定积分与微积分基本定理

1、定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高二适用区域通用课时时长（分钟）60知识点定积分的概念与几何意义；微积分基本定理求定积分；定积分的简单应用教学目标1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2 .了解微积分基本定理的含义.教学重点微积分基本定理求定积分教学难点微积分基本定理教学过程、课堂导入ViA问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么?二、复习预习1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2 .若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3 .定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4 .定积分的几何意义是曲边梯形的面积，

2、但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.三、知识讲解考点1 定积分的概念设函数y = f(x)定义在区间a, b上用分点a = X0<xi<X2<vxn-i<xn = b.把区间a, b分成n个小区间，其长度依次为"i = Xi+1 -Xi, i = 0,1,2，n 1.记入为这些小区间长度的最大值，当 胎近于0时，所有的小区间长度都趋n 1近于0，在每个小区间内任取一点5，作和式InXOfAxi.当入-0时，如果和式的极限存在，把和式 In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作

3、?bf(x)dx，即?bf(x)dx = 1虹0：20口 &) Axi，其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积式,a为积分下限,b为积分上限.考点2 定积分的运算性质(1)3kf(x)dx = k劣f(x)dx (k 为常数).?3f(x)±g(x)dx= ?a f(x)d x ±?bg (x)dx.?bf(x)dx= iaf(x)d x + ?bf(x)d x (a<c<b).考点3 微积分基本定理如果F(x)= f(x)，且f(x)在a, b上可积，则3f(x)dx = F(b) F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.四、例题精析考

4、点一定积分的计算例1 若定积分?2寸X2 2Xdx =上，贝u m等于（）W4A1 B. 0 C. 1 D . 2【规范解答】根据定积分的几何意义知，定积分? 2冷-X2-2xdx的值就是函数y =寸-X2-2x的图象与x轴及直线/冗nx = 2 ,x = m所围成图形的面积，y =寸x2 - 2x是一个半径为1的半圆，其面积等于，而?-讯x2 - 2xdx,1即在区间-2, m上该函数图象应为4个圆，于是得m=-1，故选A.【总结与反思】(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解;(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意

5、义求解.考点二利用定积分求曲边梯形的面积 例2 如图所示，求由抛物线y = x2 + 4x 3及其在点A(0, - 3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.【规范解答】由题意，知抛物线y = x2 + 4x 3在点A处的切线斜率是ki = y 'x=o = 4，在点B处的切线斜率是k2=y 'x= 3 = 2.因此，抛物线过点A的切线方程为y = 4x 3，过点B的切线方程为y = 2x+ 6.y = 4x 3 ,33设两切线相交于点M，由y = 2x+ 6消去y，得 x = 2,即点M的横坐标为I-33在区间0，2上，曲线y = 4x 3在曲线y = x2 + 4x

6、3的上方；在区间：，3上，曲线y= 2x+ 6在曲线y = x2 + 4x 3的上方.因此，所求的图形的面积是E=J7（4h3） （ /+ 4r的匸工+2 工 +6） （£+ 4工一3）Id j=Tcdh+ Ja （工爼一G9） d j9 , y9884 【总结与反思】 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.考点三定积分在物理中的应用1例3 一物体做变速直线运动，其V t曲线如图所示，则该物体在2 S6 s间的运动路程为2t0 wt <12 1 <t <3【规范解答】由题图可知，v(t)=1t + 13 < <631因此该物体在2s6s间运动的路程为j*2山(+ t+ 1 )山= #11+ (yf+ » It =Y (n)【总结与反思】定积分在物理方面的应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所做的功.课程小结1 .用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F'(x) = f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与F(x).求原函数运算互为逆运算的关系