线形代数-向量的线性相关性与矩阵的秩

1、 MBA 联考复习 数学部分 4 若 A 为 m×n 矩阵，且秩A = rminm，n，则 A 中（ D ） ： (A 至少有一个 r 阶子式不等于零，没有等于零的 r1 阶子式。 (B 必有等于零的 r1 阶子式，有不等于零的 r 阶子式。 (C 有等于零的 r1 阶子式，没有等于零的 r 阶子式。 (D 有不等于零的 r 阶子式，所有 r1 阶子式都等于零。 (E 有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r1 阶子式。 3 1 2 2 5 设 A = 1 3 2 x ，若秩 (A 2，则 x 2 5 4 7 3 1 2 2 3 1 2 2 解： 1 3 2 x 0 5 0 x +

2、 3 2 5 4 7 0 9 0 1 r ( A 2 x+3 5 32 = x= 1 9 9 6 求下列矩阵的秩 。 1 2 1 2 1 10 2 4 3 4 1 2 3 4 1 2 0 4 4 5 0 4 1 1 0 0 1 2 0 8 2 2 8 10 0 8 2 2 0 0 0 2 0 1 2 0 2 0 0 2 0 3 1 0 2 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 3 1 0 0 1 2 0 0 0 4 1 ， r = 2 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 2 1 ， r = 4 0 3 0 0 1 1 2 0 1 0 0 2 0 2 2 0 0 1 1 1 1 0 0

3、 0 1 1 1 1 2 2 1 1 3 0 1 1 2 2 3 0 0 3 3 3 2 1 4 2 6 1 0 0 6 3 0 1 1 0 0 0 1 0 3 1 0 3 0 0 0 2 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 1 ， r = 3 1 0 7 向量组 1， 2， L， m 的秩为 r，以下成立的是（ C ） ： (A 向量组中任意 r 个向量线性相关； (B 向量组中任意 r 个向量线性无关； (C 向量组中存在 r 个向量线性无关，任意 r1 个向量线性相关； (D 向量组中至多有 r 个向量线性相关； (E 向量组中至少有 r 个向量线性无关； 第6 页 MBA 联考

4、复习 数学部分 8 求向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组表 示，其中 1 = (1 2 3 ， 2 = (0 1 4 ， 3 = (2 3 6 ， 4 = ( 1 1 5 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 解： A = 2 1 3 1 0 1 1 3 0 1 1 3 = U ， r = 3 3 4 6 5 0 4 0 8 0 0 4 4 1 ， 2 ， 3 是一个极大线性无关组； 设 4 = k1 1 + k 2 2 + k3 3 ，从 U 中可以得同解方程组 k 1 + 2 k3 = 1 k1 = 1 则 k 2 k3 =

5、 3 ，得 k 2 = 2 即 4 = 1 + 2 2 3 k = 1 4 k3 = 4 3 1 = (1 1 3 1 ， 2 = ( 1 1 T 1 3 ， 3 = (5 2 8 9 ， 4 = ( 1 3 1 7 T T T 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 0 2 2 解一： 5 2 8 9 0 7 7 1 7 0 4 4 1 3 1 ， 2 是一个极大线性无关组； 设 3 = k 1 1 + k 2 2 1 1 0 4 0 14 8 0 1 2 0 0 3 2 0 0 1 4 ， r = 2 0 0 k 1 + k 2 = 3 k1 = 2 ，得 即 3 = 2 1 + 2

6、2k 2 = 2 k 2 = 1 设 4 = k 3 1 + k 4 2 则 则 k 3 + k 4 = 1 k 3 = 1 ，得 即 3 = 1 + 2 2 2k 4 = 4 k 4 = 2 1 4 ， r = 2 0 0 1 1 1 5 1 1 5 1 1 1 5 1 1 2 3 0 2 7 4 0 2 7 解二： 3 1 8 1 0 2 7 4 0 0 0 0 1 3 9 7 0 4 14 8 0 0 1 ， 2 是一个极大线性无关组； 设 3 = k 1 1 + k 2 2 k1 = 3 k 1 k 2 = 5 2 则 ，得 即 3 = 3 7 2 2 1 2 7 2k 2 = 7 k

7、 2 = 2 设 4 = k 3 1 + k 4 2 则 k 3 k 4 = 1 k3 = 1 ，得 即 4 = 1 + 22 2k 4 = 4 k 4 = 2 第7 页 MBA 联考复习 数学部分 9 矩阵 A 中添加 1 列（或 1 行）后记为 B，问秩 r ( A 和 r ( B 有什么关系？ 解：若添加的 1 列（或 1 行）可以用原来的各列（行）线性表出，矩阵的秩不变； r ( B r ( A 。 若添加的 1 列（或 1 行）不能用原来的各列（行）线性表出，矩阵的秩增加 1； r ( B r ( A 1。 10 设 A 为 n 阶矩阵，且 r ( A = 1 ，证明： A 可以表示为 = ( a1，a 2， L，an T 与 = ( b1，b2， L，bn T 的转置的乘积； 证： r ( A = 1 ；矩阵 A 的任意两行成比例。 设矩阵 A 的第一行为 a1b1 a1b2 L a1bn ，则有 a1b1 a b A= 2 1 L a nb1 a1b2 a2 b2 L an b2 L a1bn a1 L a 2 bn = a2 × b L L M 1 L a n bn an b2 L bn = T ，证毕。 A2 kA ，其中 k 是 A 的主对角元之和