第八章 λ- 矩阵

1、第八章 -矩阵§1 -矩阵设P是数域，是一个文字，作多项式环P，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即P的元素，就称为-矩阵.在这一章讨论-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域P中的数也是P的元素，所以在-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与-矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用A(),B(), 等表示-矩阵.我们知道，P中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义-矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.行列

2、式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个nn的-矩阵的行列式.一般地，-矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.定义1 如果-矩阵A()中有一个r(r1)级子式不为零，而所有r+1级子式（如果有的话）全为零，则称A()的秩为r.零矩阵的秩规定为零.定义2 一个nn的-矩阵A()称为可逆的，如果有一个nn的-矩阵B()使A()B()=B()A()=E, (1)这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B()(它是唯一的)称为A()的逆矩阵，记为A-1().定理1 一个nn的-矩阵A()是可逆的充要条件为行列式|A()|是一个非零的数.§2 -矩阵在

3、初等变换下的标准形-矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的()倍，()是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第j行的()倍加到第i行上得i列1P(i.j()=j列i行() 1j行 1 1仍用P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行互换位置所得的初等矩阵，用P(i(c)表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵.同样地，对一个sn的-矩阵A()作一次初等变换就相当于在A()的左边乘上相应ss的初等矩阵；对A

4、()作一次初等列变换就相当于A()在的右边乘上相应的nn的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1),P(i,j()-1=P(i,j(-). 由此得出初等变换具有可逆性：设-矩阵A()用初等变换变成B()，这相当于对A()左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B()就变回A()，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B()可用初等变换变回A().定义4 -矩阵A()称为与B()等价，如果可以经过一系列初等变换将A()化为B().等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (!) 反身性：每一个-矩阵与它自身等价.(

5、2) 对称性：若A()与B()等价，则B()与A()等价.(3) 传递性：若A()与B()等价，B()与C()等价，则A()与C()等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵A()与B()等价的充要条件为有一系列初等矩阵P1,P2, ,Pl,Q1,Q2, ,Qt，使A()=P1P2 PlB()Q1Q2 Qt.(2)这一节主要是证明任意一个-矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵. 引理 设-矩阵A()的左上角元素a11()0，并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A()等价的矩阵B()，它的左上角元素也不为零，但是次数比a11()的次数低.定理2 任意一个非零的sn的

6、-矩阵A()都等价于下列形式的矩阵d1()d2()dr()0,其中r1,di()(i=1,2, ,r)是首项系数为1的多项式，且di()|di+1()(i=1,2, ,r-1).这个矩阵称为A()的标准形. 例 用初等变换化-矩阵1- A()= 1+22-132+-1- 2-为标准形.§3 不 变 因 子现在来证明，-矩阵的标准形是唯一的.定义5 设-矩阵A()的秩为r，对于正整数k,1kr,，A()中必有非零的k级子式. A()中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式Dk()称为A()的k级行列式因子.由定义可知，对于秩为r的-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它

7、在初等变换下是不变的.定理3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为d1()d2()dr()0(1)其中d1(),d2(), ,dr()是首项系数为di()|di+1()1的多项式，且在这种形式的矩阵中，如果一个k(i=1,2, ,r-1).不难证明，级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零.因此，为了计算k级行列式因子，只要看由i1,i2, ,ik行与i1,i2, ,ik列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于di1(),di2(), ,dik()显然，这种k级子式的最大公因式就是d1()d2() dk()定理4

8、-矩阵的标准形是唯一的.证明 设(1)是A()的标准形.由于A()与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A()的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A()的k级行列式因子就是Dk()=d1()d2() dk()(k=1,2, ,r). (2)于是d1()=D1(),d2()=D2()D1(), ,dr()=Dr()Dr-1(). (3)这就是A()的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A()的行列式因子所唯一决定的，所以A()的标准形是唯一的.定义6 标准形的主对角线上非零元素d1(),d2(), ,dr()称为-矩阵A()的不变因子.定理5 两个-矩阵等价的充要条件是

9、它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)可以看出，在-矩阵的行列式因子之间，有关系式Dk()|Dk+1()(k=1,2, ,r-1). (4)在计算-矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设A()为一个nn可逆矩阵，由定理1知|A()|=d,其中d是一非零常数，这就是说Dn()=1于是由(4)可知，Dk()=1(k=1,2, ,n)从而dk()=1(k=1,2, ,n)因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩

10、阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵A()与B()等价的充要条件是有一系列初等矩阵P1,P2, ,Pl,Q1,Q2, ,Qt，使A()=P1P2 PlB()Q1Q2 Qt特别是，当时B()=E，就得到定理6 矩阵A()是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 推论 两个sn的-矩阵A()与B()等价的充要条件为，有一个ss可逆矩阵与一个nn可逆矩阵Q()，使B()=P()A()Q(.§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵A的特征值和特征向量时曾出现过-矩阵E-A,我们称它A为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个nn数字矩阵A和B相似的充要条件是它们的特征矩阵E-A和E-

11、B等价.引理1 如果有nn数字矩阵P0,Q0使E-A=P0(E-B)Q0, (1)则A和B相似.引理2 对于任何不为零的nn数字矩阵A和-矩阵U()与V()，一定存在-矩阵Q()与R()以及数字矩阵U0和V0使U()=(E-A)Q()+U0, (2)V()=R()(E-A)+V0. (3)定理7 设A，B是数域P上两个nn矩阵. A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵E-A和E-B等价.矩阵A的特征矩阵E-A的不变因子以后简称为A的不变因子.因为两个-矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子.应该指出，nn矩阵的特征矩阵的秩一

12、定是n.因此，nn矩阵的不变因子总是有n个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵A（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换A)的初等因子.例 设12级矩阵的不变因子是1,1, ,1,(-1),(-1)(+1),(-1)(+1)(+1)9个22222.按定义，它的初等因子有7个，即(

13、-1),(-1),(-1),(+1),(+1),(-i)2222,(+i)2.其中(-1)2出现三次，+1出现二次.现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设n级矩阵A的不变因子d1(),d2(), ,dn()为已知.将di()(i=1,2, ,n)分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：d1()=(-1)d2()=(-1)k11(-2)(-2)k12(-r) (-r)k1r, , ,k21k22k2rdn()=(-1)kn1(-2)kn2(-r)knr则其中对应于kij1的那些方幂(-j)kij(kij1)就是A的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即di()|di+1()

14、(i=1,2, ,n-1),从而(-j)kij|(-j)ki+1,j(i=1,2, ,n-1;j=1,2, ,r).因此在d1(),d2(), ,dn()的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即k1jk2j knj(j=1,2, ,r).这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在dn()的分解中，方次次高的必定出现在dn-1()的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个n级矩阵的全部

15、初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式(-j)(j=1,2, ,r)的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成n个.设所得排列为(-j)knj,(-j)kn-1,j, ,(-j)k1j,(j=1,2, ,r).于是令di()=(-1)ki1(-2)ki2 (-r)kir(i=1,2, ,n),则d1(),d2(), ,dn()就是A的不变因子.这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.综上所述

16、，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.如果多项式f1(),f2()都与g1(),g2()互素，则.(f1()g1(),f2()g2()=(f1(),f2()(g1(),g2().引理 设A()=f1()g1()0f2()g1()0f2()g2()0f1()g2(),B()=,如果多项式f1(),f2()都与g1(),g2()互素，则A()和B()等价.定理9 首先用初等变换化特征矩阵E-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次

17、因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.不难算出若尔当块01= 0 0000101 0J0000 0nn的初等因子是(-0)n.事实上，考虑它的特征矩阵 = -0-10 0000-1-0-1 0E-J000 -0显然E-J0=(-0)n，这就是E-J0的n级行列式因子.由于E-J0有一个n-1级子式是-10 00-0-1 000000=(-1)n-1,-10-0-1所以它的n-1级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变

18、因子d1()= =dn-1()=1,dn()=(-0)n.由此即得，E-J0的初等因子是(-0)n.再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出. 设J1 J=J2Js是一个若尔当形矩阵，其中i1Ji= 000001000 ikkiii1 0(i=1,2, ,s).既然Ji的初等因子是(-i)k(i=1,2, ,s)，所以E-Ji与i11(-i)ki等价.于是Ek1-J1E-J=Ek-J22Eks -Js与11(-1)k111(-2)k211(-s)ks等价.因此，J的全部初等因子是：(-1)k1,(-2)k2, ,(-s)ks.这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是

19、由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数n与主对角线上元素0所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子(-0)n中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.定理10 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是11 0111011101-1-1i10i-i10-i1212例2 求矩阵-1 A= -1-1-20-163 4的若尔当标准形.定理10换成线性

20、变换的语言来说就是：定理11 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次的.根据若尔当形的作法，可以看出矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的不变因子都没有重根.虽然我们证明了每个复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵A的若尔当标准形的方法，

21、但是并没有谈到如何确定过渡矩阵T，使T-1AT成若尔当标准形的问题. T的确定牵涉到比较复杂的计算问题.最后指出，如果规定上三角形矩阵00 0 0101 0000000000 10为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.§7 矩阵的有理标准形定义8 对数域P上的一个多项式d()=+a1nn-1+ +an称矩阵0 1A= 00001 0000 1-an-an-1-an-2 -a1(1)为多项式d()的伴侣阵.容易证明，A的不变因子(即E-A的不变因子)是1,1, ,1,d()n-1个.（见习题3）定义9 下列准对角矩阵A1A=AsA2, (2)其中

22、Ai分别是数域P上某些多项式di()(i=1,2, ,s)的伴侣阵，且满足d1()|d2()| |ds()，A就称为P上的一个有理标准形矩阵.引理 (2)中矩阵A的不变因子为1,1, ,1,d1(),d2(), ,ds()，其中1的个数等于d1(),d2(), ,ds()的次数之和n减去s.定理14 数域P上nn方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理标准形.把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A是数域P上n维线性空间V的线性变换，则在V中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.例 设33矩阵A的初等因子为(-1)2,(-1)，则它的不变因子是1，(-1),(-1)2，它的有理标准形为1 . 000010-12.第八章 -矩阵(小结)一、基本概念-矩阵，可逆的-矩阵，秩；-矩阵的初等变换及标准形，-矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.二、主要结论1. 一个nn的-矩阵A()是可逆的