恒成立与存在性问题地解题策略

1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、 恒成立问题的转化：a f x恒成立= a f x详；a x恒成立=a辽f x min2、 能成立问题的转化：a>f(x )能成立=anf(xhin ； a兰f(x能成立=a兰f(xhax3、恰成立问题的转化：a f x在M上恰成立：=a f x的解集为 la . f x在M上恒成立M=a <f (x 在CrM上恒成立另一转化方法：若 x D, f (x) _ A在D上恰成立，等价于 f (x)在D上的最小值fmin (x)二A， 若X，D, f(x)乞B

2、在D上恰成立，则等价于 f (x)在D上的最大值fmax(X)= B.4、设函数f X、g x，对任意的x a , b 1，存在X2C, d丨，使得f xi一 g X2 ，则fmin x - gmi n X5、设函数f x、g x，对任意的x1 a, J, 存在X2C , d 1,使得f % - g X2，则fmax X -g max X6、 设函数fx、g x，存在x1a, b 1,f m axX gm i nx7、 设函数fx、g x ,存在x1'a , b 1, 存在X2C, d 1,使得f m i n x g m a xX存在X2 C, d 1,使得f Xi- g X2，则f

3、Xi < g X2 ，则&设函数f X、g X ,对任意的xa, b1,存在x2 C , d 1,使得fx1二g x2，设f(x)A 二 B.d上函数y = f x和图象在函在区间a,b上的值域为A, g(x)在区间c,d上的值域为B,则9、若不等式f x g x在区间D上恒成立，则等价于在区间数y二g x图象上方；D上函数y二f x和图象在函10、若不等式f x : g x在区间D上恒成立，则等价于在区间数y二g x图象下方；恒成立问题的基本类型,其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立；某 某表达式的值恒大于 a等等,渗透着换元、化归、数形结合、函在培养思维的灵活性、创造性

4、等方面起在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力， 到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直 接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立 问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一

5、个方程组来解决问 题的。(一) 两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、m _ f(x)在x D上恒成立二 m_f(x)max思路2、m< f (x )在x D上恒成立二m乞f(x)min如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理 有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角 函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (X)的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二) 、赋值型一一利用特殊值求解等式

6、恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线 x= 对称，那么a=().8A 1 B . -1 C .2 D . -2 .jin略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想例(备用). 由等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1) 4+b1(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b 4 定义映射 f: (a 1,a 2,a 3,a 4) f b1+b2+b3+b4,则 f: (4,3,2,1) f (

7、)A.10B.7C.-1D.0略解：取 x=0，贝U a 4=1+b计b2+b3+b4,又 a 4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0，故选 D(三) 分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a丰0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直 线)可得上述结论等价于f (m)0-f(n) 0同理，若在m,n内恒有f(x)<0 , 则有-f(m八0Lf(n)"例2 .对于满足|a|二2的所有实数a,求使不等式x2+ax

8、+1>2a+x恒成立的x的取值范围. 分析：在不等式中出现了两个字母： x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在 -2，2内关于a的一次函数大于0 恒成立的问题2解：原不等式转化为(x-1)a+x -2x+1>0在|a| - 2时恒成立，2 设 f(a)= (x-1)a+x-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0,故有:际0即 2X _4x 30解得:x2 -10 >3或x< 1X > 1或乂 £ -1 x<-1 或 x>3.即 x ( 8 , 1) U (3,+ g)此类

9、题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即可2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方 法，在今后的解题中自觉运用。(1) 若二次函数 y=ax2+bx+c(a丰0)大于0恒成立，则有a - 0且二：:0(2) 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1 ：设f (x) = ax2bx c(a = 0)在r上恒成立,(1) f (x) - 0在 x R 上恒成立：二 a - 0且二0;(2) f (x) : 0在x R 上恒成立=a : 0且二

10、-:0。类型2：设f (x) = ax2bx c(= 0)在区间-,:上恒成立卄La“L>p(1)当 a 0 时，f(x) 0在 x，-上恒成立:二 2a 或 2a 或 2a f()0 1二；0(：)0f(x)<0在xEQ,P上恒成立二<)<0 (P)"(2)当 a : 0时,f (x)0在x ：=二，：上恒成立f(：)0f(J 0bbb Gf (x) cO在x引a, B上恒成立二2a u”或产一 一2a 一或2a f(o()>0p£0f(P)c02 类型3：设f (x) = ax bx c(a = 0)在区间(-g ,:上恒成立。f(x)&g

11、t;0 ：=a>0 且 <0 或-b/2a> :且 f( ： )>0f(x)<0 ：=a<0 且 <0 或-b/2a> :且 f( : )<02类型4：设f (x)二ax bx c(a = 0)在区间:, +g)上恒成立。f(x)>0 ：= a>0, . <0 或-b/2a< :且 f( : )>0f(x)<0 ：= a<0, . <0 或-b/2a< :且 f( : )<0例3.若函数f (x)二.(a2分析：该题就转化为被开方数一 1)x2 +(a-1)x的定义域为R,求实数

12、a的取值范围. a十1222(a - 1)x (a - 1)x0在R上恒成立问题，并且注a +1意对二次项系数的讨论解：依题意，当x R时,(a2 -1)x2 (a -1)x2-0恒成立,a2_1 = 0所以，当a2 -1=0,即当时，a =1,a+2 0,此时(a2 -1)x2 (a -1)x= 1 _ 0,. a = 1.当a2a2 -1 aO,"0时，即当.,(a_1)2_4(a2-1)20时,有a2a21nlca兰9,综上所述，f(x)的定义域为R时，a己1,9-10a9 乞0,例4.已知函数f (x) =x2 ax 3-a，在r上f (x) _ 0恒成立，求a的取值范围分析

13、：y = f (x)的函数图像都在 X轴及其上方，如右图所示：略解:=a24 3 a =a2 4a12M0 6_a_2变式1：若1-2,2 时，f(x) _ 0恒成立，求a的取值范围解析一 (零点分布策略)本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,3>0或/ 2 一 ，即a的取值范围为-7，2. f (-2) K0f(2) >0解法二分析：(运用二次函数极值点的分布分类讨论)要使1-2,2 时，f (x) 一 0恒成立，只需f (x)的最小值g(a) _ 0即可.略解：/ 2(分类讨论)f(x)=xaa a 3，令f (x

14、)在-2,2 1上的最小值为g(a).12丿4*37* *当2，即 a 4 时，g(a) = f(-2)=7-3a_0 a 又* a 423-a不存在.当一2乞- <2，即一4a乞4时,2aa2g(a)二 f ( )a 3_ 06 Ea 2 又244_a4-4a2当一色 2，即 a ：-4时，g(a)二f (2=)7a -a - 一7又；a ：-42、7 乞 a -4综上所述，-7乞a乞2.变式2：若1-2,2 时，f(x)_2恒成立，求a的取值范围解法一：分析：题目中要证明 f (x) _2在丨-2,2 1上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1-2,2 时恒

15、大于等于0的问题例2 已知f(x) =x2 ax ，若x-2,2, f(x) _0恒成立，求a的取值范围略解：f (x) = x2 ax 3 - a - 2 _ 0，即 f (x) = x2 ax 1 - a _ 0在丨-2,2上成立.，；.=a24 1a <0 . -2-22 <a< -2 2.2A =a2 _4(1 _a) >0f( 20 f (-2) _ 0_5 M a _ _2、2 _ 2a . a 小二2或一兰22 2综上所述，-5乞a乞2、. 2-2.解法二：(运用二次函数极值点的分布)a5当2，即 a 4时，g(a)二 f (一2) =73a 一2 a4,

16、 ：. a不23存在aaa2当 一 22，即 一4 乞 a 乞4 时，g(a) = f( ) = - a，3-2，2242 2 2 乞 a 乞2 224 空 a 乞 2、2 2a当一亍 2，即 a ： -4时，g(a)二 f (2) =7 a _2 ,a - 5 - 5 - a ： -4综上所述-5乞a岂2-. 2 -2.此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样对于二次函数在 R上恒成立问题往往采用判别式法(如例4、例5),而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在

17、等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x) min；若对于x取值范围内的任何一个数，都有 f(x)<g(a)恒成立，贝U g(a)>f(x) max.(其中f(x) max和f(X)min分别为f(X)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式x? - 4x 3 ：； 0，x? - 6x 8 ： 0 ,2x2 - 9x m ：

18、 0 .要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 -9x - m ： 0在x (2,3)上恒成立，即m ： -2x2 9x在x(2,3)上恒成立，又- 2x29x在x (2,3)上大于9,所以 m空9例6.函数f (x)是奇函数，且在-1,1上单调递增，又f(-1)-1，若f(x)空t2-2atT对所有的-1,1都成立，求t的取值范围.解：据奇函数关于原点对称，f(1)=1,又；f(x)在-1,1上单调递增 f(X)max 二 f(1)"2f (x) -t -2at 1对所有的-1,1都成立.因此，只

19、需t -2at 1大于或等于f(x)在-1,1上的最大值1,2 2t -2at 1 _1= t -2at -0又打对所有a -1,1都成立,即关于a的一次函数在-1 , 1上大于或等于0恒成立，t2 -2t -0t2 2t -0-t _2或 t =0或 t-2即：t (-：，-202,：)禾U用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例.已知f (x) =x|xa| b,x R .若b ： 0，且对任何x：= 10,1不等式f(x)：0恒成立,求实数a的取值范围.解：当X = 0时，a取任意实数，不等式f(x) ：0恒成立，故只需考虑x三0,11,此时原不等式变为1x a-x

20、bb即 xa : x 一一xxbb故(x - -)max : a : (x -)min, X-0,1 1xx又函数g(x) =x -在0,1 上单调递增，x所以(X max 二 9(1)=1 b ；x对于函数h(x)=x- ,x0,1 1x 当 b ： -1 时，在 0,1 1上 h(x)单调递减，(x - )min 二 h(1) = 1 - b，又 1 - b 1b ,x所以，此时a的取值范围是(1 - b,1 -b). 当 一1 三 b ： 0 ,在 0,11上，h (x) = x - b _ 2、-b ,x当时，(xb)min =2b，此时要使a存在，x必须有1 b "2- b

21、即：2、2 -3，此时a的取值范围是(1 b,2、二b)-1 Wb c0综上，当b ：-1时，a的取值范围是(b,1-b)；当-Vb 2-3时，a的取值范围是(1 b,2b);当2"-3乞b：0时，a的取值范围是一.4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T) 恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象, 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填

22、空题这种方法更显方便、快捷。例7.对任意实数x,不等式乂+1-乂-2：>3恒成立，求实数a的取值范围分析：设y=|x+1|-|x-2|, 对任意实数x,不等式x+1 _ x_2 >a恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a的取值范围一3x 兰 一1解：令 y =卜 比| X 2 =2x1 1 £X £23x _2故实数a的取值范围是(-3).在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使 对任意实数x，不等式x 1 - x -2 a恒成立，只需a ： -3 .注：本题中若将 对任意实数x，不等式x Jx2 a恒成立，

23、求实数a改为对任意实数X，不等式x J -x-2 : a恒成立，求实数a，同样由图象可得a>3;对任意实数X，不等式x+l|+x-2:>a恒成立，求实数a ,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围例8.设常数a R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，贝U a的取值范围为。解：1) a<=0x<=a/2<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a

24、a/2<=x<=0 时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则与g(x)有父点，即：-2<=a<=0。2) a>0x<=0 时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2 时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2 时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a 最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x

25、 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题 策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。(一) 换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。解得 ，即有易得。2、设点P(x, y)是圆x2 (y -1)2 = 4上任意一点，若不等式x+y+c _ 0恒成立，求实数c的取值范围。(二) 分离参数，化归为求值域问题成立，求m的范围。3、若对于任意角总有解：此式是可

26、分离变量型，由原不等式得又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知,cos2 日必须小于f("cos一 2的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值。因为f(T_ cos2 rcos"2O都有实根，求实根的范围。m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会即时，有最小值为0,故(三) 变更主元，简化解题过程4、若对于，方程解：此题一般思路是先求出方程含参数遇到很多麻烦，若以 m为主元，则由原方程知，得又，即解之得或。25、当a兰1时，若不等式x +(a6)x十93a >0恒成立，求x的取值范围。(四)图象解题，形象直观6 、设x(0,4，若不等式.、x(4-x)ax

27、恒成立，求a的取值范围。解:若设 y x(4 - x)，则为上半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。°、4x在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围7、当X- (1,2)时，不等式(x-1) 2<log ax恒成立，求a的取值范围。解：设yi=(x-1) 2,y 2=log ax,则yi的图象为右图所示的抛物线要使对一切(1,2),yi<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y的函数值大于等于yi的函数值。故 log a2>1,1<a ：2.&已知关于x的方程lg(x 2+4x)-lg(2x-6a

28、-4)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：方程可转化成lg(x 2+4x)=lg(2x-6a-4), 从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边 看成是二次函数 y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在 x轴上方恒有 唯一交点即可。2 2解：令 yi=x +4x= (x+2) -4,y 2=2x-6a-4,yi的图象为一个定抛物线y 2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使yi和 乎在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。(包括l 1但不包括丨2)当直线为l i时，直线过点(-4， 0)，此时纵截距为-8-6a-4=0,

29、a= -2；当直线为l 2时，直线过点(0，(五)合理联想，运用平几性质0)，纵截距为-6a-4=0，a= - 232 a的范围为S3)9、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数,用解析几何中有交点的理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A (0, 1),而曲线为圆,圆心C (a, 0)，要使直线恒与圆有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：,C (a, 0)，当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A(0,1)必在圆上或圆内，即点A( 0, 1)到圆心距离不大于半径，则有 得。(六)分类讨论，避免重复遗漏10、当时，不等式恒

30、成立，求x的范围。解：使用的条件，必须将 m分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不等式恒成立，只要,解得。当时，要使不等式恒成立，只要，解得当。时，要使恒成立，只有。综上得解法2:可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将 m视为主 变元，即将元 不等式化 为：m(x2 -1) - (2x - 1) ： 0 ,；令f(m) =m(x2 1) (2x 1)，贝U 2兰m兰2时，f(m) £0恒成立，所以只需 丿"一2)即f(2) <0_2( x 1)(2x1)<0 u广 m砧卄曲白一1+/7 1十+''32，所以x的范围是x(

31、,)。此类题本质上是利用了Z(x2 -1) -(2x -1) £022一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方(或下方)即11、当1 ： x : 3时，不等式x2 -2ax 6 . 0恒成立，求实数a的取值范围。解: a ： x 3来，得2 x当 1 < x : 3时，x 332x2故实数a的取值范围：a ： . 6(七)构造函数，体现函数思想12、( 1990年全国高考题)设=6，当 x =23，即x =x'、6时等号成立。，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有二种兀

32、素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出，对于恒成立。构造函数,则问题转化为求函数上的值域。在上是单调增函数,则 在上为单调增函数。于是有的最大值为:，从而由于函数可得。(八)利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,n' f a , g a ，则f a < m且g a ： n,不等式的解即为实数 a的取值范围。例13、当 '-,3时，loga x cl恒成立，求实数a的取值范围。13丿解:T -1 lOgaX ：1(1):x : a，则问题转化为 -,3-,a13丿la

33、丿a_3(2)当 0 : a ：1 时,a : x，则问题转化为-,3a13丿I a丿a,1.1a、31二 0 < a 兰一!>33L.a综上所得：0 :： a 乞 1 或 a 33四、其它类型恒成立问题 能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。2a1、已知函数 f (x)二 x - 2ax 1, g(x) ，其中 a 0 , x = 0 .x对任意X1 1,2,X2 2,4,都有f(xjg(X2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数f(x)和g(X)分别求最值，即只需满足fmiX)Qma(X)即可.简解：令 n(a)= gma£x)=a

34、/2;22令 m(a)=f min(x),f(x)=(x-a)+1-a ,故(1)对称轴 x=a<1,即或 0<a<1 时，m(a)= f min(x)=f(1)=2-2a，由 m(a)>n(a)解得 a<4/5,(注意到a的范围)从而得 a的范围：0<a<4/5;(2) 对称轴 x=a>2 时，m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a ，由 m(a)>n(a) 解得 a<10/9,(注意到 a 的范 围)从而得a无解：；(3) 对称轴 x=a 1,2时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ，由 m(a)>n

35、(a) 解得 a 二1丄7 或4 a " 一 17 ,(注意到a的范围)从而得 a的范围1 ： a乞2 :;4综合(1) (2) (3)知实数a的取值范围是：(0 , 4/5) U 1,22、已知两函数f (x) =X2 ,g(x)=z vx(1 -i -m2)对任意x 0,2),存在x2 1,21,使得f (Xj g X2，则实数m的取值范围为 解析：对任意x10,2 1,存在 X21,2 1,使得 f (xj _ g X2 等价于 g(x)=-m 在 1,21上的最小值1 -m不大于f(x)=x2在0,2】上的最小值0，既丄-m岂0,二m - 14' '44【例1

36、】 已彌I函数/<龙)=寺若存在 如0 1沁使不等式求实数皿 的取值 范隔M : ( 1 )Z(主=* In* ( x > O ) J ( x )= x +十由据它町 fg >o得函数m在区间i.小为增函数剧当工“仃时丘士+舟心 人故要便存在丸丘1 便不等占/(珀)戒立只 需mN兮-即可*【例2】 已知圈敛八戈)匕尸空的定义域为3jc + 3题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若

37、在区间D上存在实数X使不等式f xA成立，则等价于在区间D上f x max A ； 若在区间D上存在实数X使不等式f X : B成立，则等价于在区间D上的f X min < B .1、存在实数X，使得不等式 仪七十X -1兰a2 -3a有解，则实数a的取值范围为 。解：设 f x =x 3 :lx T，由 f x 一-3a 有解，=a2 -3日 _f x ,又 x 七牛1 (x *3 )(x 1 )=4a2=4，解得 a 兰4或 a 兰-。1、求使关于p的不等式x2px p 2x在p -2,2有解的x的取值范围。解：即关于 p的不等式(x _1) p x2 -2x T ： 0有解，设f

38、p = x1 p x2 -2x 1，则 f p在-2,2上的最小值小于 0。(1)当 x>1 时，f(p)关于 p 单调增加，故 fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得 1<x<3;当x<1时，f(p)关于p单调减少，故f min(p)=f(2)=x-1<0,解得-1<x<1 ；当 x=1 时，f(p) = 0,故 f min(p)=f(p)<0 不成立。综合(1) (2) (3)知实数x的取值范围是：(-1 , 1) U (1,3)例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根,不等式|m2-5m-3| >

39、|x 1-x 2|对任意实数a -1,1 恒成立；命题Q:不等式|x-2m|-|x|>1(m>0) 有解；若命题P和命题Q都是真命题，求 m的值范围。 解: (1)由 P 真得：1% -X2 |*a28，注意到 a 在区间-1,1, 区 - x? |max = 3,由于 |m5m-3| > |x 1-x 2| 对任意实数 a -1,1恒成立，故有 | m2 - 5m - 3| | % - x2 |max = 3 解得：mW -1 或 m> 6 或 0w m< 5(1)由 Q真,不等式 |x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得(|x-2m|-|x|)

40、ma=2m>1,解得：m>1/2由于(1)( 2)都是相公命题，故m的值范围：1/2<mW 5或m> 6.举例(1)已知不等式4x - a公 2 - 0对于X，-1, :：)恒成立，求实数a的取值范围.xx(2)若不等式4-a 220对于a (-"',3恒成立，求实数x的取值范围.21分析：(1 )由4x - a 2x 2 - 0得：a ：2x -对于-1,=)恒成立，因2x _ ，所 2x2以2x 2 _ 2 2，当22时等号成立所以有a ： 2 2.2x(2)注意到4x - a 2x 2 0对于a (-：,3恒成立是关于 a的一次不等式.不妨设f(

41、a) =2xa (4x 2)，则f (a)在a(：,3上单调递减，则问题等价于 f(3)，所以4x -3 2x 20- 2x 2 或 2x ： 1，则 x取值范围为(-：,0) (1, = )小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切 不可混为一体。 不等式f x :M对xI时恒成立 =fmax(X)：:M?, xI。即f x的上界小于或等于M ； 不等式f x :M对xl时有解=fmin(x) ：:M?, xG。 或f x的下界小于或等于M ； 不等式f XM对xI时恒成立 =fmin(x) -M?, xI。即f X的下界大

42、于或等于M ； 不等式f XM对xI时有解=fmax(X) -M , xI 。 或f X的上界大于或等于 M ；高中数学难点强化班第四讲(140709 )课后练习答案：一 填空选择题(每小题6分，共60分)1、对任意的实数x ,若不等式x+1-x-2>a恒成立，那么实数a的取值范围。答案：|x+1|-|x-2|> -|(x+1)-(x-2)|=-3, 故实数 a 的取值范围：a<-32、不等式sin2 x _4sin x+1 _a <0有解，则a的取值范围是 解：原不等式有解 n a >sin2 x-4sin x 十1 =(sin x2 j-3 (二兰sinxM

43、J有解，而 (sin x 一2 j-31伽=2 , 所以a V。3.若对任意xR,不等式|x|_ax恒成立，则实数a的取值范围是()(A) a ：-1(B) |a1(C)|a|：1解析：对- x R,不等式|x |_ ax恒成立则由一次函数性质及图像知-1 _a _1，即|a|_1。4当(1,2)时，不等式2x mx0恒成立，则m的取值范围是.答案：选B解析：2 22x+4x+44当x (1,2)时，由x mx 4 < 0得m.令f (x)x，则易知xxxf (x)在(1,2)上是减函数，所以X 1,2时f (x)max二 f =5 ,则(-4x)mi n5已知不等式ax2 -3x (a

44、 1) x2 -x - a 1对任意a (0, *)都成立，那么实数 x的取值 范围为分析：已知参数a的范围，要求自变量 x的范围，转换主参元 x和a的位置，构造以a为自 变量x作为参数的一次函数 g(a)，转换成一 a (0, g(a) 0恒成立再求解。解析：由题设知"ax -3x (a 1) . x2 -x - a 1对- a (0, ：)都成立，即 a(x2 2) -x22x 0对- a 二(0, ：)都成立。设 g(a) =(x2 2)ax22x ( a R),则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。x2 2 0恒成立，则对- R，g(a)为R上的 单调递增函数。所以对- a

45、 (0, ：)，g(a) 0恒成立的充分必要条件是 g(0) _0，-x2 -2x _0， -2空x乞0，于是x的取值范围是x| -2岂x乞0。26已知函数f x =2mx -2 4-m x 1,g x二mx，若对于任一实数 x , f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A. (0 , 2) B (0 , 8) C (2 , 8) D (汽 0)分析：f(x)与g(x)的函数类型，直接受参数 m的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。1y解析：当m =0时，f (x) - -8x 1 0在(-二，)上恒成立，而g(

46、x) = 08在R上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当m ： 0时，g(x)在R上递减且g(x)二mx 0只在(一弋0)上恒成立,f (x)是一个开口向下且恒过定点(0, 1)的二次函数，显然不满足题意。f(x)xg(x)x图3f(x) =_8x -1图1当m0时，g(x)在R上递增且g(x)=mx 0在(0, ：)上恒成立,f (x)是一个开口向上且恒过定点(0, 1)的二次函数，要使对任一实f x与g x的值至少有一个为正数则只需 f(x)0在(-：,0上g(x)=00g(x)二 mx 一图2f x恒成立。(如图3)丄4 - m则有2m ：0:=4(4 -m)2 -8m ： 04 - m或0 解得 4 ： m ： 8 或 0 ： m - 4 ,2m综上可得0 : m乞8即m (0,8)。故选B7、已知两函数 f x7x2 -28x -c , g(x)=6x 2-24x+21。(1)对任意1-3,3 1,都有f x丸x成立，那么实数c的取值范围c0(2) 存在x：.汀3,3 ，使f x _g x成立，那么实数c的取值范围c A -25;(3) 对任意Xi ,x 1,3 ,都有f Xi <g X2 ,那么实数c的取值范围 cA 150 ;(4) 存在xi , x