2.1-,+一阶常微分方程ppt课件

1、例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数

2、以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .分类分类1: 1: 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数. ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶(n)(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:2:分类分类3: 3: 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解微分方程的解:

3、:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. . ,)(阶阶导导数数上上有有在在区区间间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通通解解(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. .解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线

4、微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程

5、和和将将xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:( ) ( )dyf x g ydx 解解法法: :2.两边同时积分两边同时积分:1( )( )dyf x dxcg ydyxdxy 例例解

6、解微微分分方方程程,ydyxdx 分分离离变变量量得得22111,22yxC 两两边边积积分分得得22, xyc即即dyf xydggxy1( )0( )( ) 分分变变量量1 1离离: :. .求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解积积分分 Cxy 2|ln, , 或写为或写为 2eexCy , , 记记 CCe1 , , 可简写为：可简写为：分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 积分积分 Cxylnln2 , , 则则通通解解为为 2exCy . . 例例100Cy() 时时，解解ydxxx dy2(4 )0 例例 求求的的通通解解xxydxdydxdyxxyxxy

7、2:4,0,01 111,()444 解解时时分分离离变变量量得得, ,即即11,(ln|ln|4|ln)ln|4xxCy两两边边积积分分 得得4:(4),x yCxC 通通解解即即为为其其中中 为为任任意意常常数数 求求方方程程0d)ee (d)ee ( yxyyxxyx的的通通解解. . 解解两两边边积积分分: : Cxyln)1eln()1eln( , , 即即所所求求通通解解为为 Cyx ) 1e)(1e (. . 例例 例例. . 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始

8、条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y2.可化为分离变量的某些方程可化为分离变量的某些方程)(ddxyxy(1). 齐次方程 形如令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 例例 解微分方程解微分方程.tanxyxydxdy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu

9、 sin即故原方程的通解为xCxysin( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 为任意常数 )例例求求方方程程 0)()( yxyyx 的的通通解解. . 解解原原方方程程变变形形为为 xyxyxy dd 11 xyxy, , 作变量代换作变量代换 xyu , , 代代入入原原方方程程得得 11dd uuxuxu, , 分分离离变变量量得得 xxuuudd112 , , ,xuy ,ddddxuxuxy 是齐次方程是齐次方程, ,积分得积分得 Cxuu |ln)1ln(21arctan2, , 或写成或写成 uCuxarctan12e1 , , 再将再将xy

10、u 代入代入, ,得通解为得通解为 分分离离变变量量得得 xxuuudd112 , , xyCyxarctan122e 例例. 解微分方程解微分方程yxyxdxdy解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x11ydyxydxx此为齐次方程，令此为齐次方程，令yux21 21duuuxdxu分离变量，再两边积分分离变量，再两边积分22211 2uuC x将将u带回得带回得222(2)1Cxxyy22yyxyx 例例求求方方程程的的通通解解ydyduuyuxuxxdxdx 解解：令令，即即则则21duuuxdxu 2()1uxduu dxu 11ududxu

11、x 1ln| ln|uuxc 积积分分1ln|uuxc1ln|yycx通通解解：220(0)yxydxxdyx 例例 求求方方程程( () )的的解解2:1()dyyydxxx 解解 方方程程为为,yuyuxux 令令则则代代入入并并化化简简得得21uxuuu ,分分离离变变量量 并并积积分分得得2ln(1)lnln(0)uuCxC ,yux 将将代代入入化化简简得得222()yxyCx )(ddcbyaxfxy(2). 型方程作变换作变换cbyaxzzdyababf zxdxd( )d例例. 求方程求方程 的通解的通解2)(yxdxdy解：令解：令 那么那么zxy2dd11ddzyzxx 得

12、方程通解为得方程通解为arctan zxC将将 代回得原方程通解代回得原方程通解zxyarctan()xyxC(3) 形如形如 iiia xb ycdyfaidxa xb yc111222.1,2 , ,b b , ,c c 为为常常数数, ,c22 2 21 1当当c c0 0时时: : abab11220 i i a xb yca xb yc11122200 xy00,有有唯唯一一解解uxx vyy00, 令令a u bvdvfu vdua u b v1122, 则则这这是是关关于于的的齐齐次次方方程程. . cx y20, 1 1当当c c时时为为的的齐齐次次方方程程- - - -形形

13、1 1 . .abb1120, 当当= =0 0时时, ,由由 = =0 0, ,= =0 0a xcyfa xc1122 cabyfa xb yc111222. 当当= =0 0时时, ,方方程程为为 abab11220 i ii i aba bk a b1122110, 当当时时, ,记记za xb y11 令令zcdzdyabab fdxdxkzc111112 则则 aba1120, 当当0 0时时, ,由由 = =0 0, ,= =0 0b ycyfb yc1122 13dyxydxxy. 例例求求的的通通解解解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh.

14、2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量、积分得分离变量、积分得XuuC22(21), ,222CXXYY 即即代代回回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy 方程变为方程变为3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程yP x yQ xxd( )( )(1)d 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2tt

15、xtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.线线性性：关关于于未未知知函函数数 及及其其导导数数 都都是是一一次次的的yy齐次线性方程齐次线性方程0)( yxPy ( (1 1) ) )()(xQyxPy ( (2 2) ) 1 1、方程、方程(1)(1)的任意两个解的和仍是的任意两个解的和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；3 3、方程、方程(1)(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)(2)的任意一个的任意一个解是解是(2)(2)的解；的解；4 4、方程

16、、方程(2)(2)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(1)(1)的解的解 . .线性方程解的性质线性方程解的性质非齐次线性方程非齐次线性方程. yYy设设)(xy 是是方方程程( (2 2) )的的一一个个特特解解, , )(xY是是(1)的的通通解解, , 那么方程那么方程(2)(2)的通解的通解为为. yYy设设)(xy 是是方方程程( (2 2) )的的一一个个特特解解, , )(xY是是(1)的的通通解解, , 那么方程那么方程(2)(2)的通解的通解为为de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通

17、解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解设设)(),(21xyxy 分分别别是是非非齐齐次次方方程程 则则)()(21xyxy 为为非非齐齐次次方方程程 )()(1xfyxpy 的特解的特解, ,线性方程解的叠加性质线性方程解的叠加性质和和)()(2xfyxpy )()()(21xfxfyxpy 的一个特解的一个特解. . . 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyyln|( )dln,yP xxC 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号

18、 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . dyQ x dxP x ydx( )( ) dyQ xdxP x dxyy( )( ) 形式求积：形式求积：Q xydxP x dxy( )ln( ) Q xdxP x dxP x dxyyeeu x e()()()( )1 记记为为（ ）的的形形式式解解形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必形式求解的结果给了我们重要启示：若方程有解，其解必() ( ) 。然然因因如如的的数数此此是是形形函函P x dxu x eddyP x yQ xx2()() 、 求求的的 解解 先来观察，假设先来观察，假设1有解，其解

19、形状如何？对方程作形有解，其解形状如何？对方程作形式式求解：将求解：将1改写成改写成P x dxuxQ x e() ( ) ( ) 即即 P x dxu xQ x edxc()( )( )(*) 所所以以，代代入入得得 P x dxP x dxyQ x edxc e()()( )(1) 所所以以方方程程的的通通解解 P x dxP x dxP x dxyQ x edx ece()()()( ) 或或 上述解方程的方法，叫做常数变易法，用于求解线性非齐上述解方程的方法，叫做常数变易法，用于求解线性非齐次方程。次方程。 P x dxP x dxP x dxP x dxyux eu x eP x d

20、xux ep x u x e( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) 则则P x dxP x dxP x dxux ep x u x ep x u x eQ x( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) P x dxyu x eu x( )( )(1)( )(*) 设设是是的的解解 其其中中待待定定 将将 y 和和 代入代入1）：）：y 齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即( )0,yp x y 1 1. .对对于于一一阶阶线线性性分分离离变变齐齐次次方方程程量量

21、法法解解得得( )()p x dxycec 为为任任意意常常数数yP x yQ x( )( ) 非非齐齐次次微微分分求求一一阶阶线线性性的的方方程程解解的的方方法法: :2.常常数数变变易易法法 求求相相应应非非齐齐次次方方程程的的解解, ,设设其其解解为为: :( )( )()p x dxyu x eu 为为待待定定函函数数3.代代入入原原非非齐齐次次微微分分方方程程解解得得其其通通解解为为P x dxP x dxyeQ x edxcc( )( )( )() 为为任任意意常常数数32(1)1yyxx 例例求求的的通通解解 2101yyx 、求求的的通通解解21dydxyx 2ln| 2ln(

22、1)lnln| ln (1)yxcycx 即即2(1)ycx通通解解为为解：解：22(1)yux 、设设是是原原方方程程的的解解，则则2(1)2 (1)yuxux 23(1)2 (1)2 (1)(1)uxuxuxx 代代入入方方程程：21(1)2uxc 221(1)(1)2yxcx 原原方方程程的的通通解解也可以直接代公式求解也可以直接代公式求解32(1)1pqxx , ,22ln|1| ln(1)pdxxx 3221(1) (1)(1)(1)2pdxqedxxxdxx dxxc pdxpdxyqedxc excx221(1)(1)2 方方程程通通解解： (1)ux 得得30()0|1xydx

23、xydyy 例例 求求 方方 程程 特特 解解 ：解：若将方程写为解：若将方程写为30yyxy 它显然不是线性方程，将方程改写作它显然不是线性方程，将方程改写作30dxxydyy ( )( )xp y xq y 那那么么上上式式形形如如：的的线线性性微微分分方方程程24111(),4pdyp y dydyqedyyydyycy 因因 431111 11()()44pdypdycxeqedycycyyy 于于是是由由公公式式得得414(4)xyyc cc 或或 21dxxyxydyy 即即，将将看看作作是是的的函函数数4104(4 )|11xxyyc ccyc 通通解解为为：。以以代代入入，得得，441.xyy 特特解解320( )( )( ),( )3xxtf xf xfdtef x 例例 已已知知连连续续函函数数满满足足条条件件求求解：因解：因“”右端均为可导函数，故左端也可导，两边右端均