4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用

1、4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用KrSHi ZnOYK =础巩固i JICHU GOMGGU =1.两圆x+/=9和x+/-8x+6y+9=0的位置关系是(B )(A) 相离 (B)相交 (C)内切(D)外切解析：把 x2+y2-8x+6y+9=0 化为(x-4) 2+(y+3) 2=16,又 x2+y2=9,所以两圆心的坐标分别为(4,-3)和(0,0),两半径分别为R=4和r=3, 则两圆心之间的距离dJ* +(-疔=5,因为4-3<5<4+3即R-rvdvR+r,所以两圆的位置关系是相交.2.两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=

2、0的相交弦所在的直线方程为(A)x+2y-6=0 (B)x-3y+5=0 (C)x-2y+6=0 (D)x+3y-8=0解析:两圆方程作差，得相交弦所在直线方程为x+2y-6=0.故选A.3.两圆x2+y2=1与x2+y2+3x+9y+2=0的公共弦长为(D )屈3何310(A)1(B) 5(C) 10(D)解析：由于公共弦所在的直线方程为x+3y+1=0,圆心(0,0)至U直线 丄Elx+3y+1=0的距离为d=m,所以公共弦长为21°= 5 .故选D.4. 方程衣Rlg(x 2+y2-1)=0表示的曲线图形是(D )1k r1I府o11(A)(B)fC)(D)解析：当 x=1 时

3、,x2+y2-1>0,即 x2+y2>1,y 工 0;当 x>1 时,x 2+y2-1=1,即 x2+y2=2,故选 D.5. 已知圆M:x2+y2-4y=0,圆N:(x-1) 2+(y-1) 2=1,则圆M与圆N的公切线条数是(B )(A)1(B)2(C)3(D)4解析：圆M:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2) 2=4,表示以M(0,2)为圆心，半径等于2的圆.圆N:(x-1) 2+(y-1) 2=1,表示以N(1,1)为圆心，半径等于1的圆.两圆的圆心距等于|MN|6勺小于半径之和，大于半径之差的绝对值， 故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2.6. 两圆(x-a)

4、2+(y-b) 2=c2和(x-b) 2+(y-a) 2=c2相切，则(B )(A)(a-b) 2=c2 (B)(a-b)2=2c2 (C)(a+b) 2=c2 (D)(a+b) 2=2c2解析:两圆半径相等，故两圆外切， 圆心距 - bf +(方-6,=勺b-a|=2|c|, 所以(b-a) 2=2c2,即(a-b) 2=2c2,故选 B.7. 半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y-3) 2=1内切，则此圆的方程(A)(x-4) 2+(y-6) 2=6(B)(x 士 4)2+(y-6) 2=62 2 2 2(C)(x-4)+(y-6) =36(D)(x 士 4) +(y-6) =36解析

5、：由题意知，半径为6的圆与x轴相切，且圆心在x轴上方.设所求圆的圆心坐标为 佝b),则b=6.再由J/ +龄=5,可以解得a二士 4, _ 2 2故所求圆的方程为(X 士 4) +(y-6) =36.故选D.8. (2018 浙江台州检测)台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为(B )(A)0.5 h (B)1 h(C)1.5 h (D)2 h解析:如图,以A地为原点,AB所在直线为X轴,建立平面直角坐标系， 则以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN

6、勺中点E,连接BE,BN,BM贝J BE1 MN,BN二BgABE为等腰直角三角形，因为AB=40 km,所以BE=20厅km,在Rt BEN中,NE心詔二10(km),则|MN|=20(km),所以时间为1 h.故选B.能力捉升= =J NIENGLI TI&HE,NI<T=I 1 2 2 2 2 I I9. 两圆X +y +2x-4y+3=0与x +y -4x+2y+3=0上的点之间的最短距离为解析：由于(x+1) 2+(y-2) 2=2,(x-2) 2+(y+1) 2=2,两圆心之间的距离为3巳故最短距离为3匣-*-*=厅.10. 与圆x2+y2-2x=0外切且与直线X+啞

7、y=0相切于点MQ-)的圆的方程为 解析：设圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r2,h + 羽I a +由题意知,+ 力'=r+1, Q-m =§,2=r,解得a=4,b=0,r=2,故圆的方程为(x-4) 2+y2=4.答案:(x-4) 2+y2=411. 圆 G:x +y +2x-6y+1=0 与圆 G:x +y-4x+2y-11=0 的公共弦的弦长解析：两圆相交弦所在的直线方程为 3x-4y+6=0,圆x2+y2+2x-6y+1=0|-3-4x：3 + 6| 9的圆心到直线3x-4y+6=0的距离J 912 24所以弦长为K "=2X5 =5 .d二

8、j¥ + (讦=,24答案:M12. 经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程为解析：设所求圆的方程为x2+y2+6y-28+入(x2+y2+6x-4)=0,即x2+y2+61628 + 4A31311 +心+1 +勺-1 +久=0,由题意得-1 +久+1 +久-4=0,得入=7所以所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0.答案:x 2+y2-x+7y-32=013. 已知圆 G:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x 2+y2-2x+10y-24=0 相交于 两点.(1)求公共弦AB所在的直线方程；

9、求圆心在直线AB上,且经过A,B两点的圆的方程；(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程. _ 2 2 . , 2 2解:(1)圆 C:x +y+2x+2y-8=0 与圆 G:x +y-2x+10y-24=0 的公共弦所 在直线方程为 x +y +2 x+2y-8-(x +y -2x+10y-24)=0,即 x-2y+4=0.+y +2x + 2y-if = 0,(2)由尤2 +- 2ji：十- 2斗=D,所以A,B两点的坐标分别为(-4,0),(0,2), 中点坐标为(-2,1), 则 |AB|=J(-4)2 +(-2)l26故所求圆的圆心为(-2,1),半径为7, 所以圆的方程为(x+2

10、) 2+(y-1) 2=5,即 x2+y2+4x-2y=0.(3)经过A,B两点且面积最小的圆即为以 AB为直径的圆，与(2)的圆是相同的.则所求圆的方程为x2+y2+4x-2y=0.14. 已知隧道的截面是半径长为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m,那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2+y2=16(y> 0).将 x=2.7 代入，得 y二灯d丽1<3,所以，在离中心线

11、2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度.因此,货车不能驶入这个隧道.将 x=a 代入 x2+y2=16(y > 0),得 y=J" -,所以货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为丽R m.探究创新N taMJiiu CAUANGXIN15. 已知圆 G:(x-2) 2+(y-3) 2=1,圆 G:(x-3) 2+(y-4) 2=9,M,N 分别是圆C,C2上的动点,P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为(A ) (A)5Q4 (B)何1 (C)6-2中(D)佰解析：两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1I+IPC2I的最小值，作点C关 于 x 轴的对称点 C (2

12、,-3),则(|PC1I+IPC2I) min=|C/ G|=50 所以(|PM|+|PN|) min=5UL(1+3)=5 *工4.16. 已知直线ax+by+c=O(abc工0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形(B ) (A)是锐角三角形(B) 是直角三角形(C) 是钝角三角形(D) 不存在1口解析：由题意知d出+"=1,则a2+b2=c2,所以构成直角三角形.故选B.17. 若圆 O:x2+y2=5 与圆 O:(x-m) 2+y2=20(m R)相交于 A,B 两点，且两 圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 解析：由题知 O(0,

13、0),O i(m,0),则|OO|=|m|,又 OOA是直角三角形,2 2 2所以 |OO| =|OA| +|OiA| ,即 m=(e)2+(2e)2,解得 m=± 5,所以 |OO|=5,所以 |AB|=1叫1=2X 5=4.答案:418. 曲线|x|+|y|=2 和圆x2+y2=r2(r>0)无公共点，则r的取值范围为解析：由|x|+|y|=2 表示正方形，不妨设正方形为ABCD当直线x+y=2 与圆相切时尸亚.当圆x2+y2=r2过点A,B,C,D时,r=2;要使无公共点,r 的取值范围为0vrvp'或r>2.答案:(0) U (2,+ OO )19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在I上.A.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线，求切线的方程； 若圆C上存在点M,使MA=2MO求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,03 113由题意,J/ + i=1,解得k=0或k=-t故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. 因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆 C的方程为(x-a) 2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x