4.3平面向量的数量积

1、第三节平面向量的数量积2019考纲考题考情琴纲要求考a举例琴向标签】.珅斛+血向越散甘配的海；!：具物克丈2. TW普面向fit的awK与向穀悴的黄泰拥«吐机的卡*杀点达曲；?进行平面向诂ttw猷的直筍 山.惟运甲职衣示两十nw的冼用.強僭机刊新 阴牛耶商向Mr勺醺血走果氏仝川向方松駢决Jit些侖軌的平liii儿测问腔J住用|=111!方址虫前单的力学was与托他一些实fe问謎21*1 a 伞用趙1 T甲曲1向址tt址削话ff) 旳17 1屮血向«的榄2加*全国fciL T,u f ii |uj址戟«段的 値何越)的R O冋崔1 *jfti就的几何意乂)1, 乎面

2、1前11応的ft U RieW2. 6浪布-定向吐的 KIS.*ft, it再4?蠢养】牧学延WI=基础秋梳理-知识必备固梅基JLC tllJ ElSHLJLi L"3亠一 竺旦竺微知识-小題练 41. 平面向量的数量积(1)向量的夹角 定义：已知两个非零向量 a和b,作OA= a, OB= b,贝U/ AOB 就是向量a与b的夹角。 范围：设9是向量a与b的夹角，贝y 0°w其180° 共线与垂直：若9= 0°则a与b同向共线；若9= 180°，则a 与b反向共线；若9= 90°，贝y a与b垂直。(2)平面向量的数量积 定义：已知

3、两个非零向量a与b,它们的夹角为 9贝擞量|a|b|cos9叫做a与b的数量积(或内积)，记作a b,即a b= |a|b|cos9, 规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a= 0。 几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投 影|b|cos 9的乘积。2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(X1, y1), b=(X2,淌,9为向量a, b的夹角。(1) 数量积：a b= |a|b|cos 9= X1_X2土匕丫2。(2)模：|a yfaalX1 +。a bX1X2 + y1y2夹角：cosB=|a|b|-&2苻X2苻2。两非零向量a丄b的充要条件：a

4、b 0? xiX2 + yiy2 0。(5)|a b|w|a|b|(当且仅当 a / b 时等 号成立)? |xix2 + yiy2|< 7x1 + y2 x2 + y2。3. 平面向量数量积的运算律(1) a b b a(交换律)。?a b Xa b) a (?b)(结合律)。(3)(a + b) c a c+ b c(分配律)。常记结论1. a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念， 要加以区别。2. 对于两个非零向量 a与b,由于当6 0°寸，a b>0,所以a b>0 是两个向量a, b夹角为锐角的必要不充分条件； a b 0也不能 推出a 0或b

5、 0,因为a b 0时，有可能a丄b。3. 在实数运算中，若 a, be R，则|ab| |a| |b|；若 a b a c(a0), 则 b c。但对于向量 a, b 却有 |a b|< |a| |b|； 若 a b a c(a 0), 则b c不一定成立。4. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即 (a b) c不一定等于 a (b c)，这是由于(a b) c表示一个与c共线的向量，而a (b c)表 示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。=题组徴热身-小郭演嫌.提知縣TIZIJ 一、走进教材1. (必修 4P108A 组 T6 改编)已知 a b=- 122, |a|= 4,

6、 a 和 b 的 夹角为135°则|b|为()A . 12 B. 6C. 3书 D. 31%/2 解析 a b= |a|b|cos135 = 12，所以 |b| = = 6。4X i-答案 Be= 120°2. （必修4Pio4例1改编）已知|a|= 5,|b匸4,a与b的夹角则向量b在向量a方向上的投影为 。|b|cos e=解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为4X cos120 = 2。答案 2二、走近高考3. （2018全国卷）已知向量a, b满足|a|= 1, a b= 1,贝U a （2a b）=（C. 2解析答案A. 4D. 0(2a b) = 2a2 a

7、 b= 2-(- 1) = 3。故选 B。B4. （2017全国卷I ）已知向量a= （ 1,2）, b= （m,1）。若向量a+ b与a垂直，贝I m=。解析 由题得，a+ b= （m 1,3）,因为a + b与a垂直，即（a+ b） a =0,所以有一（m 1） + 3 X 2= 0,解得 m= 7。答案 75. （2016天津高考）已知 ABC是边长为1的等边三角形，点D, E分别是边AB, BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF BC的值为（）51A . 8B. 8解析bC= aC - AB,心 AD + dF = 2ab + |dE = 4AB + 3aC,f)1

8、八八/1丄334AC 厂 2 x 1x 1x 2 2 + 4 4所以 BC AF = (AC AB) $3+ ；113131X 1X 1X 2 = 4+ 4 2 8= 8。答案 B三、走出误区微提醒：搞错向量的夹角求错数量积； 不会用夹角公式计算向量的夹角。6. 已知 ABC的三边长均为1,且AB= c, BC= a, CA= b,则a b+ b c+ a c=。解析 因为a, b= b, c= a, c= 120° ° |a|= |b|= |c|1=1,所以 a b= b c= a c= 1 x 1 x cos120°= 3,所以 a b+ b c + ac=-

9、3。7.已知非零向量 的余弦值为( A .平 B.C.誓 D.14a, b 满足 |a|= |b|= |a + b|,贝U a 与 2a b 夹角 )8W714 解析 不妨设 |a|= |b|= |a + b|= 1，则 |a+ b|2 = a2+ b2+ 2a b= 2 +152a b= 1，所以 a b= 2 所以 a (2a b) = 2a2 a b= 2 又 |al=1, |2a b| = U(2a b)2 =p4a2-4a b+ b2 = /7,所以 a 与 2a b5夹角的余弦值为a (2a b)_2_ 5/7|a| |2a b|_ 1X7_ 14 °答案 D考占一V八、

10、微琴点-人课堂o平面向量的数量积运算【例1】若点M,(1)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|_ 6, AD|_ 4,T T则AM NM等于()N 满足 BM = 3MC , DN = 2NC,C. 9(2018天津高考)在如图的平面图形中,已知 OM = 1, ON = 2,/ MON = 120° BM = 2MA, CN = 2NA,则BC OM的值为(A15B. 9C. 6 D.T 3T解析(1)AM = AB + 4AD ,NM = CM CN = 4aD + 3aB,所以(4AB 3AD) = 48(16AB2 9AD2) = 48(2) 由 BM = 2MA，可知警=

11、2,|MA|所以胆A1 = 3。由 CN = 2NA, 可|MA|知ICNI= 2,所以 ICAJ= 3,故严=ICAI= 3,连接 MN，则 BC/|NA|NA|MA| |NA|MN 且|BC|= 3|MN |o 所以 BC= 3MN = 3(ON -OM),所以 BC OM =TTTTTT 2TTT3(ON- OM) OM = 3(ON OM - OM2) = 3(|ON| |OM|cos120 -|OM| 2)=- 6o 故选 Co答案(1)C(2)C平面向量数量积的三种运算方法1. 当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a b= |a|b|cos a, b。2. 当已知向量的坐标

12、时，可利用坐标法求解，即若a= (xi, yi), b= (x2, y2)，贝y a b=X1X2 + yiy2o3. 利用数量积的几何意义求解。中，AB/ cd, cd = 2,Z【变式训练】如图，在梯形ABCDBAD = n，若 AB AC= 2AB AD，贝U AD AC=解析 因为 ABAC= 2ABAD，所以 AB AC-AB AD = AB AD ,所冗以AB DC = AB AD。因为 AB / CD, CD = 2，/ BAD = 4，所以TTTTTTTTT2AB|= |AB|AD|cosn 化简得 |AD| = 2返。故AD AC = AD (AD + DC)=|AD|2 +

13、 AD DC = (2曲2 + 2y2X 28寸=12。解析：如图，建立平面直角坐标系 xAy。依题意，可设点 D(m, m), C(m + 2, m), B(n,0),其中 m>0, n>0, 则由 AB AC= 2AB D，得(n,0) ( m+ 2, m) = 2(n,0) (m, m)，所以T Tn(m + 2) = 2nm,化简得 m= 2。故AD AC= (m, m) (m+ 2, m)= 2m2+ 2m= 12。答案 12考点二解决有关向量的长度、夹角、垂直问题微点小专题方向1:长度问题【例 2】(1)已知向量 a= (1, - 3), b= (2, m),若 a/

14、b,则 |a-2b|=()A. 45 B. 90C. /5D. 310已知向量 OA, OB满足 |0A|= |0B|= 2, OA OB = 2,若OC = QA+ QB(入 让R)，且 H 尸1，则|OCI的最小值为()A . 1 B .专c. V2 D. V3解析(1)因为a / b,所以m+ 6= 0，解得m= 6,贝U b= (2,6),所以 a 2b= ( 3,9)，所以 |a 2b|=寸(3)2 + 92 = 故选D。(2)|OC|2 = (QA + QB)2 = QA + (1 -为OB2 = 4 + 4(1 -甘 + 2?(1 ?)OA OB,因为OA OB= 2，所以 |O

15、C|2= 4+ 4(1 ?)2+ 2 厂为 2= 4 ?2 4 + 4= 4 2丿2+ 3,当=2时，|OC|取得最小值 3。答案(1)D(2)D方法1. 利用数量积求解向量模的问题常用的公式：(1)a2= a a= |a|2或|a|=/a；|aib| = p(a ±)2 =石坐a b+ b2;(3) 若 a= (x, y)，则 |a| = px2 + y2。2. 最值问题是在变化中求得一个特殊情况，在此情况下求解目 标达到最值，因此函数方法是最基本的方法之一。方向2:夹角问题【例3(2019成都质检)已知平面向量a, b的夹角为n且|a|1=1, |b|=2，贝y a + 2b与b

16、的夹角是()nC. 45n63nT解析因为 |a + 2b|2= |a|2 + 4|b|2 + 4a b= 1+1 + 4X 1X 2 x 8寸=1n 13, 所以 |a+ 2b|=«3。又(a+2b) b= a b+ 2|b|2= 1 xx COS3 + 2x432，所1+ 1_ 3 所以a + 2b b_(a + 2b)b_4_並-4+ 2_4,所以 COSa + 2b, b_|a + 2b|b|_® 1 以a+ 2b与b的夹角为6。答案 A 求向量夹角问题的方法1. 当a, b是非坐标形式时，求a与b的夹角0,需求出 |a|, |b|或得出它们之间的关系。2. 若已知

17、 a = (xi, yi)与 b= (x2, y?)，则 cos a, b=X1X2 + yiy27x1+y2 x2+y2。 注意：a, be 0, 方向3:垂直问题【例4】C,则实数92已知向量 a = (k,3), b= (1,4), c= (2,1)，且(2a-3b)丄 k=()B. 0C. 3解析c 15D. 2因为 2a- 3b= (2k-3, - 6), (2a-3b)丄 c,所以(2a-3b) c=2(2k- 3)- 6= 0,解得 k= 3。故选 C。 答案 C两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a= (xi,yi), b= (x2，矯，贝y a丄 b? a b=

18、0? xiX2 + yiy2= 0。应认识到此 充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直。【题点对应练】1.(方向1)平面向量a与b的夹角为60° a= (2,0), |b|= 1,则|a + 2b|=()a . 6 B. 36C. 2也 D. 12解析 因为a= (2,0)，所以|a|= 2,又|b|= 1,向量a与向量b的 夹角为 60°,所以 |a + 2b|2 = (a + 2b)2 = a2 + 4a b + 4b2 = 4 + 4X 2 X 1 X cos60 ° 4= 12,所以 |a+ 2b| = 2/3。故选 C。I

19、gzm解析：如图，作出AB= a, ad = 2b,则以AB, AD为邻边作平行四边形ABCD，可得 AC= a +2b,所以 |a + 2b| = AC,由题意知/ DAB =60°AB = ad = 2，所以在 ABC 中，AB = BC= 2, / ABC = 120°故 AC2= AB2 + BC2-2AB BC cos120° = 4+ 4 2X 2X 2X-1=I 2丿12,贝y|a+ 2b|= AC = 2书。故选 C。答案 C2. (方向2)已知单位向量 a, b满足|a + b|=|a b|,贝U a与b-a 的夹角是(nnC. 4解析B. 3

20、3n4因为 |a+ b|= |a b|,所以(a+ b)2= (a b)2,整理得 a b= 0。在平面直角坐标系中作出a, b, b a，如图，易知a与b a的夹角是¥。故选D。答案 D3. (方向3)设非零向量a, b满足|2a+ b|= |2a b|,则()A. a丄 bB. |2a|= |b|C. a/ bD. |a|<|b|解析 因为 |2a+ b|= |2a b|,所以(2a + b)2= (2a b)2,化简得 a b =0,所以a丄b。故选A。解析：记 c= 2a,则由 |2a+ b|= |2a b|得|c+ b|= |c b|,由平行四 边形法则知，以向量 c

21、, b为邻边的平行四边形的对角线相等，所以该四边形为矩形，故 C丄b即a丄b。故选A。答案 A匱教师备用题ABCD 中，/ ABC =Z ADCAC 上，AC= 4, AE = 1,贝y点E在对角线1. （配合例1使用）如图，平面四边形 =90° BC= CD = 2,EBED的值为（D13C.解析D.因为/1ABC =Z ADC = 90°BC= CD = 2, AC = 4,所以AB = AD = 2©，/ BAC = Z DAC = 30° 所以 EB ED = (EA +TTTTTTTTTTAB) (EA + AD) = EA2 + EA AD

22、+ EA AB + AB AD = 1 + 1X 23 X cos150°+ 1X 2/3 X cos150°+ 2/3 x 2/3 x cos60°= 1 - 3 - 3 + 6= 1。故选D。答案 D 2.（配合例2使用）已知G为 ABC所在平面上一点，且GA+ GBTT TT+ GC= 0,Z A= 60° AB AC= 2，则 AG|的最小值为-34+普X讐1解析 由题意得点G为 ABC的重心，贝y AG = 3(AB + AC)，所以 AG2 =3 TTT T 3 T TT T3(AB2 + AC2 + 2AB AC) = 9(AB2 + AC

23、2 + 4)。因为 AB AC=T TT TT彳 TT|AB| |AC|cos60 =2,所以 AB| |AC| = 4，所以AG2>3(2|AB| |AC|+32T TT4) = 6,当且仅当|AB|= |AC| = 2时，等号成立，所以|AG|寸, 即|AG|的最小值为弩。答案響3.(配合例3=2DC = 2,3使用)如图，在等腰梯形 ABCD中，AD = BC = AB的中点，则cos FE, OF=o解析以0为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，连接0B,可得 BOC为等边三角形，易知 A(- 3, «3), B(3，胎,2品3丿C(2,0)，则5匾I 3，3 丿co

24、s/1413,f(3,爭)所以0F =-< FE , OF ,FE =FE OF点E, F分别为线段AB, BC的三等分点，0为DC1答案2平面向量具有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的 关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现于平面向量在平 面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用。类型一 平面向量在平面几何中的应用中，AD = 1,Z BAD = 60° E【例1】(1)在平行四边形ABCDT T为CD的中点。若AC BE = 1,(2)已知O是平面上的一定点，T T贝y AB =A, B, C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP=OA+ XA

25、B + AC),入 (0,+8)，则点 P的轨迹一定通过 ABC的()A .内心 B.外心C.重心 D .垂心7777/71 解析 (1)在平行四边形 ABCD中，BE= BC + CE = BC + qCD =T.TTTTTTTAD - lAB ,又因为 AC = AD + AB ,所以 AC BE = (AD +AB)J 1 AD ABI * 1 2 丿TT1 T T T T 1 TTi T=AD2 -AD AB + AD AB 2AB2= |AD |2 + 2|AD|AB|cos60 2|AB|2= 1 +1 X ABI 2|AB|2= 1。所以2-|AB|a 丿|AB|= 0,又 AB

26、|M 0,所以 AB|= 2。T TT TT T(2)由原等式，得 OP OA= ?(AB + AC)，即AP= XAB + AC),根 据平行四边形法则，知 AB + AC= 2AD(D为BC的中点)，所以点 P的轨迹必过 ABC的重心。故选 C。1答案(1)2 (2)CABC的重心ABC的内心ABC的外心ABC的垂心P的轨迹一定通过P的轨迹一定通过P的轨迹一定通过P的轨迹一定通过r f f 、X fAB + fAC j,疋（0,+ ），则（）VAB|cosB |AC|coQA .动点B. 动点C. 动点解析因为OP = OA+入/ ff 、AB + ACff、ABAC丨 ”、f 二+I，所

27、以 OP OA= f IV|AB|cosB |AC|cosC 丿/ ff AB_ +AC+ f I，I。即AP =片l|AB|cosB|AC|cosC 丿因为AP-BCl|AB|cosB |AC|cosC 丿f ff、I ABI ACII ff IV|AB|cosB |AC|cosC 丿-BCr f fI AB BCX f+lAB|cosB |AC|cosC 丿AC BCf f ff f ）l|AB| |BC|coS n- B） |AC| |BC|coSC I 人 f+ f I|AC|cosC 丿|AB|cosBD .动点平面向量与函数、不等式的综合应用设9是两个非零向量a, b的夹角，若对任

28、意实数t,|a+tb|的最小值为1,则下列判断正确的是（）A .若|a |确定，则9唯一确定B.若|b|确定，则9唯一确定X - |BC + |BC|） = 0。所以点P在BC边的高线上，即P的轨迹一 定通过 ABC的垂心。答案 D类型二【例2】C.若D .若B确定，则bl唯一确定0确定，则|a|唯一确定设 g(t) = (a+1b)2= b2t2 + 2ta b + a2,当且仅当 t =2 2|acos9寸，g(t)取得最小值1,所以b2x 1器2a bx普9解析|b|+ a2= 1,化简得a2sin2 0= 1，所以当9确定时，|a|唯一确定。 答案 D通过向量的数量积运算把向量运算转化

29、为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面 的应用。【变式训练】(2019福州四校联考)已知向量a,b为单位向量，1且a b= 2，向量C与a+ b共线，则|a+c|的最小值为()1B - 2D亚D - 2因为向量C与a + b共线，所以可设c= t(a + b)(te R)，所C 3C 4解析以 a+ c= (t + 1)a + tb,所以(a+ c)2= (t + 1)2a2 + 2t(t +1)a b+ t2b2,1因为向量a, b为单位向量，且 a b=- 2，所以(a+ ©2= (t+ 1)2 t(t + 1)+12= t2 +1 +1

30、 A4,所以 |a+ c|-2,所以 |a+c|的最小值为申。故选D。解析：因为向量a, b为单位向量，且a b= 2，所以向量a, b 的夹角为120°在平面直角坐标系中，不妨设向量 a= (1,0), b,贝y a + b= ?,今=r 1回T 2，2 J(1以可设c= t：1'2711+2)+T =712+1+1A故选D o,因为向量C与a + b共线，所2 R)，所以 a+ c= ； 1 + 2' t，所以 |a + c|书，所以|a +c|的最小值为弩o答案 D类型三 平面向量与解三角形的综合应用【例3】已知在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a，b,

31、 c,向量 m= (sinA, sinB), n = (cosB, cosA), m n = sin2C。(1)求角C的大小； 若 sinA, sinC, sinB 成等差数列，且CA (AB AC)= 18,求 c。 解 (1)m n= sinA cosB + sinB cosA=sin(A+ B),对于 ABC, A+ B= n C,0<C<n,所以 sin(A+ B) = sinC,所以 m n = sinC, 又 m n = sin2C,1所以 sin2C = sinC, cosC = 2，又因为 C (0, n , 所以C=3。由 sinA, sinC, sinB 成等差

32、数列，可得2sinC= sinA + sinB,由正弦定理得2c = a+ bo 因为 CA (AB AC) = 18,所以 CA CB= 18, 即 abcosC= 18, ab= 36。由余弦定理得c2 = a2 + b2 2abcosC = (a + b)2 3ab,所以 c2= 4c2 3X 36, c2 = 36，所以 c= 6。I1. 解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量 的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解 决。2. 还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量 模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知 识。【变式训练】

33、(2019惠州模拟)若 O为 ABC所在平面内任-T T T TT点，且满足(OB OC) (OB + OC 2OA)= 0, (A.则 ABC的形状为C.)等腰三角形等边三角形B .直角三角形D .等腰直角三角形TTT解析 因为(0B OC) (OB + 0C 20A)= 0,T T T即 CB (AB + AC)= 0,(AB AC) (AB + AC) = 0，即 |AB|= AC|，所以 ABC 是等腰三角 形。故选答案A类型四【例4】平面向量与解析几何的综合应用已知平面向量a, b, c满足|a|=|b|= 1, a丄(a 2b),(c 2a) (c b) = 0,则|c|的最大值与最小值的和为()A . 0B .七C.迈D. B解析 因为 a丄(a 2b)，所以 a (a 2b) = 0,即卩 a2= 2a b,又 |a|1 =|b|= 1,所以 a b= 2, a 与 b 的夹角为 60° 设0A = a, OB