必修二2.1.2空间中直线与直线之间位置关系

1、1、熟练掌握异面直线定义；、熟练掌握异面直线定义；2、理解掌握空间两直线的位置关系、理解掌握空间两直线的位置关系;3、熟练掌握平行公理、熟练掌握平行公理4，并会简单应用，并会简单应用; 4、理解掌握等角定理及其推论、理解掌握等角定理及其推论;5、熟练掌握异面直线所成角定义；、熟练掌握异面直线所成角定义；6、掌握求两异面直线所成角的方法、掌握求两异面直线所成角的方法。立交桥立交桥ABCD六角螺母六角螺母:不同不同在在任何一个平面内任何一个平面内的两条直线的两条直线叫做异面直线。叫做异面直线。注：注：概念应理解为概念应理解为: :“经过这两条直线无法作出一个平面经过这两条直线无法作出一个平面” .

2、或或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直不可能找到一个平面同时经过这两条直线线”注意注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线是异面直线, 它们可能是相交它们可能是相交,也可能是平行也可能是平行.一、异面直线一、异面直线:想一想：在空间中两条直线想一想：在空间中两条直线的位置关系？的位置关系？（1 1）相交直线）相交直线有且只有一个公共点有且只有一个公共点（2 2）平行直线）平行直线在同一平面内，没有公在同一平面内，没有公共点共点（3 3）异面直线）异面直线不同在任何一个平面内，不同在任何一个平面内，没有公共点没有公共点二、空间两直线的位置关系：

3、二、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看，可分为：从公共点的数目来看，可分为：有且只有一个公共点有且只有一个公共点两直线相交两直线相交1l2lA没有公共点没有公共点两直线平行两直线平行两直线为异面直线两直线为异面直线1l2l12/ll记作：All 21记记作作：(2)从平面的性质来讲，可分为：从平面的性质来讲，可分为：两直线相交两直线相交在同一平面内在同一平面内两直线平行两直线平行不在同一平面内不在同一平面内两直线为异面直线两直线为异面直线异面直线的画法异面直线的画法:Abababa想一想想一想, ,做一做：做一做：1.1.已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C

4、1 1D D1 1与与CCCC1 1上的点，上的点，那么那么MNMN与与ABAB所在的直线所在的直线是异面直线是异面直线吗吗？MNC1D1C1B1ADBAA1B1C1D1CBDA练习：如图：正方体的棱所在的直线中，练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？ 答案：答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1探究探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的这四条线段所在的直线是异面直线的有几对直线是异面直线的有几对?相交直线有几对相交直线有几对?平行直线有几对平行直线有几对?abced 我们知道我们知道,在同

5、一平面内在同一平面内, 如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是在空间这一规律是否还成立呢否还成立呢?观察观察 : 将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ab c d e 公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行行平行线的传递性平行线的传递性推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行行空间四边形：空间四边形：如图，顺

6、次连结不共面的四点如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点相对顶点A与与C，B与与D的的连线连线AC、BD叫做这个空叫做这个空间四边形的对角线间四边形的对角线.例例2：已知：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，的空间四边形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证求证EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。解题思想：解题思想： EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD

7、且且FG = BDEH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD2121把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题解立体几何时最主要、最常用的一种方法。解立体几何时最主要、最常用的一种方法。AB DEFGHC变式一：变式一： 在例在例2中，如果再加上条件中，如果再加上条件AC=BD，那，那么四边形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析： 在例题在例题2的基础上我的基础上我们只需要证明平行四边形们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。的两条邻边相等。菱形菱形变式二：变式二： 空间四面体空

8、间四面体A-BCD中中,E,H分别是分别是AB,AD的中的中点点,F,G分别是分别是CB,CD上的点上的点,且且 ，求证求证:四边形四边形ABCD为梯形为梯形.23CFCGCBCDABCDEHFG分析：需要证明四边形分析：需要证明四边形ABCD有有一组对边平行，但不相等。一组对边平行，但不相等。 ABBACC/, /CAACBAABCABBAC 在平面内在平面内, 我们可以证明我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结空间中这一结论是否仍然成立呢？论是否仍然成立呢？观察观察

9、:如图所示如图所示,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中, ADC与与A1D1C1 , ADC与与A1B1C1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大小 关系如何关系如何?答答:从图中可看出从图中可看出, ADC=A1D1C1, ADC +A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD问题：在空间中，如果一个角的两边问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？两个角相等吗？方向相同或相反，结果如何？方向相同或相反，结果如何？一组边的方向相同，而另一组边的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？方

10、向相反，又如何？互补，三、等角定理三、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补平行，那么这两个角相等或互补.注意：（注意：（1）定理中的）定理中的“方向相同方向相同”若改成若改成“方方向相反向相反”，则这两个角也相等。，则这两个角也相等。（2）若改成）若改成“一边方向相同，而另一边方向相一边方向相同，而另一边方向相反反”，则这两个角互补。，则这两个角互补。 aaOObb三、异面直线所成角的定义：三、异面直线所成角的定义：直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别引直线分别引直线a1a,b1b,把直线把直

11、线a1和和b1所成的所成的锐角锐角(或直角或直角)叫做叫做异面直线异面直线a和和b所成的角所成的角。平平移移法法 如果两条异面直线所成的角为直角，如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。那么就称这两条异面直线垂直。ba aObao900异面直线异面直线a和和b所成的角的范围：所成的角的范围： 强调强调:1)范围范围 2)与与0的位置无关的位置无关 ； 3)为了方便点为了方便点O选取应有利于解选取应有利于解决问题，可取特殊点决问题，可取特殊点(如如a 或或 b上上)； 4)找两条异面直线所成的角，找两条异面直线所成的角，要作平行移动要作平行移动(平行线平行线)，把两条异面，把

12、两条异面直线所成的角，直线所成的角，转化转化为两条相交直为两条相交直线所成的角线所成的角. 90, 0(045o例例2:(1)求直线求直线BA1和和CC1所成角的度数。所成角的度数。ABC1D1C1B1AD例例2:(2)哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA1垂直？垂直？ABC1D1C1B1ADNEXTBACK 求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是: 一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出三求：在一恰当的三角形中求出角角四、异面直线所成角

13、的求法：四、异面直线所成角的求法：例例3:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，棱长为中，棱长为a，E、F分别是棱分别是棱AB，BC的中点，求：的中点，求：异面直线异面直线 AD与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BC与与 EF所成角的大小；所成角的大小；异面直线异面直线 BD与与 EF所成角的大小所成角的大小.4560平平移移法法OG90AC AC EF, OG BDBD 与与EF所成的角所成的角即为即为AC与与OG所成的角所成的角, 即为即为AOG或其补角或其补角.练习反馈：练习反馈：1. 1. 判断判断: :（1 1）平行于同一直线的两条直线平行）平行于同一直线的两条

14、直线平行. .（ ）（2 2）垂直于同一直线的两条直线平行）垂直于同一直线的两条直线平行. .（ ）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行 . . （ ）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条有两条. . （ ）（5 5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（行，那么这两个角相等（ ）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角行，那么这两组直线所成的锐角(

15、 (或直角或直角) )相等相等. . （ ） 练习反馈：练习反馈：2 2选择题选择题 （1 1）“a，b是异面直线是异面直线”是指是指 ab= =, ,且且a不平行于不平行于b； a 平面平面 ，b 平面平面 且且ab= = a 平面平面 ，b 平面平面 不存在平面不存在平面 ，能，能使使a 且且b 成立成立上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（ ）（A A） （B B） （C C） （D D）（2 2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有的异面直线有 （ ） （A A）2 2对对 （B B）3 3对对（C C）6 6对对 （D D）121

16、2对对C CC C（3 3）两条直线）两条直线a, ,b分别和异面直线分别和异面直线c, ,d都相交，都相交，则直线则直线a，b的位置关系是（的位置关系是（ ） （A A）一定是异面直线）一定是异面直线（B B）一定是相交直线）一定是相交直线 （C C）可能是平行直线）可能是平行直线 （D D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可能是相交直线（4 4）一条直线和两条异面直线中的一条平行）一条直线和两条异面直线中的一条平行, ,则它和另一条的位置关系是则它和另一条的位置关系是( ) )（A A）平行）平行（B B）相交）相交（C C）异面）异面（D D）相交或异面）相交或异面3

17、 3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面答：不一定，还可能异面D DD D4.4.垂直于同一直线的两条直线垂直于同一直线的两条直线, ,有几种位置关系？有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面答：三种：相交，平行，异面5 5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（直线使它们成为（1 1）平行直线；（）平行直线；（2 2）相交直线；）相交直线；（3 3）异面直线）异面直线6 6选择题选择题 （1 1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是系是 （

18、） （A A）异面）异面（B B）平行）平行 （C C）相交）相交（D D）以上都有可能）以上都有可能 （2 2）异面直线）异面直线a,b满足满足a, ,b, , = =l, , 则则l与与a,b的位置关系一定是（的位置关系一定是（ ） ( (A A) )l至多与至多与a，b中的一条相交中的一条相交; ; ( (B B) )l至少与至少与a，b中的一条相交中的一条相交; (C) (C)l与与a, ,b都相交都相交; ; (D) (D)l至少与至少与a，b中的一条中的一条平行平行.D DB B（3 3）两异面直线所成的角的范围是）两异面直线所成的角的范围是（ ）（A A）（）（0 0,90,90） （B B）00,90,90) )（C C）（）（0 0,90,90 （D D）00,90,90 7 7判断下列命题的真假，真的打判断下列命题的真假，真的打“”“”，假的，假的打打“”.”. （1 1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行直线平行. . （ ） （2 2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变所成的角不变. . （ ） （3 3）四边相等且四个角也相等的四