第二节直线与椭圆的位置关系(一)复习讲义

1、第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确】方向比勢力更重要t复习目标学法指导1.直线与椭圆相切1.直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热问题.点.这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的2.直线与椭圆相交基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题问题因此分析问题时利用数形结合思想来设而不(1)交点个数.求,或与弦长公式及韦达定理联系去解决.(2)相交弦问题.2.解析几何题目部分都以方程形式给定直线和3.直线与椭圆的对圆锥曲线，因此相交的弦长问题利用韦达定理称问题.进行整体处理，将简化解题运算量.*把散落的知识连起来和-知识链条完善一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2.

2、 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m，联立k=2kx 1m；2 2得关于Jb X +a y =a bx 的方程(b2+a2k2)x2+2kmax+a2(m2-b2)=0,则有 直线与椭圆相交？有两个交点？ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？ AeO,直线与椭圆相离？没有交点？ ASO.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联 立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系， 解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有

3、一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线 与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论(1) 若P0(X0,y0)在椭圆匚+ £=1上,则过PO的椭圆的切线方程是a b子+罟=1.若P0(X0,y 0)在椭圆C + bl=1外,则过点Po作椭圆的两条切线，切点为R,P2,则切点弦PR的直线方程是 竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法)_22(1)设直线y=kx+m与椭圆务+書=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得

4、关于y的一元二次方程 )；(4) 由韦达定理得 X1+X2,X !_ X2的值(或yi+y2,y丄-y2的值);(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型_ 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆务+占=1的交点为A(xi,y i),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得kAB,弦长公式 d=/rnr |X1-X2|=/+右 |y 1-y 2|.3. 点差法n型(弦AB的中点为(a,b) (1)设交点坐标为 A(x,y),B(2a-x,2b-y);把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算

5、量较大，运算应细 心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法.设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题， 基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论 _ 2 2(1)AB是椭圆务+占=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo,y 0)为AB的中点, a b则 kOM kAE=- 2 ,即 kAB=- b xa2yo ' 若Po(Xo,yo)在椭圆匚+必=1内，则被Po所平分的中点弦的方程为a ba2 2xox + yoy =xo + yo a b a b解析：设过点P(2,1)且被点P平分的椭圆的弦为AB,A(Xi,yi

6、),B(x 2,y 2),则有 Xi+X2=4,y i+y2=2,又因为A,B两点均在椭圆上, 所以x2+4y2=16, x；+4y；=16,两式作差得(x 1+X2)(x 1-x 2)+4(y 1+y2)(y 1-y 2)=0,所以 y1 y2 =- X1 +x2 =-1,X1 -X24(y1 +y2)2 '即弦AB所在的直线的斜率为-1,由直线方程的点斜式可得直线方程2为 y-1=- 1 (x-2), 整理得 x+2y-4=0.2.若直线y=kx+1与椭圆艺+工=1总有公共点，则m的取值范围是5 m(A)m>1(B) m>0(C) 0<m<5且 m 1(D)

7、m> 1 且 m 5解析:由5|mx +5y -5m =0,消去 y 整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意知 =100k2-20(1-m)(5k 2+m)> 0 对一切 k R恒成立,即5mk+n2hm0对一切k R恒成立,由于m>0且m 5,所以m> 1且m 5.故选D.23. F1,F2是椭圆亍+y2=1的左、右焦点，过F2作倾斜角为亍的弦AB,则RAB的面积为(C )(A#(B)1(C) 4(D)2解析：设 A(X1,y 1),B(x 2,y 2),由已知得AB的方程为y=x-1.代入椭圆方程得3x2-4x=0, 贝J X1+X2=4,X

8、1X2=0.3所以 |x 1-X 2|= 4,|y 1-y2|= 3.所以 SJjAB = S 护2 + S 底1F2= 1|FiF2|y i-y2|=43故选C.4. 已知A,B是椭圆3x2+y2=m(m>0上不同两点，线段AB的中点为N(1,3),则m的取值范围为,AB所在的直线方程解析：由题意,N(1,3)在椭圆3x2+y2=m(m>0内 ,所以 3X 12+32<m得 m>12.又由点差法得直线AB斜率为k=-1, 所以AB所在的直线方程为x+y-4=0.答案:(12,+ X)x+y-4=0高频考点突破T在训练中掌握方法k考点一直线与椭圆的位置关系及弦长问题 _

9、 2 2【例11 (1)已知直线l:y=2x+m,椭圆C:：+专=1,试问当m取何值时,直线I与椭圆C： 有两个不重合的公共点； 有且只有一个公共点； 没有公共点.2 求直线l:x-y+b=0被椭圆l+y2=1所截得的弦MN的长度的最大值.3解:(1)将直线I的方程与椭圆C的方程联立,W =2x +m,(i)得方程组'x2 y2将(i)代入(ii),整理得 9x2+8mx+2m4=0,(iii)方程(iii)根的判别式 =(8m)2-4 x 9x (2m-4) =-8m + 144. 当 >0,即-3 72<m<32时,方程(iii)有两个不同的实数根，可知原方程组有

10、两组不同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个不重合的公 共点/、八、 当 =0,即m=± 372时,方程(iii)有两个相同的实数根，可知原方 程组有两组相同的实数解.这时直线I与椭圆C有两个互相重合的公 共点,即直线I与椭圆C有且只有一个公共点. 当 <0,即mv-372或m>32时,方程(iii) 没有实数根，可知原方程 组没有实数解.这时直线I与椭圆C没有公共点.设 M(X1,y 1),N(x 2,y 2),将x-y+b=0与v+y2=1联立，得3G _y +b =0,'X2 + 2b+y H,消去 y 得 4x2+6bx+36-3=0,x1+x2=-|b,x

11、1x2=3bf32 a由 >0 得-2<b<2,又|MN|=时 |x 1-X2|= J|(4b2),故当b=0时,|MN|的最大值为76.囁圍甸觀(1)直线与椭圆公共点个数的讨论，是直线与椭圆位置关系 等其他问题的基础.(2) 依据直线与椭圆的交点个数，求参数时,联立方程并消元得到一元二次方程,将方程解的个数转化为判别式与 0的大小关系求解.(3) 当直线斜率存在时，则可用弦长公式求弦长.1.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.2 2解：(1)由 fx +y T|y =x +m

12、得 5x2+2mx+m1=0.因为直线与椭圆有公共点， 所以 =4n2i-20(m2-1) > 0, 解得-逅< nK逅.2 2所以m的取值范围是-乎，f 设直线与椭圆交于A(Xi,yi),B(x 2,y 2)两点,由(1)知 5x2+2mx+m1=0.由根与系数的关系，得Xi+X2=- 2m ,x 1X2=- (m2-1).55所以被椭圆截得的弦长d= J(xi _X2)2 +(yi _y2)2J2(x,2)=炉上(m2_1)| V 125 5'J所以当m=0时,d最大，此时直线方程为y=x., 2 22.(2018 衢州模拟)已知椭圆冷+_y=1(a>b>0

13、)的一个顶点为B(0,4),a b离心率e=f,直线l交椭圆于M,N两点.5(1)若直线I的方程为y=x-4,求弦MN的长;如果 BMN勺重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线I方程的一般式. 解:(1)由已知得b=4,且c =袞a 52,2.2.即 Cr = 1,所以 a- = 1,a 5a 5解得a=20.所以椭圆方程为款討.将 4x2+5y2=80 与 y=x-4 联立, 消去 y 得 9x2-40x=0,所以 Xi=0,X2=40,9所以所求弦长 IMNIFRIx 2-x i|=椭圆右焦点F的坐标为(2,0),设线段MN的中点为Q(x0,y 0),由三角形重心的性质知BF=2fQ,又 B(0

14、,4),所以(2,-4)=2(x o-2,y o),即 p =2(xo 2),p =2yo,故得 xo=3,y o=-2,即Q的坐标为(3,-2).设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),贝J X1+X2=6,y 1+y2=-4,22 2 2且乞+yL=1 x_+里=120 16 20 16(xi +x2)(xi _X2)亠(yi +y2)(yi -y2)=o以上两式相减得2016所以 kMN=yy二-Xt X2546 _6 z =5-45故直线MN的方程为y+2=5 (x-3).即 6x-5y-28=0.考点二椭圆中弦的相关问题2【例21 (1)求直线l:x-y+b=o被椭圆B+y2=

15、1所截得的弦MN的中点3轨迹方程. 已知点A(0,-1),能否找到一条直线l:x-y+b=0与椭圆筹+y2=1交3于两个不同的点M,N,使得AMl an,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设 M(xi,yi),N(x 2,y 2),MN的中点P(x,y),直线x-y+b=0与椭圆y+y2=1联立得ix -y + b =0,卜宀1,消去 y 得 4x2+6bx+3b2-3=0,由 >0 得-2<b<2,又 Xi+X2二-b,2X= X1 +x2 =- 3 b- 3 <x<-24'22 y= yi +y2 = xi +x2 +2b = by

16、2 24 消去参数 b,得 y=-1 x(- - <x<3).3 22所以弦MN的中点的轨迹方程为y=-3x(-l<x<l).(2)设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),卜一y +b =0, 由"消去 y 得 4x2+6bx+3t2-3=0,所以 xi +x2=- |b,xi X2=3(bm.4又因为AMI an,所以 aM AN =0,即(xi,y i + 1) (X2,y 2+1)=0,又因为 yi=xi+b,y 2=X2+b,2故 2xiX2+(1+b)(x i+X2)+b +2b+1=0,整理得 2b2+b-1=0,所以b=-1或b=l.2当b

17、=-1时，直线过A(0,-1),不符合题意， 所以当b=l时,存在满足题意的直线I.醵虑函吗(1)直线与椭圆相交，常设一些中间变量而并不解出这些变 量,利用这些变量架起已知量与未知量之间的桥梁，从而使问题得到 解决,这种方法称为设而不求法，点差法和消参法都是设而不求法的 一种,注意使用这些方法.直线与椭圆相交，与弦相关的垂直、夹角问题，可考虑引入向量， 利用向量的坐标运算能简化一些繁杂的运算设椭圆C：xl + yl=l(a>b>0),左、右焦点分别为Fi,F2,上顶点为D,离心 a b率为逅，且df1 - df2 =-2.3(1)求椭圆C的方程; 设E是x轴正半轴上的一点，过点E任

18、作直线I与C相交于A,B两 点'如果命诗是定值'试确定点E的位置'并求&DAE - 2的最大 解:(1) DF1 - dF2 =a-2c =-2,又 £=逅，易得 a(m2 -6)2(i+t2)所以m=3,它满足 >0,所以E（乔,0）.这时 D(0, Qy 1+y2=-譌,y y二趕,& DAE- & DBE=3(K'令 U=72t+ 声,则 Sa DAE Sa db=-f= u 2阪 +9 =3 < 9=6,c2=4,b2=2, a 3所以椭圆C的方程为xl+r=1.6 2设AB的方程为x=ty+m,F+3y2=

19、6,所以(t 2+3)y2+2tmy+n2-6=0.X =ty +m,所以 yi+y2=-驾,yi y2=葺， 所以宀+宀=1 c|EAf |eb| 1 +t yi y2=1 (yi + y2)2 -2yiy2(yy)2= (2m2 4i2)t2 _6(m2 _6)2 2【例31已知椭圆C的方程为7 + 2=1,试确定m的取值范围，使得椭4 3圆C上有不同的两点关于直线l:y=4x+m对称.解：法一 设椭圆上A,B两点关于直线l对称，且直线AB交l于M, 则由已知可设直线AB的方程为y=-2x+n.fy =4x +m,解方程组1Pr+n,得 xmfA (n-m).I 1y =-X 卄, 由2l

20、4消去 y,得 13x2-8nx+16n2-48=0,(*)所以 Xm二gxirn,213所以 4 (n-m)= ±n, 即n二-空m.4又A,B在椭圆上, 所以(*)中 =64n2-4 X 13(16n2-48)>0.即 4n2<13,所以4X宜mv13,16所以-还vm<.1313即m的取值范围为（-还，）.1313法二 设A,B关于直线l对称,且直线AB交l于M, 则由已知可设直线AB的方程为yxmly =4x +m,解方程组41 ,y =X十n,I 4得 xM= A (n-m).!y=_1x+n,由2 jil4322消去 y,得 13x -8nx+16n -

21、48=0,所以XM二止二空，213所以 4 (n-m)= ±n,即n二-兰m.4413所以卜祐咒(-4m)=s,屮=-3m.即 M(-m,-3m).因为A,B在椭圆上，所以M在椭圆内,2 2所以 yL + UmLv1,43解得-迹vm<.1313即m的取值范围为(-还，还).1313法三 设 A(Xi,yi),B(x 2,y 2),AB与I的交点M(xo,y o),22则_+虫=1,432 23 X Xi +x24 yi +y2手+号=1.-得g2 =X1 -X23xo4yo14 ,所以yo=3xo. 又 M l,所以 yo=4xo+m,联立解得M(-m,-3m).因为A,B在

22、椭圆上，所以M在椭圆内，2 2所以 TL + cmLv1,43解得-空vm空.1313即m的取值范围为(-迹，迺).1313原邇題刖椭圆上有A,B两点关于直线l对称，可转化为三个已知条 件：(1)直线AB丄直线I,即kAB ki=-1;(2)由弦AB的中点在直线I上,即求得弦AB中点坐标代入直线I方程，方程成立;(3)点A,B在椭圆上, 即设点A(xi,yi),B(x 2,y 2),则点的坐标代入椭圆方程成立，从而可用点差法解题.2Q(2018 台州模拟)已知椭圆x,+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+1 对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求 AOB面积的最大值(O为坐标原点)

23、.解:(1)由题意知m 0,可设直线AB的方程为国 +y2 =1,y=- -x+b.由 J2 m|y =-x +b,I m消去 y,得（-+）x2-空x+b2-1=0.2 mm因为直线y二-丄X+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点，所以m2 J=-2b2+2+电 >0,m2 22m将AB的中点皿(輕,空)代入直线方程y=mx+1,解得b=- m +2m +2 m +22由得mv-墮或m.33 令 t= 1 (-空,0) U(0,逻)，则 t2 (0, 3).m222则 |AB|= E -4且0到直线AB的距离为d=X.Jt2 +1设 AOB勺面积为S(t),所以 S(t)= 1 |AB|

24、 d=1 /-2( 一2)2 +2 < 普,当且仅当t2=1时,等号成立，2此时满足t2 (0, 1).故AOB面积的最大值为壓.2考点四 椭圆中与三角形相关的问题【例4】 已知椭圆0匚+ Z=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率a b为乎，直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;当 AMN的面积为姮时，求k的值.3解:(1)由已知条件得 a=2,e=c=,c= 7i,b= Ti, a 22 2故椭圆C的方程为尹円.y=k(x 1),设 M(xi,y i),N(x 2,y 2),则由長2 V4+厂1消去 y 得(1+2k2)x2-4

25、k2x+2k2-4=0.因为直线y=k(x-1)过椭圆内的点(1,0), 所以直线y=k(x-1)与椭圆C恒有两个不同交点，由根与系数的关系得”*侖心2=冷2 22 ,x 1X2二矢二！,Saam=1 X 1 X |y 1-y 2|=1 X |kx 1-kx 2|_ k I 2=牙 J(X1 +X2)2 4XiX2=kl X Jl6+24k221 +2k2一，即 7k4-2k2-5=0,解得 k=± 1.阪堰鬼画(1)椭圆中涉及三角形面积可考虑用S=! X底X高求面积，这时三角形底一般是直线与椭圆相交弦的长，用弦长公式求得，高一 般用点到直线的距离公式求得；(2)求三角形面积时，可根

26、据具体问题选择便于求出底边长及高的情况进行求解，这也是求三角形面积应注意的问题；(3) 四边形面积可以通过分割的方法转化为求三角形的面积解题规范夯实f在平凡的事情上»益球精£直线与椭圆相交弦问题2【例题】已知椭圆G：24+y2=i.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线I交椭 圆G于A,B两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.解:(1)由已知得a=2,b=1,所以c_7aub_才姣.所以椭圆G的焦点坐标为(-庐,0),( 73,0), 离心率为e_E_富.a 2(2)由题意知|m| > 1.当m_1时,切线I的方程为x

27、_1,点A,B的坐标分别为(1, ¥),(1,-容),此时 |AB|= 73.当m=-1时，同理可得|AB|= 73.当|m|>1时，设切线I的方程为y_k(x-m).y =k(x _m),由"+2 4 4+y rn得(1+4k2)x 2-8k 2mx+4km-4_0.设A,B两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则2X1+X2_-8k2,1 +4k2 '2 2X1X2_4k.1 +4k又由I与圆x2+y2_1相切，得理_1,Vk +1即 mk2二k2+1.所以 |AB|_ J(X2 -X1)2 +(y2 -yj2 = Q(1+ k2) (X

28、1 +x2)2 7X1X264k4m2722T4(4k m T) I1 +4k2J _473|m| =m2 +3 .由于当m_± 1时,|AB|_晅也适合上式， 所以 |AB|_ 熾，m (- 乂 ,-1 U 1,+ 乂).因为|AB|= 空凸二 心 < 2,且当m=±庐时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为2.解题规范可规范要求:(1)求离心率e,要紧扣其定义e=-.a 联立方程组，利用根与系数的关系、弦长公式求解是此类问题的常 用解法.温馨提示：解答本题时易忽略的步骤(1)对m的范围不作出判断. 判断出m的范围后不去分m=-1,m=1,|m|>1进行讨论

29、.化简|AB|= 啤时，易忽略m的范围而化简|AB|=啤m +3m +3(4) 对|AB|的最值求法不会使用基本不等式变形求最值.对于直线与椭圆的综合问题，因为其综合性强，运算量大,能力要求较 强,注意平时训练要严谨，以提高综合解题能力.2 2【规范训练】(2018 天津卷)设椭圆笃+書=1(a>b>0)的左焦点为F,a b上顶点为B.已知椭圆的离心率为 逅，点A的坐标为(b,0),且3|FB| |AB|=6 72.(1)求椭圆的方程； 设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且I与直线AB交于点Q.若PQAQ -5返sin / AOQ(为原点),求k的值.

30、4解:(1)设椭圆的焦距为2c, 由已知有<=9,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得，|FB|=a,|AB|=#b,由 |FB| |AB|=6 匹,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.22所以椭圆的方程为+-=1.94解设点P的坐标为（xi,y 1）,点Q的坐标为（X2,y 2）.由已知有yi>y2>0, 故|PQ|sin / AOQ=yy2.又因为|AQFsdOAB,而/OA呻 所以 |AQ|= 72 y2.由 二矩Sin / AOQ可得 5y1=9y2.|PQ|4J Jy =kx,由方程组x2 y2消去x,可得y1二了二.易知直线AB的方程为x+y-2

31、=0,由方程组P ：kx，X +y 2 =0,消去X,可得y2二生.J k +1由 5yi=9y2,可得 5(k+1)=3 掐k有?,2两边平方,整理得56k -50k+11=0,解得k=1或k=-.2 28所以k的值为丄或耳.2 28/在球习中依会学习的乐趣*-课堂类题精练h类型一 直线与椭圆的位置关系问题1.已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上，且右焦点到直线 l:x-y+2 #=0的距离为3,则椭圆的方程为_2解析：由已知b=1,设椭圆方程为4+y2=1(a>1),右焦点坐标为F(c,O),因右焦点到直线l的距离为3,C _0 +22所以=3,彳得 c= ea =3.2则

32、椭圆方程为L+y2=1.3 '2 2答案：l+y=13 J类型二 直线与椭圆的弦长问题2.已知以Fi(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+73y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C )(A)3 罷 (B)2 76(C)2 打 (D)4 罷, , 2 2解析:根据题意设椭圆方程为 士+*=1(b>0),b +4 b则将X=- 73y-4代入椭圆方程，得 4(b2+1)y2+8乔b2y-b4+12b2=0.因为椭圆与直线x+73y+4=0有且仅有一个交点, 所以 =(8 73b2)2-4 X4(b2+1) (-b 4+12b2)=0,即(b2+4)(b 2-3

33、)=0,所以b=3,长轴长为2 Jb2 +4 =277.故选C.3. 斜率为1的直线I与椭圆£+y2=1相交于A,B两点，则|AB|的最大值(A)2(B)空(C)竺2(D)迺555解析：设A,B两点的坐标分别为(xi,yi),(x 2,y2),直线l的方程为y=x+t,2 . 2由 Jx +4y =4,消去 y,得 5x2+8tx+4(t 2-1)=0, J =x +t,贝J X1+X2=-8t,X 1X2=4(t 一1).55所以 |AB|= Ji +k2 |x 1-x 2|=J +k2 /xt +X2)2 i4x1x!=72 再二平誓 E,V 555当 t=0 时,|AB| maF4顶54.已知椭圆：+x2=1,过点P(,丄)的直线与椭圆相交于A,B两点，且922弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(B )(A)9x-y-4=0 (B)9x+y-5=0(C)2x+y-2=0 (D)x+y-5=02解析：设A(X1,y 1),B(x 2,y 2),因为A,B在椭圆£+x2=1上，所以*92+X12 =1,92里+x；=1,l922y1 y2 亠