力学作业任务解答第三章

1、第三章基本知识小结1牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。矢量式： Fdvma mdtd2rmn-dt2Fxmax, Fymay, Fz分量式：Fdvma m, Fn mandtmaz （直角坐标）2,口二（弧坐标）2动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：Fdt微分形式：Fdtdp积分形式：1(Fdt)（注意分量式的运用）3动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零,则质点或质点系的动量保持不变。即若 F外0,贝U P恒矢量。（注意分量式的运用）4在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。在直线加速参考系中:f ma0在

2、转动参考系中：f2 *m r, fk 2mv'5质心和质心运动定理 mLmi n mvcmM macmi ai F mac（注意分量式的运用）3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为r (6t2 1)i? (3t2 3t1）?（单位：米，秒），求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：d2r/dt212i? 6?, F ma 24i? 12?为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(24 2 + 12 2)1/2 =12薦N ，力与x轴之间夹角为:arctgF y / Fx arctg 0.526 34'3.4.2 质量为m的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学

3、方程为：r acos t i? bsin t j?, a,b,3为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明： a d 2r /dt22 (a cos ti? bsin t?)2r2F ma m r , 作用于质点的合力总指向原点。mi m2344题图3.4.4桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为卩2, m 1和m2间的摩擦系数为卩1,问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离m1、m2,其受力与运动情况如图所示,xf2fl'N2Fa2NiaifiNi'其中,N i'=Nm2gmigi,fi'

4、=f 1= jiiN 1 ,f2= ji2N 2,选图示坐标系 0-xy ,对m i,m 2分别应用牛顿二定律，有iNiFmai1N12N2m2a2N1gg 0N2N1m2g解方程组，得 a11g a2F mg2mig2m2g / m2要把木板从下面抽出来,必须满足a2a1，即F mg2m1g2m2gm2ig12 m1m2 g3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m i,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。解:以地为参考系，隔离mi,m2，受力及运动情况如图示， 其中：fi= jiN i= jim i

5、g , f 2=込2= i+m 2g)=Mm i+m 2)g.在水平方向对两个质点应用牛二定律:Tmigmia mig(mi m2)g T m2a +可求得：a2migmi m2将a代入中，可求得：Tmi(F 2 mig)mi m2' Ni"_ fi miga <f2 fi* N2a Ni_m2gFmi Im2347在图示的装置中，物体 A,B,C的质量各为mi,m2,m3,且两两不相等.若物体A,B与桌面间的摩擦系数为卩，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量,不计轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离 A,B,C，受力及运动情况如图示,其中：fi =

6、 jiN i= im i g , f2= jiN 2= im 2g ,T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以(ai + a2) 12= a3.对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律:m-ig miai T m3g 2T m3(ai a2)/2m2gm2a2，,联立，可求得:ai(mim2)m34mim22mim3(i)(mim2)m34mi m2(mim2)m3(i)(mim2)m34mim22口2口3 (1a2a3NiN2f1 *ai*T* f2a3m3gm2g a2*3.4.9跳伞运动员初张伞时的速度为v0，阻力大小与速度平方成正比：av2，人伞总质量为

7、m。求v提示：积分时可利用式解，mgav2mdv dt ,dvdtmg1av2 /m©m,设2amg'拓dvdv2(1v):2(1v )v)v2 gt C，'n(7v)(1v0)v)(1v。)1gdt,v(t )的函数。v)121V)3.5.14dvmg av2常量，代入,dt上式写成-1d (1v)vy2 gt Vln(1(e2 gt北京设有供实验用的高速列车环形铁路,dvr-2Vgdt,(1V)2 (12 gtln(1)Xo(e2 gt 1乜1)1 v0gdt,o回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力,

8、外轨应比内轨高多少？设轨距 1.435m.积分解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v 2/r ；设轨矩为l，外轨比内轨高h,有cosJl2h2/l,sinh/l选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律:Ncos N2 h2 /l mg ，N sin Nh/I mv2 / R/得：Jl2 h2/hgR/v2,两边平方并整理，可求得 h :h v2l/Jv4 g2R269.420.0782m7.8cm1.435/ J69.449.82 900023.4.15 汽车质量为 1.2 X10kN，在半径为 100m的水平圆形弯道

9、上行驶，公路内外侧倾斜15，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t 3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧?解：以地为参考系，把汽车视为质点,受力及运动情况如图示:v=ds/dt=1.5t 2+20V|t=5=1.5 X52+20=57.5m/san=v 2/R=57.5 2/100=33，应用牛顿第二定律:Ncosf sinmgNcosmgf sinN sinf cosmanN sinmanf cos/得：tg(manf cos ) /(mgf sin )manf cos , fm(gtgiiigig

10、1 bill1 lycosgtg an9.8tg153330.430,f 0,设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xysin tg说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。3.4.20 圆柱A重5OON，半径 RA=0.30m ，圆柱B重1000N,半径 RB=0.50m ，都放置在宽度 L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的,求 A、B间的压力及 A、B柱与槽壁和槽底间的压力。CB=L-R a-Rb=0.4解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有Nab SinNb 'mBgNbO (1)Nab cosNaNab sin0(2)Nab cosmAg

11、O 通过对 ABC的分析,可知，sin a=0.4/0.8=0.5/.a=30 o, cos a=(3/2,分别代入(1 )、(2 )、(3)、(4 )中，即可求得:Nb = 288.5 N , N b'= 15OO N , N a = 288.5 N , N ab = 577 N.3.6.1就下面两种受力情况：F 2ti? 2?( N,s)，3.5.2升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m 1 ,m 2且m 1 m 2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a （方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少?解：以升降机为参考系，隔

12、离m i,m 2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，fi*=m ia,f 2*=m 2a, a 1 '=a 2'=a'为 mi、m 2 相对升降机的加速度 .以向下为正方向，由牛顿二定律，有:mig T m2g Tm.,am,a'11解得:m2a m2a'a' (m1 m2)a 血 5)9m1 m2T 2m,m2(g a)/(m, m2)m 2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式,aia? a?' a 写ai2m2a (m2 m1 )gm1 m2a2m1 m2)叫A111占成标量式：a1 a' a,a2a'

13、 a ，将a '代入，求得：F 2ti? (1 t)?(N,s )分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1时间内的 冲量，也用图表示。解：F 2ti? 2?代入t值得:F(0) 2?FG)畀 2?F(2) ?I Vi22275ns,与x轴夹角F(4)舁 2?,F(1) 2i? 2?111I Fdt 2? tdt 2? dt i? 2?000a= arctgly/I x = arctg2 = 63.5F 2ti?(1t)?,代入t值得:F(0)?FG)F(4)F (1)2?1Fdt 2i? tdt0 011? dt ? tdt i?00IJi2 0.

14、52 J5/2NS,与 x 轴夹角a= arctgly/I x = arctg0.5 = 26.5?丄23.6.2 一质量为m的质点在o-xy平面上运动,其位置矢量为:r acos ti? bsin t?，求质点的动量。解：质点速度：v dr /dt a Sin t? bcos tj?质点动量:p mv m asin ti? m bcos tj?大小：PJPx2Py2m Ja2sin2 t b2cos2 t方向：与x轴夹角为0,tg 0= p y/p x = - ctg 31 /a3.6.5 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为卩0,质量为m的滑块与M均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可

15、不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高一，松手后可利用绳对MaM ?设当m下落h后经过极短的时间 t后与绳的铅直部分相对静止。一.M冲力的平均力拖动(m i+m 2)ac=m iai+m 232 , ai 为车对岸的加速度，ai=(v-0)/ t=v/ ,解：以地为参考系，选图示坐标, 先以m为研究对象，它被托起 h，再落 回原来位置时，速度大小为 V J2gh , 在t极短时间内与绳相互作用，速度又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有:F t 0 ( mv) mv mj2ghFm/2gh/ tM受到的冲力大小再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处

16、摩擦不计，绳不可伸长，所以 也是F, M受到的最大静摩擦力为 f max= jio Mg ,因此，能利用绳对 M的平均冲力托动 M的条件是:F>fmax,即 mj2gh/ toMg ho2M 2( t)2g/2m23.7.I 质量为I500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s，问缆绳作用与驳船的平均力有 多大？(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)解：(1 )用质点系动量定理解:以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉Fm2mi力F的作用， 应用质点系动量定理，有 F t=m iv /.F=m iv/ t=1500 X5/5=1500N(

17、2)用质心运动定理解：F=(m i+m 2)ac ,据质心定义式，有:i+m 2)，代入 ai,a2为船对地的加速度，据题意a2=0 ,.ac=a im i/(mac=m iv/(m i +m 2) At ,.F=m iv/ At=1500N(3 )用牛顿定律解:a2=0ai分别分析车、船两个质点的F m2mi受力与运动情况：其中 f为静摩擦力，ai=v/ At，对两个质点分别应用牛顿二定律:miai miv/ t 1500N Ff i500N3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止,后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。

18、解：以地为参考系，选图示坐标0-X,设人的质量为 mi=70kg ，人相对地的速mi度为vi,相对船的速度为 vi ,它们的方向显然与X轴同向；设船的质量为m2=2i0kg ，船相对地的速度为 V2,(方向显然与x轴相反)；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度 V1=V l' +v 2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有:m iVi+m 2 V2=0 ,即m 1(v 1' + V 2)+m 2 v2=0 ，可求得V2= - V i' mi/(m i+m 2),将上式两边同时乘上相互作用时间t, v2At=s 2为船相对地的位移，vi' At=s i=3.2m，即S2 = - s 1' m i/(m i+m 2) = - 3.2 X70/(70+210) = - 0.8m3.7.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为mi=165 X10kg，和m