对比分析最小二乘法与回归分析

1、对比分析最小二乘法与回归分析摘要最小二乘法是在模型确定的情况下对未知参数由观测数据来进行估计，而回归分析则是研究变量间相关关系的统计分析方法。关键词：最小二乘法回归分析数据估计摘要 目录:最小二乘法百要内容基本原理:回归分析法回归分析的主要内容 回归分析原理10:分析与总结二最小二乘法左要内容最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术它通过定义残差平方和的方式，最小化残差的平方和以求寻找数据的最佳函数匹配，以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称最小二乘法为经验公式.利用最小二乘法可以十分简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。还可用于曲线

2、拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。基本原理考虑超定方程组（超定指未知数大于方程个数）"Xdjfij - “(j 二 1,2,3. JH).-1其中m代表有m个等式，n代表有n个未知数 卩（m>n）;将其进行向量化后为:X卩二yXnX2XzX21*X" X*hX沁iY 八 pjrtX 二卩:J.显然该方程组一般而言没有解，所以为了选取最合适的让该等式"尽量成立"，弓I入残差平方和函数中，残差平方和函数可以看成n倍的均方误差ji 一川* 川 r /0)通过对进行微分求最值，可以得到:如果矩阵非奇异则有唯一解:可归分析

3、法叵归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的相关关系的一种它基于观测数据建立变量间适当的依赖关系，建立不同的回归模型，确立统计分析方法。 回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之不同的未知参数， 之后使用最小二乘法等方法来估计模型中的未知参数，以分析数据间的内在联系。当自变量的个数等于一时称为一元叵归，大于1时称为多元回归，当因变量个数大于1时称为多重回归，其次按自变量与因变量之间是否呈线性关系分为线性回归与非线性回归。最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们大体上有线性关系，叫一元线性回归。可归分析的主要内容 从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即建立数学模型并估计其中的未知参

4、数。估计参数的常用方法是最小二乘法。 对这些关系式的可信程度进行检验。 在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪个（或哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响是不显著的，将影响显著的自变量加入模型中，而剔除影响不显著的变量，通常用逐步回归、向前回归和向后回归等方法。 利用所求的关系式对某生产过程进行预测或控制A '：I文?可归分析原理=(1,X , ,Xm)是影响因变量 y的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y还受到随机因素的干扰，可以合理地假 =P+P斗斗£设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作mXm£<7yX0 1 12N(0,)其中X

5、i1,丄汐Xim)， i 1,n, n m，十J由上式得XYN(0,X1 i12)，m Ximi 1,n i1 Xx1m11引，J =p0 piTPm表为丫 二 xP yQ 2 N(0,)参数估计 用最小二乘法估计模型中的参数由这组数据的误差平方和为p p求使Q()最小，得到=(一 P)T(丫 X 丫卩)X6ii 1P3的最小二乘估计，记作？，可以推出-? (XT )1XTYX将?代回原模型得到y的估计值mX-m而这组数据的拟合值为Y? X?，拟合误差Y?称为残差，可作为为残差平方和(或剩余平方和)，即 Q( ?)?)2yi随机误差的估计，而nn2( peiyii 1i 1O统计分析卩 P不加

6、证明地给出以下结果:是丫的线性函数;(i)是 的线性无偏最小方差估计。指的是的方差最小。的期望等于；在的线性无偏估计中，P 几-(ii ) 服从正态分布(iii )对残差平方和2EQ =-1戸，且(n mQ1)Z 2_n m由此得到Q2的无偏估计(2s是剩余方差(残差的方差)s称为剩余标准差2进行分解，有y)_ V=卫(iv )对丫的样本方差S :(yii 1 = +(y? y) i 1其中Q残差平方和，反映随机误差对的影响，U称为回归平方和，反映自变量对y的影响。0回归模型的假设检验因变量y与自变量X1 , Xm之间是否存在如模型所示的线性关系是需要检验的，显然，如果所有的卩？ |j (j 1,m)都很小，y 与 X1, xm 的线性关系就不明显，所以可令原假设为Ho： j 0( j 1,m)aa-<x当Ho成立时由分解式定义的U,Q满足-a在显著性水平U /mQ /( n mF ( m,n1)m 1)分位数F1(m, n m1)F1m n m ，接受Ho;否则，拒绝1:分析与总结最小二乘法是基于既定模型对未知参数的一种估计方法，以函数残差和最小的条件对未知参数进行估计回归分析包括：建立带有参数的函数模型（即经验公式），通过最小二乘法、最