；/ BOG=/AOC, / BOG=Z DOE,/ DOC=Z DOE,.点D是应的中点(2)证明：如图2中，连接OC. EF，HC, .CG=GH, EF垂直平分HC, .FC=FH/ / CFK=- / COE / COD=Z DOE, / CFK之 COD, I / CHK= / COD, I/ CHK= / CFK点K在以F为圆心FC为半径的圆上，FC=FK=FHDO=OF, . DO+OK=OF+OK=FK=CF即 CF=OK+DO曾(3)解：如图 3 中，连接 OC、彳HMLAQ 于 M.设 OK=x,贝U CF= 6 +x, OG=2

13、x, GF=6 - ( 2 - x),邺CG2=CF? - FG2=CC2 - OG2 ,踞世26.(炉 +x) 2行-(2-x) 2=(方)2 (2-x) 2 .解得x=1,I.CF=5, FG=4, CG=3, OG=, / CFE=/ BOG,.CF/ OB,cf a re(= = GL =曲,35 N 22可得 OB= IS , BG= 9 , BH= 9 , 色珈加 由BHMsbog,可得拓=应=说,BM=札 HM="，MQ=OQ- OB - BM=在 RtA HMQ 中，I 4 221 Id( _) # ) nQH= .=.【解析】【分析】(1)如图1中，连接OC.根据切

14、线的性质得出 OCLAC,根据垂直的定 义得出/ ACO=90 ,根据直角三角形两锐角互余得出/ A+Z AOC=90 ,根据等边对等角得出Z A=Z B ,根据垂直的定义得出/ OGB=90 °,根据直角三角形两锐角互余得出 ZB+Z BOG=90 ;根据等角的余角相等得出/ BOG=Z AOC,根据对顶角相等及等量代换得出/ DOC=/ DOE,根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；(2)如图2中，连接OC.根据垂径定理得出 CG=GH进而得出EF垂直平分HC,根据线 段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH根据圆周角定理及等量代i换得出/CFKW COD, /

15、CHK=/CFK从而得出点 K在以F为圆心FC为半径的圆上，根 据同圆的半径相等得出 FC=FK=FH DO=OF,根据线段的和差及等量代换得出 CF=OK+DQ(3)如图 3 中，连接 OG 彳HMLAQ于 M.设 OK=x,则 CF= + +x, OG=2 x, GF= 6 -(2-x),根据勾股定理由 CG2=C* - FG2=CO2 - OG2 ,列出关于x的方程，求解得出x 一的值，从而得出 CF=5 FG=4, CG=3, OG=，根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两 直线平行得出 CF/ OB,根据平行线分线段成比例定理得出 C F：O B = C G： G B = F G

16、: G O ,进而可得 OB,BG,BH的长，由 BHMs BOG,可得 B H ： O B = B M : B G = H M ： O G,再得出BM,HM,MQ的长，在RtAHMQ中，根据勾股定理得出 QH的长。44.如图，已知：在 RtABC中，斜边 AB=10, sinA= 点P为边AB上一动点(不与 A, B重合)，PQ平分/CPB交边BC于点Q, QMLAB于M, QNLCP于N.(2)若四边形PMQN为菱形，求CQ;(3)探究：AP为何值时，四边形 PMQN与4BPQ的面积相等?【答案】(1)解：. AB=10, sinA= 1 ,BC=8,则AC="成格=6, PA=

17、PCZ PAC=/ PCA, PQ 平分 / CPB/ BPC=2Z BPQ=2Z A,/ BPQ=Z A, .PQ/ AC, .PQBC,又 PQ平分 / CPB,/ PCQ=Z PBQ, .PB=PC .P是AB的中点，IPQ= AC=3(2)解：二四边形PMQN为菱形，MQ / PC,/ APC=90 ；a K0 J X ABX CP= AC¥ BC则 PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4, MQ / PC, PB 瓦=解得，CQ=(3)解：PQ平分/CPB, QMXAB, QNXCP, .QM=QN, PM=PN,Sapmq=Sapnq ,四边形PMQN与 BPQ的面积相

18、等， .PB=2PM,.QM是线段PB的垂直平分线,Z B=ZBPQ,Z B=/CPQ.CPQACBP,BQ.-.CP=4 M- =4. jX=5,.AP=AB- PB=AB- 2BM= 5AC=6, BC=8,因为 PQ平分【解析】【分析】（1）当 AP=CP时，由锐角三角函数可知ZCPB,所以PQ/AC,可知PB=PQ所以点P是AB的中点，所以 PQ是4ABC的中位线，PQ =3;当四边形 PMQN为菱形时，因为 /APC的，所以四边形 PMQN为正方形，可得PB即到PC=4.8, PB=3.6,因为MQ/PC ,所以无 她 切 优，可得"当QM垂直平分PB时，四边形PMQN的面

19、积与 BPQ的面积相等，此时25I 第QC - BM - T CPQACBP,对应边成比例，可得% 所以因为 AP=AB-2BM,所以11AP= £ 5.如图，在 4ABC中，ZC=90 , /ABC的平分线交 AC于点E,过点E作BE的垂线交 AB 于点F,。是4BEF的外接圆.(2)过点E作EH，AB,垂足为 H,求证：CD=HF;(3)已知：CD=1, EH=3,求 AF 的长.【答案】(1)证明：如图，连接 OE. BE 平分/ABC,/ CBE=Z OBE,1 .OB=OE,/ OBE=/OEB,/ OEB=/CBE,2 .OE/ BC,/ AEO=Z C=90 ； .AC

20、是。O的切线；(2)解：如图，连结 DE. /CBE玄 OBE, EC± BC 于 C, EHL AB 于 H,.EC=EH / CDE+/ BDE=180HFE+Z BDE=180 ,° / CDE土 HFE在CDE与HFE中，/COE = ZHFE iZC -上E塞-1 EC =诩.,.CDEAHFE (AAS),.CD=HF.(3)解：由(2)得，CD=HF.又 CD=1 .HF= 1在 RtHFE 中，EF=HEF± BE/ BEF=90 °/ EHF=Z BEF=90 ° / EFH=Z BFE.EHFABEFEF 肝 亚 _J_加一

21、瓦即BF 灰在 RtOHE 中，.BF=10图1图2图3OE 4 gs/助-在 RtEOA中，" 一以 $纪0A = 425<5AF = - 5 =- .【解析】【分析】(1)连接 OE.利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE/ BC,从而得/AEO=/ 0=90°,可得到证明；(2)连结DE.利用AAS可证CDEHFE,从而得到证明；(3)证EHD4BEF,由相似三角形的性质可求得BF,从而彳#到 OE,在 RtAOHE和 EOA中，由cos/EOA可求出 OA,从而求出 AF.Q-(1)【探索发现】如图1,是一张直角三角形纸片，上由二外 ，小明想从中剪出一

22、个以|上13为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三 角形面积的比值为 .(2)【拓展应用】如图 2,在1白瓯中， 的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、国，BC边上的高HD = h ,矩形 pqmnM在边BC上，求出矩形 PQMN面积的最大值用含a、h的代数式表示八(3)【灵活应用】如图 3,有一块缺角矩形'ABCDE AB 滤,BC - 3d ,反 1$ , 小明从中剪出了一个面积最大的矩形为所剪出矩形的内角 ，直接写出该矩形的面积.【答案】(1)工(2)解：| 丁

23、 PN/HC ,二/ ATN s / AB1 ,I N A Ela-n PN - a5把睬Q期最大值为BC AD ,可得hahJI .(3)解：如图，过 DE上的点P作(PG±BC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P设PGX，贝U |P工二尤-X ,丁妞-巩CD /，BC - 3 J At 抬 . : DK”, EK 巩El PI由| EIPs EKD知我一词,99S - x54 - - 6e - 21)2 + 的才则矩形BGPH的面积，：当工可时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为567.【解析】【解答】(1)解：丁丽、ed为/ 中位线，EF 二ED -4h：四边形FED

24、B是矩形,故答案为:【分析】(1)由中位线知EF= BC、(2)由 APNsMBC 知 BC,设 PQ=x,由 S 矩形 pqmn=PQ?PN=ah 2<a/lh/ ,据此可得；(3)结合图形过DE上的点 P作PGJX BC于点 G,延长GP交AE延长线于点I,过点 P作PHXAB,设PG=x,知 PI=28-x,由EI2 4EKD 知EI Pl(51魔，据此求得EI=再根据矩形BGPH的面积S=g g3 -二万 - 21)2 * 56；可得答案.点A行»，点B加*已知金、6(1)点A的坐标为，点B的坐标为;(2)如图1,点E为线段 OB上一点，连接 AE,过A作AFLAE,且

25、AF=AE,连接 BF交7.在平面直角坐标系中，(a + I)2 +后 + 8b + 16 - 轴于点D,若点D(-1,0),求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，如图 2,过E作EHLOB交AB于H,点M是射线EH上一点(点M不 在线段EH上)，连接MO,作/MON=45 , ON交线段BA的延长线于点 N,连接MN ,探究 线段MN与OM的关系，并说明理由。【答案】(1) (-4,0) ; (0,-4)(2)解：作 Fhl± OA 于 H,.AFAE, / FAE之 AHF=Z AOE=90 ,° / FAH+Z OAE=90 ,° / FAH+/ AFH=9

26、0 ,/ AFH=Z OAE, .AF=OA, .AFHAEAO,FH=OA, 点 A (-4,0)，点 B (0, -4)FH=OA=OB=4, / FHD=Z BOD=90 ； / FDH=Z BDO, .FDHABDO,.OD=DH=1,.AH=OH=OE=2 E (0,-2)(3)解：结论： MN=OM,MN ±OM, 理由：连接 OH, OM与BN交于G,. OA=OB,Z AOB=45 ,/ OAB=45 ° . OE=EB=2, EH/ OA,.AH=BH,OH±AB,Z AHM=/OAB=45 ； / MON=45 °/ GON=/ GH

27、M, / NGO=Z MGH,.NGOAMGH,倒OG=B , 窈MG 优=必 , , / NGM=/OGH,.NGMAOGH,/ NMG=/OHG=90 ； OMN是等腰直角三角形.MN=OM,MN ±OM.【解析】【解答】（1） Q 7声+4曲冬hQ 一户*f刃4 =0, . a=-4, b=-4,.点A的坐标为（-4,0）,点B的坐标为（0, -4）【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解；（2）如图1 中，作 FH, OA 于 H ,由AFHEAO,推 出 FH=OA,由FDHBDO,推 出 6T优，AH=OH=OE=2; （3）连接 OH, O

28、M 与 BN 交于 G,由NGOsMGH,推出 比=Gh，再推出仇=仍，再得出NGMsOGH,推出/NMG=/OHG=90 ,推出4OMN是等腰直角三角形 即可解决问题.8.如图，已知 4ABC的顶点坐标分别为 A (3, 0) , B (0, 4) , C (-3, 0)。动点 M, N 同时从A点出发，M沿 ZC,N沿折线 ZB-C ,均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为篝书图t秒。连接MN。(1)求直线BC的解析式；(2)移动过程中，将 4AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值 及点D的坐标；(3)当点M,

29、N移动时，记 AABC在直线MN右侧部分的面积为 S,求S关于时间t的函数关系式。【答案】(1)解：设直线BC解析式为：y=kx+b,- B (0, 4) , C (-3, 0),/b = 4f 3k * 匕=匕，4声:一I J解得：b - ?；，直线BC解析式为：y= ' x+4.(2)解：依题可得： AM=AN=t,AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合,四边形AMDN为菱形，作NF，x轴，连接AD交MN于O',.OA=3,OB=4, .AB=5,.M (3-t, 0),又 AANFAABO,J 4 .AF= 61, NF=J t,84.D (3-t, & t),

30、又 D在直线BC上,484 T .J x(3- 1 t) +4= $ t,36 ABC在直线 MN右侧部分为 AAMN,I i 4 2.S= 5幽=二 AM DF= X tJ t=5t1， 当5<tw时，ABC在直线MN右侧部分为四边形 ABNM,如图3TL. AM=AN=t, AB=BC=5 .BN=t-5, CN=-5- (t-5) =10-t, 又 ACNFACBO,10 - t NF =,.NF=(10-t), S= $一a-5。隔=aC OB-二 CM NF,g 03=- X6X-4-X(6-t) x$ (10-t),232=-/ t £ + 5 t-12.【解析】【

31、分析】(1)设直线BC解析式为：y=kx+b,将B、C两点坐标代入即可得出二元一次方程组，解之即可得出直线 BC解析式.(2)依题可得：AM=AN=t,根据翻折性质得四 边形AMDN为菱形，作 NF± x轴，连接AD交MN于O',结合已知条件得 M (3-t, 0),Ah Al' 骷又 ANFsABO,根据相似三角形性质得 Ab =A6 =嘴, J R 3 mR代入数值即可得AF=彳t,NF=j t,从而得N (3-3 t,=t),根据中点坐标公式得 O (3-Jt,B t),设D (x,y),再由中点坐标公式得 D (3-? t, t),又由D在直线BC上，代入即可

32、得 D点 坐标.(3)当0<tW5时(如图2) , AABC在直线 MN右侧部分为AAMN,根据三角形 面积公式即可得出 S表达式. 当5<tw对，AABC在直线 MN右侧部分为四边形 ABNM,由CNFCBQ 根据相似-4 = F N(10-t),最后由 S=S/般-5"，而=上ACOB-63凝三角形性质得 益=拓，代入数值得/CM-NF,代入数值即可得表达式.9.如图，在平面直角坐标系中，点 A ( 5, 0),以OA为半径作半圆，点 C是第一象限 内圆周上一动点，连结 AC BC,并延长BC至点D,使CD= BC,过点D作x轴垂线，分别 交x轴、直线AC于点E、F,

33、点E为垂足，连结 OF.(1)当/BAC= 30o时，求AABC的面积；(2)当DE= 8时，求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与 AABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ ACB=90 ；在 RtABC 中，AB=10, /BAC=30,BC= AB=5,AC=4用一骁邪,Sa abc=上 AC?BC=r(2)解：连接AD,.AD=AB=10,.DEXAB,.AE=3 -绥=6,BE=AB-AE=4,.DE=2BE,3 / AFE+/ FAE=90 ； D DBE+Z FAE=90 ,/ A

34、FE=Z DBE,4 / AEF=Z DEB=90 ；5 .AEFADEB,.EF=上 AE=- X 6=3(3)解：连接 EC,设 E(x, 0),囹当"的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；囹0。然;的度数60 °时，点E在O、B之间，/EOF/ BAC=Z D,又 /OEF玄 ACB=90,由相似知 /EOF=/EBD,此时有 EOD EBD,OF Ofi麻而, ?EC是RtA BDE斜边的中线，.CE=CB6 / CEB玄 CBE,7 / EOF玄 CEB8 .OF/ CE,- 15 土可不解得x= ,因为x0,团60° 。的度数90 

35、6;时，点E在。点的左侧,若/ EOF=Z B,贝U OF/ BD,1 1.OF= BC= BD, OF OE 1- x 1加 BE J即5 A' J解得x=若 / EOF=Z BAC,贝U x=-匚, -15 -f-乐/胃4（-工；，0）I1- b|综上点E的坐标为(/,0) ; ( J , 0)；【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理求得 /ACB=90,根据30。的直角三角形的性质求 得BC,进而根据勾月定理求得 AC,然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD,由垂直平分线的性质得 AD=AB=10,又DE=8,在RtA ODE中，由勾股定理求 AE,依题意证 明AED4D

36、EB,利用相似比求 EF; （3）当以点E、O、F为顶点的三角形与 ABC相似 时，分为两种情况：当交点E在O, B之间时；当点E在O点的左侧时；分别求 E点坐标.10.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20, 0）和（0, 15）,动点P从点A出发在线段 AO上以每秒2cm的速度向原点 O运动，动直线 EF从x轴开始以每秒 1cm的速度向上平行移动（即 EF/ x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、 FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为 t秒.(1)求t=9时，4PEF的面积；若存(2)直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得4PEF的面积等于

37、40cm2?在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时， AEOP与4BOA相似.【答案】(1)解：. EF/ OA,/ BEF=Z BOA又 : / B=Z B, .BED BOA,EF BEOA = BO ,当 t=9 时，OE=9, OA=20, OB=15,.EF=8,o L J .Sape尸心EF?OE= X8X9=3Cm2)(2)解：.BEFBOA,BE ' OA U5 - l) 2G g.EF= BO = IS = ' (15-t),- X1 (15-t) X t=40整理，得 t2-15t+60=0, =152-4 X 1 X<60,.

38、方程没有实数根.，不存在使得 4PEF的面积等于40cm2的t值(3)解：当 /EPO=Z BAO 时，EO/BOA,OP 0E 因二到 ItOA =而,即 翼=71,解得t=6;当 / EPO=Z ABO 时, EOP AOB,OP OE 四二到 |t|I k = 0A ,即 i J =,86解得t= 71.86当t=6或t=二时， EOP与 BOA相似【解析】【分析】(1)由于EF/ x轴，则 输PEF=工？EF?OE t=9时，OE=9,关键是求 EF BEEF易证BED4BOA,则口A=-30 ,从而求出EF的长度，得出 4PEF的面积；(2)假设 存在这样的t,使得4PEF的面积等于

39、40cm2 ,则根据面积公式列出方程，由根的判别式 进行判断，得出结论；(3)如果AEOP与4BOA相似，由于/ EOP=/ BOA=90 ,则只能点。与点O对应，然后分两种情况分别讨论：点P与点A对应； 点P与点B对应.11.在4ABC中，/ACB= 90 °, AB=25, BC= 15.(1)如图1,折叠4ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交 AC、AB分别于Q、H,若S>aabc= 9Sadhq , 求 HQ 的长.(2)如图2,折叠4ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交 AC、AB分别于E、F.若FM/AC,求证：四边形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的

40、条件下，线段 CQ上是否存在点P,使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15, .AC=(/"15 =20,设 HQ=x , HQ / BC ,AQ= 'x , - Saabc= 9S dhq ,i 乜 H 上 X 20 W 95c! xx ix ,，x= 5或-5 （舍弃），.HQ=5,故答案为5.(2)解：如图2中,C M B图2由翻折不变性可知： AE= EM , AF=FM , / AFE= / MFE , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME , 四边形AEMF是菱形.(3)解：如图3中,AM BS3设 AE= EM=FM = AF=4m ,则 BM=3m , FB= 5m