专业题材三柯西不等式的应用

1、专题二不等式的证明（柯西不等式）1下列不等式的证明明过程:若a, b R,若x R,则若a，b R,则上弋彳若 x, y R,则|lsr+lgy2/7y;I旳仏卜石=4； ab< 0,则(4) <-2.fHEZi=-2.a ba bV a b其中正确的序号疋2.设a, b R+, a+b=1，则仏f+寸护+的最小值为（）A.2+西 B.2 硬 C.3 D. VT）3.已知a> b>0, c< d< 0，则一与_的大小关系为 a 一 C b 一 d4.已知 a, b, c R,且 a+b+c=O, abc > 0,A.小于0 B. 大于0 C.可能是0

2、D.则2+L+丄的值（） abc正负不能确定/ n.+l5 .若不等式（-1） na < 2+对任意n N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A. - 2,寻B. (- 2,弓)C.-3')3,目D.6.设 a, b,c（-s,0）,则对于 a+d, b,fc c2都不小于-2至少有一个不小于-下列正确的是至少有一个不大于-2.都不大于-7 .定义在 R上的函数 f （ X） =mX+2x+n的值域是0 , +），又对满足前面要求的任意实数n . IDm, n都有不等式A.2013“ A二一恒成立,n'+l 2013-D.2B.1 C.则实数2013"T"

3、;&已知a、b、c是 ABC的三边长,A.A > BB.A < B C.A > BD.Aa的最大值为（A磊喘，B盏，则（）9.设正实数X、y、z满足x24y20 ,则当取得最小值时，x 2y z的最大值为（） xyA.0 B. 2D.10.设正实数x, y,z满足x2 3xy4y2z 0 ,则当空取得最大值时，-zx1-的最大值为（）y zA. 0B. 1C.D. 311. (2012?湖北)设 a, b,c, x,是正数，且a2+b2+c2=10, x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20 ,贝浊4+亡=()l+v+2x,12A.Jl B. -A C. -A

4、D.43212 .用柯西不等式求函数 =。2 1 3十十Q7 - 3k的最大值为（）B.3C.4D.513.若 2x 3y5z 29，则函数uJ2x 14 75z6的最大值为（A. 75B.C.230D.73014对任意正数x, y不等式（k -丄）x+ky恒成立，则实数k的最小值是（A.1B.2C.3D.415.已知A.1B.4x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7,则正数k等于（C.8D.916.设 x、A B.gy、z 是正数，且 x2+4y2+9z2=4, 2x+4y+3z=6，贝U x+y+z 等于()116C.17.已知x, y,z均为正数，且A.2B.2V2C.2

5、體 D.18.实数ai (i=1,2, 3, 4, 5,(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2C.后 D.1x+y+z=2，则的最大值是()32 2 2 2 26) 满足(a2 -a1)+ (a3 -a2)+( a4 -a3)+( a5 - a4)+(a6 - a5)=1 贝(a5+a6)-19.设 a，b，c，y, z 均为正数，且 a2+ b2 + c2= 10, x2+y2+ z2= 40, ax+by+ cz = 20,则 a+ b+ c 等于().x+ y+ z参考答案1.、.【解析】试题分析：依次分析 4个命题：a v 0, b> 0时，直乂|< 0，故不正确.当X冷

6、,y冷时,检验不正确，利用基本不等式可得正确，综合可得答案.©昇< 0，故不正确.a b解：当 a, b R且 a < 0, b>0 时,当xrn丄,时，Igx和Igy都等于-Ig2，小于0，故不正确.2 2丨垃韵=凶+|里I >2若 a, b R, abv 0,卜|7|耳|=4,故正确. 则扎彳戈护半，故正确.故答案为、.点评：本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用， 注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题.2. D【解析】试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得0/十1+曲+4的最小值.+ 2 2解： a, b R, a+

7、b=1,.a +b =1 - 2ab,+ Jb，十4)2又=a2+b2+5+可廿+ )护乜 > 6 - 2ab+2f (亦厂=6- 2ab+2 (ab+2) =10,"/+i+d护+4 >jr5，当且仅当¥冷时，等号成立,故膺+1 +护+4的最小值为丁帀,故选：D.点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题.3.a 一 C【解析】试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论.解:a b，一bd- a+ac(b - a) - (bd - ac)a - C b - d (a - c) tb - d)(

8、4;-G)b-d)因为 a > b> 0, cvd v 0,所以，a - c> 0, b - d> 0, b - a v 0, 又-c>- d>0,则有-ac>- bd,即 ac v bd,贝U bd - ac>0, 所以(b+a) (b - a) -( bd - ac) v 0,a = (b4a)(b-a) -bd -g) < 0b - d(a - c) (b - d)故答案为_a 一 c点评：本题考查用比较法证明不等式的方法和步骤，将两个式子作差、中，判断符号是解决问题的关键.当然，本题还可采用特殊值法进行比较这两个式子的大小关系.4.

9、 A【解析】试题分析：因为 a+b+c=0，abc (乘积)是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为 负数把a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断.解： a+b+c=0，abc> 0， a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，不妨设 a>0，b V 0，cv 0.所以,a - C) Cb 一 d)变形、判断符号，其由 a+b+c=0 得 a= -( b+c )代入得， 2+丄+2=-丄旦丄，abc b4c b c (- b) + (- c) (1 十 1 )4，_ b _ c丄亠A，即-b - C -b-c-丄V 0，b+c b+c b+c丄 44a b C故选

10、A.点评：本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断5. A【解析】试题分析：对n进行分类讨论，分离出参数a，将原问题转化为求函数的最小值问题解决.解：当n为正偶数时， av 2 -丄恒成立，又n a v.22-_L为增函数，其最小值为2-n1=32 2a, b, c的符号.当n为正奇数时,av 2+土，即 a> 2土恒成立.n而-2-土为增函数,n对任意的正整数n,有-2 -a-2.故 a - 2,号).点评：本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题，属于基础题.6.【解析】试题分析：因为 a，b，c (-汽 0 )，所以aJ+bd+cd w- 6,再假设三个数都小于-b

11、C a2,则a+-L+b+-L+c+-L<- 6,所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于- b C a解：因为a, b, c(-s, 0),所以a旦+b旦+C+丄<-6b C a假设三个数都小于-2贝U a+丄+b+2+c+2<- 6b C a所以假设错误所以至少有一个不小于-2故正确的序号为，故答案为：.点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题.7. A试题分析:【解析】根据已知条件可以得到m>0, mn=1, n>。.由已知的不等式可得：只要让金于 f的最小值即可.因为 m , n > 0 ,所以有异幻rAl1,所以只要

12、求石1>2托2+1)；"2+1)=寸所以只要求 m+n2的最小值即可，根据江二2013'解：定义在 R上的函数f (x) =mf+2x+ n的值域是0 , +);C 4nn 一 4,C/ m>0, =Q,-/ mn=1, n>0;4inzin值即可,可求出的最小值为1,所以石 1 1A1岛 1 口文+1>引( n+1)mnmf+n2>2mn=2知mf+n2的最小值为2,这样即，所以就能得到a的最大值了.2+ir +口m +nrn的最小值是1;2 2 2 2/ m+n >2mn=2 - 2+m+n >4,/51_的最大值为1;aw 20

13、13,.实数 a的最大值为2013.£ kJ J. J故选A.点评：考查二次函数：y=ax2+bx+c值域的求法，利用基本不等式：a+b2岳，a>0, b>0|, a2+b2 > 2ab 求最值.8. A【解析】由题意得 c < a+b，故 B_ <="c 丄+ 1 -TTlc a+bb、c 是 ABC的三边长， c< a+b,<_ 巴+b _ a + b < a + b _A, 14c Jl+ L+1 廿b+1 a+b+1 a+b-hl a+b a+b ' c a+b B< A,故选A .点评：本题考查三角形的

14、边长的性质，用放缩法证明不等式.9. B【解析】试题分析:解： a、 B=. £试题分析：由已知得xy2c,2x 3xy 4y xxy y4yx号成立，代入已知得2y，则x2y z=4y2y2，变形后再放大，可证小于A .2忆4yYy x2(y 1)2 231 , x 2y时等10. B【解析】试题分析:xyzxy2 2x 3xy 4 y4yx当且仅当x 2y时成立，因此z 4y26y22 2 24y 2y ,所以-x12y1)21 1.基本不等式的应用，（2）利用二次函数求最值。考点：（1）11. C【解析】试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可.解：由

15、柯西不等式得，（a2+b2+c2）（丄x2+丄y2丄Z2）（丄ax+2bycz ）444222a b C一 hj亍时等号成立2 2 2 2 2 2/ a +b +c =10, x +y +z =40, ax+by+cz=2 0 , 等号成立a t _ u-1 r "1于去宁.亡_1x+yfz 2故选C.点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不 等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造.12. C【解析】试题分析：由柯西不等式可得，函数沪- 3珂加+也-血wjl外（近）+1* ?寸（2x-S）（-3h），

16、从而求得函数的最大值.解：由柯西不等式可得，函数- 3 +亦+WM 辽X-3）十时3“ =4，当且仅当7" 3=4卫7 - 3工时，等号成立,1 V2 1故函数y的最大值为4,故选：C.点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ 值中的应用，属于基础题.13. C【解析】试ac+bd)2 <( a2+b2) (c2+d2),在求解函数最22x 1 J3y 4 J5z 6)2(1J2x 1 1J3y 4 1 J5z 6)2 u230，选 C.(111212)(2x 2 3y 4 5z 6)3(2x 3y 5z 11)3(29 11) 120 ,考点：柯西不等式.14. A) x+

17、ky>-7Say 乙【解析】 试题分析：根据题意可得（k -号x+ky >2址（址-_1） ty ,不等式（k -恒成立，可得（k -）2沈y，化简可得（2k+1） （ k 1 ）> 0,由此求得k的最小值.xy , x、y都是正实数,解：由所给的选项可得 k> 1,v（ k-吉）x+ky>2店不等式（k-寺x+ky >恒成立，- 2 技-舟)xy 乃 y,-寸上(k _ +)，化简可得 (2k+1)(k- 1 )> 0.解得:言(舍去)，或心1, 故 k的最小值为1,故选：点评： 属于基础题.15. D【解析】A.本题主要考查基本不等式的应用，一元二

18、次不等式的解法，体现了转化的数学思想,试题分析：由柯西不等式可得(x2+4y2+kz2) (1+丄)>(x+y+z ) 2,再根据 x+y+z 的最大4 k值为7可得36 ( 1)=49,由此求得正数4 kk的值.解：由题意利用柯西不等式可得(2,2、 2、(x +4y +kz )(1比)>(x+y+z) 2,4 k即36(1) >(x+y+z) 2.再根据x+y+z的最大值为7,可得=49，求得正数 k=9，D.故选：点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题.16. A【解析】试题分析：运用柯西不等式：(a2+b2+c2) (d2+e2+f2)>( ad+be+

19、cf) 2，当且仅当菲峠等号成立. 2 2 2解：X、y、z 是正数，x +4y +9z =4, 2x+4y+3z=6 ,( 22+22+12) (x2+4y2+9z2) =9X 4>( 2x+4y+3z ) 2=36,2 0 1可设一 =二k，(k 为常数)，代入 2x+4y+3z=6 ,X 2y 3z得k冷, x+y+z=2异丄迦k k 3k 9故选A.点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题.17. C【解析】试题分析：利用柯西不等式，可得(1+2+3) (x+y+z) > (寸匚) 2,结合x+y+z=2 , 即可求出“匚的最大值.解： X、y、z是正数，( 1+2+3) (x+y+z)(五) 2,/ x+y+z=2, 2=*,五的最大值是远.故选：C.点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题.18. B【解析】试题分析：由柯西不等式可得：2(1 + 1+1+4+1)> ( 32 - 31)即可得出结论.解：由柯西不等式可得：2 2(32 - 31)+ ( 33 - 32)+> (32 - 31)+( 33 - 32) ( 35+36)-( 31+34) 2< 8, '