第5章 微分方程与差分方程

1、重点：微分方程的解法重点：微分方程的解法难点：建立微分方程模型难点：建立微分方程模型5.1 微分方程基础微分方程基础 5.1.1 实际背景实际背景 建立这一问题建立这一问题的数学模型如下：的数学模型如下：微分方程微分方程初值条件初值条件 指数增长模型指数增长模型 设人口数量设人口数量n(t)的增长速度与的增长速度与现有人口数量成正比现有人口数量成正比, 求求n(t). (p235)(p235) 设开始时人口数量为设开始时人口数量为n0, ,年增长率为年增长率为r, ,建立这一问题建立这一问题的数学模型如下：的数学模型如下：微分方程微分方程初值条件初值条件 5.1.2 基本概念基本概念 定义定义

2、 凡含有自变量、未知函数及其微商凡含有自变量、未知函数及其微商( (或或微分微分) )的方程的方程, ,称为称为微分方程微分方程. . 未知函数是一元函数的微分方程称为未知函数是一元函数的微分方程称为常微分常微分方程方程, ,否则称为否则称为偏微分方程偏微分方程. . 本书只讨论常微分方程，以后所说的微分方本书只讨论常微分方程，以后所说的微分方程都是指常微分方程程都是指常微分方程. . 微分方程中未知函数微商的最高阶数称为微分方程中未知函数微商的最高阶数称为微微分方程的分方程的阶阶.线性微分方程线性微分方程 未知函数未知函数及其各阶及其各阶微商都是一次的微分方微商都是一次的微分方程称为程称为线

3、性微分方程线性微分方程. . 回答这个问题并不重要回答这个问题并不重要, , 重要的是要会求解重要的是要会求解它它, ,它可变形为它可变形为微分方程的解微分方程的解 微分方程的微分方程的解解是指是指能使微分方程成为恒等式能使微分方程成为恒等式的已知的已知函数函数. . 微分方程的微分方程的通解通解：含有：含有 n 个相互独立的任意个相互独立的任意常数的解常数的解, ,其中其中 n 是微分方程的阶数是微分方程的阶数. .初值条件初值条件：确定通解中：确定通解中 n 个任意常数的条件个任意常数的条件. .微分方程的微分方程的特解特解：满足初值条件的解：满足初值条件的解. . 5.2 一阶微分方程一

4、阶微分方程 5.2.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形如形如dydx= h(x)g(y)的微分方程称为的微分方程称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5.2.2 齐次齐次( (微分微分) )方程方程 12ln(u2 + 1) + arctanu = lnx + lnc 12ln(u2x2 + x2) + arctanu = lnc 练习练习 求初值问题求初值问题 y = + , y(1) = 2的解的解. .xyyx5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程微分方程微分方程.解法：先求解相应的解法：先求解相应的齐次线性微分方程齐次线性微分方程分离变量分离变量, ,得得

5、两边积分后两边积分后, ,得得由此得由此得常数变易法常数变易法由此解出由此解出一阶线性微分方程的求解技巧一阶线性微分方程的求解技巧 这种方法的优点是无需记公式，而且比公式这种方法的优点是无需记公式，而且比公式法的计算量小法的计算量小.练习练习 解下列微分方程解下列微分方程可化为一阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程 分析分析 这种类型微分方程的特点是这种类型微分方程的特点是, ,其中有一其中有一个变量是一次的个变量是一次的. . 令令 x = c(y) y 代入代入( (* *) )得得原方程的通解为原方程的通解为x = y3/2 + cy.贝努利方程贝努利方程( (p246-247)p246

6、-247)5.2.4 微分方程的应用微分方程的应用( (连续模型连续模型) ) 微分方程在实际中的应用是十分广泛的微分方程在实际中的应用是十分广泛的. . 如何把实际问题转化为微分方程模型？大多如何把实际问题转化为微分方程模型？大多数情况下所研究的变量是随时间而变化的数情况下所研究的变量是随时间而变化的, ,建立建立微分方程模型的关键微分方程模型的关键, ,是要弄清楚该变量的是要弄清楚该变量的变化变化率率( (微商微商) )与该变量之间的关系与该变量之间的关系. . 在求解微分方程时在求解微分方程时, ,要注意其初值条件要注意其初值条件. . 求解得到结果时，一般要解释结果的实际意求解得到结果

7、时，一般要解释结果的实际意义义. . 例如例如指数增长模型指数增长模型比较适用于比较适用于短期预测短期预测, ,而而不太适用于长期预测不太适用于长期预测, ,因为当时间变量趋于无穷因为当时间变量趋于无穷大时，所研究的变量趋于无穷大大时，所研究的变量趋于无穷大, ,这与实际是不这与实际是不相符的相符的. .阻滞增长模型阻滞增长模型( (logistic模型模型) ) 这就是非常著名的这就是非常著名的 logistic 增长模型增长模型( (即阻滞增长模即阻滞增长模型型).).阻滞增长模型用途十分广泛阻滞增长模型用途十分广泛, ,除了用于预测人口增除了用于预测人口增长外长外, ,也可完全类似地用于

8、虫口增长、疾病的传播、谣也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等言的传播、技术革新的推广、销售预测等. .药物总量模型药物总量模型 这类模型研究在一个容器内物质总量随时间这类模型研究在一个容器内物质总量随时间而变化的情况而变化的情况, ,目标是测定某一时刻物质在容器目标是测定某一时刻物质在容器内的总量内的总量. .依据是依据是物质总量的变化率等于物质进物质总量的变化率等于物质进入容器的速率减去物质离开容器的速率入容器的速率减去物质离开容器的速率.(.(p249) p249) 5.3 二阶微分方程二阶微分方程 5.3.1 可降阶的二阶方程可降阶的二阶方程代入

9、原方程代入原方程, ,然后求解一阶微分方程然后求解一阶微分方程可降阶的二阶方程可降阶的二阶方程 解得解得c( x) = 2x2 + c, 从而从而 p = 2x + c/x.可降阶的二阶方程可降阶的二阶方程 积分得积分得 arctany = x + c, 由由 y(1) = 0得得 y = tan(x 1)5.3.2 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 代入代入( (* *) )得得为了简便为了简便, ,取取 u = x, ,则则是是(

10、 (* *) )的通解的通解. .二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程的通解 练习练习 解下列方程解下列方程 y 2y 3y = 0 y + 2y + y = 0 y + 2y + 5y = 0二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 5.4 差分方程差分方程 5.4.1 差分方程基础差分方程基础5.4.2 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 形如形如5.4.3 二阶常数线性差分方程二阶常数线性差分方程 二阶常系数非齐次线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程 5.4.4 差分方程的应用差分方程的应用( (离散模型离散模型) ) 令令yn = 0得得离散阻滞增长模型离散阻滞增长模型 第第5章章 重要概念与公式重要概念与公式通解通解, ,特解特解, ,线性线性, ,差分方程差分方程一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 齐次微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程二阶微分方程的解法二阶微分方程的解法