34定积分的积分方法

1、第一类换元（凑微分法 ）5540 xx edx 例例55555312500111|(1)555xxedxee 原原式式55225022001111ln(1)|ln2622211xdxdxxxx例例同不定积分的凑微分法一样20sin 1cosxdxx 求求解解20sin1cosxdxx 20sin1cosxdxx 201(cos )1cosdxx 0arctan(cos )x ()44 2 43)ln1(lneexxxdx 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex 6 定理定理 （2 2）函

2、函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当t在在区区间间, 上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在,ba上上变变化化，且且a )( 、b )( ， 则则 有有( ) ( )( )baf x dxftt dt . . 换元公式注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.证证设设)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(afbfdxxfba ( )dftdf dxdtdxdt )()(txf ),()(ttf ( )( ) ( ) ( )ftt dtff ( )ft 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数. ( )xt (

3、 ), ( ),ba 又又=)()( ff ( )baf x dx ( )( )ftt dt ( )( )f bf a应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了. （2）用用)(tx 把变量把变量x换成新变量换成新变量t时，积分限也时，积分限也相应的改变相应的改变.dxx 20241txtan2 4 0tdttan2tan44

4、12 401sect tdt2sec40tansecln tt )12ln( 例：例： 40122dxxxtx 12212tx )1(212 tx 31)1(212)1(2122 tdtt 312)3(21dtt31333121tt 322 例：例：,)( aacxf 证明：若证明：若为奇函数时为奇函数时 )( .10 xf aadxxf)(a axy00 为偶函数时为偶函数时 )( .20 xf aadxxf)(a axy0 adxxf0)(2例例(命题命题1) aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(证证 0)(adxxf 0)()(atdtf adttf0)(tx adttf0)

5、( adxxf0)( adxxfxf0)()(为奇函数时为奇函数时 )( .10 xf aadxxf)(为偶函数时为偶函数时 )( .20 xf aadxxf)( adxxf0)(20 212128 )1(ln1sindxxxx0 dxx 2121)1ln(0)1ln( x0 x 021)1ln(dxxdxx 210)1ln(0122ln(1)x dx 0122 ln(1)xx 012ln(1)xdx 3ln2 01221xdxx 函数奇偶性 设设)(xf是是以以t为为周周期期的的连连续续函函数数，证证明明： 证证 taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 tattaxxfxxfxxf ta

6、txxfd)( ttx atttf0d)( attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)( 0 ttaaxxfxxf例例( (命题命题2)2) ttaaxxfxxf0d)(d)(. . tx 2 令令试试证证：设设,1 , 0)( cxf 20)(sin . 1 dxxf 20)(cos dxxf证证xxcossin 为为使使0 20)(sin dxxftx 2 )2sin(tf )2(td 2 dt 0 2 )(costf 20)(cos dxxf 例：例：例例.d)(sin2d)(sin2/00 xxfxxf， 2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxfxxfxxf证证(2

7、) 2/d)(sinxxf 2/0d)(sin ttf， 2/0d)(sin xxf.d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf xt 02/)(d)sin( ttf试试证证：设设,1 , 0)( cxf 证证(3)令令， 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf并计算并计算 .dcos1sin02 xxxx，xt 0d)(sinxxxfi，ixxf 0d)(sin.d)(sin2 0 xxfi例例)d()sin()(0 ttft 0d)(sin)(ttft试试证证：设设,1 , 0)( cxf 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 0)arctan(cos2

8、x 1arctan)1arctan(2 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 02cosdcos112xx.42 302)1( ,)( dxxfxxf求求设设解解 30)1(dxxf)1()1(30 xdxf 30)1(dxxftx 1 41)(tf)1( td 41)(tfdt 41)(dxxf 412dxx41331 x 21 例：例：tx 141( )f t dt 41( )f x dx )( xf设设2xxe 0 xxcos11 01 x 41)2( dxxf求求解解 41)2(dxxftx 2 21)2()( tdtf 21)( dttf 21)(dxxf 202dxxex

9、01cos11dxx 0122cos21dxx20212xe 012tan x20212xe 212121tan4 e 解解例例7 7设设)(xf在在),( 上上连连续续，且且满满足足 ,1ed)(0 xttxftxx求求)(xf， 令令，txu xttxft0d)(则则 0d)()(xuufux xuufux0d)()(,d)(d)(00 xxuufuuufx,1ed)(d)( 00 xuufuuufxxxx两边求导，两边求导，,1e)()(d)(0 xxxxfxxfuuf即即,1ed)(0 xxuuf再求导，得再求导，得.e)(xxf 设设 xtttxf1d1ln)(, ,其其中中0 x,

10、 ,求求)()1(xfxf . . 例例解解 xtttxf11d1ln)1(uuuuutxd)1(/11ln /1 12 ,dln12 xuuuu xxtttttttxfxf11d1lnd)1(ln)()1( xttt1dln.ln212x xtttttt1d1ln)1(ln 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv (),bbbaaauv dxu vdxuv dx . bababavduuvudv分部积分公式,bbbaaauvu vdxuv dx

11、例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf 10)(dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 10221x22sinxx xdx2 1022sin21dxx 102cos21x )11(cos21 例例 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni积分积分