p52微分方程定性分析

1、定性-用文字语言图像进行相关描述 定量-用数学语言进行描述 定性分析与定量分析应该是统一的，相互补充的；定性分析是定量分析的基本前提，没有定性的定量是一种盲目的、毫无价值的定量；; 定量分析使之定性更加科学、准确，它可以促使定性分析得出广泛而深入的结论 随着科学技术的发展，常微分方程定性分随着科学技术的发展，常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具，也是数学建模的必备基础理论具，也是数学建模的必备基础理论.一一. 微分方程定性理论的基本任务和微分方程定性理论的基本任务和主要研究方法主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函数极少情况下

2、，能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解的积分表示微分方程的解. :)(满足xf0)()(,) 1bfafba上连续在不变号及上在)()(,)2xfxfba .),(0)(内有唯一的实根在方程baxf有如下四种情况:xbayoxbayoxbayoxbayo00 ff00 ff00 ff00 ff程的近似根 .记纵坐标与)(xf 同号的端点为,)(,(00 xfx用切线近似代替曲线弧求方yxbao1x0 x在此点作切线 ,其方程为)()(000 xxxfxfy令 y = 0 得它与 x 轴的交点, )0,(1x)()(0001xfxfxx其中再在点)(,(11xfx作切线 , 可得近似根

3、.2x如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :)()(111nnnnxfxfxx),2, 1(n2x称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 求微分方程的数值解求微分方程的数值解解决方法解决方法对微分方程进行定性分析对微分方程进行定性分析 一般提法一般提法：不去积分给定的微分方程：不去积分给定的微分方程, 而根而根 据据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态整个区域内的分布状态.微分方程定性分析微分方程定性分析 基本任务基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形：考虑在有限区域内积分曲线的形状状, 或研究当时间无限增大时或研究当时间无限增大时,

4、积分曲线的性态积分曲线的性态. 研究对象研究对象：驻定系统：驻定系统nixxxfdtdxnii, 2 , 1),(21 其右端的函数不显含自变量其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶，称为一阶n维维驻定系统驻定系统(自治系统、动力系统自治系统、动力系统). 若微分方程组若微分方程组例例 单一质点非受迫直线运动满足方程单一质点非受迫直线运动满足方程0)()(2122 xadtdxxadtxd, vdtdx 令令得一个二维驻定系统得一个二维驻定系统 ).()(,21xavxadtdvvdtdx一般二维驻定系统形式为一般二维驻定系统形式为 )2().,(),( yxQdtdyyxPdtdx存在且唯一

5、，则在三维空间存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有中有且仅有一条解曲线通过点一条解曲线通过点(x0, y0, t0). ）（若若其其解解3),(),(000000 yxttyyyxttxx 基本思想基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析将空间曲线投影到平面上进行分析. 定义：定义：称平面称平面 (x, y )为为相平面相平面，称解曲线称解曲线在相平面上的投影为在相平面上的投影为相轨线，相轨线，相轨线族称为相轨线族称为相位图相位图. .xytot0(x, y, t)解曲线解曲线投影曲线投影曲线相轨线相轨线 轨线方程轨线方程 由原方程（由原方程（2）消去）消去 t 而得到而得到,

6、 相相点的点的运动方向运动方向由原方程确定由原方程确定. 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究. 使使 P(x0, y0)= Q(x0, y0)=0 的的 (x0, y0)称为方程称为方程(2)的的平衡点平衡点. 续例续例 两方军队交战两方军队交战,希望为这场战斗建希望为这场战斗建立一个数学模型立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的：应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？预测哪一方将获胜？ 2. . 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵计算失败的一方开始时必须投入多

7、少士兵 才能赢得这场战斗？才能赢得这场战斗？ 记记 x(t) t 时刻时刻X方存活的士兵数方存活的士兵数； y(t) t 时刻时刻Y方存活的士兵数方存活的士兵数；有微分方程组：有微分方程组： 4. 战斗持续时间？战斗持续时间？)0(, aaydtdx)0(, bbxdtdy（4）初始条件为初始条件为 x(0)=x0, y(0)=y0 模型分析模型分析: :1. 分析方程组分析方程组1）变量）变量 x0，y0，有唯一平衡点有唯一平衡点(0, 0);2）x(t)，y(t)都是单降函数都是单降函数, 且随着且随着x, y 的减小，的减小， 衰减速度也在降低衰减速度也在降低. . 2. 分析相位图分析

8、相位图 1） 求相轨线方程求相轨线方程，将两个方程相除，得，将两个方程相除，得aybxdxdy bxdxaydy cbxay 22代入初始条件，有代入初始条件，有cbxay 2020)()(202202xxbyya 双曲双曲线族线族 2） 预测何方军队获胜预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵将剩下多少士兵.(1) 若若 , ,解曲线方程化为解曲线方程化为 2020bxay 22bxay xaby 一场势均力敌的一场势均力敌的,导致导致相互毁灭的战斗相互毁灭的战斗（2）若）若 , 从相位图观察出从相位图观察出Y方将获胜方将获胜.2020bxay 0 xy(x0,y0)Y方胜方胜X方胜方胜证明证明

9、令令 y =0, 由轨线方程得由轨线方程得)(20220 xxbay 020202 baybxx不可能出现不可能出现 x0 同时同时 y=0 的情形的情形,即即X方获胜的情形方获胜的情形. abxayyx/ )(, 02020 得得令令即即Y方获胜时的幸存士兵数方获胜时的幸存士兵数.3） 测算失败一方开始应投入兵力测算失败一方开始应投入兵力.矛盾矛盾将战斗力参数值将战斗力参数值a=0.15, b=0.1 (人人/h)代入方程代入方程(4) ,5000)0(,10000)0(,1 . 0,15. 000yyxxxdtdyydtdx 因因62201075. 3)5000(15. 0 ay62201

10、010)10000(1 . 0 bx02020 aybx 有有预测预测X方军队将获胜方军队将获胜. . Y方军队要获胜开始方军队要获胜开始投入兵力投入兵力y0应满足：应满足：82202010311000015. 01 . 0 xaby解得解得y08165, 至少派出至少派出8165名士兵才能转败名士兵才能转败为胜为胜. .4） 战斗持续时间讨论战斗持续时间讨论10001 . 000 xdtdyt最快歼最快歼灭速度灭速度 意味着战斗开始时意味着战斗开始时Y方军队的士兵以每小时方军队的士兵以每小时1000人的速度被歼灭，故战斗至少持续人的速度被歼灭，故战斗至少持续5000/1000=5（小时）（小

11、时）. .战斗结束时战斗结束时X军队余下士兵军队余下士兵79061075. 31010/ )(662020 baybx（名）（名）此时此时, ,Y军队士兵被歼灭的速度为军队士兵被歼灭的速度为 6 .79079061 . 0结束dtdy最慢歼最慢歼灭速度灭速度设设Y军队士兵保持此速度被歼灭，有军队士兵保持此速度被歼灭，有 y=790.1t + 5000, 令令y=0, 解得解得t=5000/790.16.32(小时小时). 分析结果表明，战斗会持续分析结果表明，战斗会持续56.32( (小时小时),),取取中间值约为中间值约为5.7( (小时小时).).注注 直接求解微分方程组直接求解微分方程组

12、,可以得到几乎一致可以得到几乎一致 的结论的结论.试一试！试一试！ 上世纪初上世纪初, , 意大利生物学家意大利生物学家U.DA ncona在研在研究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获究中，发觉第一次世界大战期间从地中海捕获的鱼中，鲨鱼等的鱼中，鲨鱼等食肉鱼的比例十分明显地上升食肉鱼的比例十分明显地上升了了。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期。他认为这一现象决非偶然，应是由战争期间捕鱼量减少所致间捕鱼量减少所致. .食用鱼食用鱼人类人类捕捞捕捞食肉鱼食肉鱼捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？捕鱼量减少，食用鱼的比例反而降低？ 数学家数学家V.Volterra建立了一个数学模型给予解释建立了

13、一个数学模型给予解释. 模型建立模型建立： x(t) t 时刻食用鱼时刻食用鱼（prey）的数量的数量. y(t) t 时刻食肉鱼时刻食肉鱼 (predator) 的数量的数量. 假设如下假设如下： *1 没有食肉鱼没有食肉鱼, 食用鱼的净相对增长率为正食用鱼的净相对增长率为正常数常数(k10); *2 没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负没有食用鱼，食肉鱼的净相对增长率为负常数常数(k2, k20)；*3 两类鱼相遇的机会正比于两类鱼相遇的机会正比于x 和和 y 的乘积的乘积；建立微分方程如下：建立微分方程如下： )1().();(2211 cxkycxyykdtdybykxbxyxkdtd

14、x其中参数其中参数b0，c0. 模型分析：模型分析：关心相互制约的两类鱼种的总关心相互制约的两类鱼种的总变化趋势变化趋势. 针对建模目的针对建模目的, 对微分方程进行以下分析工作：对微分方程进行以下分析工作：1.讨论方程的平衡点；讨论方程的平衡点；2. 分析验证方程组是否有周期解；分析验证方程组是否有周期解； 3. 对方程组周期解进行分析；对方程组周期解进行分析； 4. DA ncona现象的解释现象的解释. 1.求平衡点求平衡点 . 0; 021cxyykdtdybxyxkdtdx令令 在平衡点处，两类鱼将能够在平衡点处，两类鱼将能够“平衡平衡”地生存地生存,它们的数量将一直保持这个水平它们

15、的数量将一直保持这个水平.平衡点：平衡点：(0, 0)与（与（x, y）=( )bkck12,平凡的平凡的2. 分析验证方程组有周期解；分析验证方程组有周期解； (1) 求相轨线方程求相轨线方程 将方程组（将方程组（1）的两个方程相除：）的两个方程相除： bykcxkbykxcxkydxdy 1212)()(dxcxkdybyk)()(21 两边积分两边积分scxxkbyyk lnln21其中其中S 为任意常数为任意常数. )2()(12Seyexbykcxk (2) 验证方程有周期解验证方程有周期解分析：分析：方程组方程组(1) 有周期解有周期解 相轨线相轨线 (2) 是是一族封闭曲线一族封

16、闭曲线 ?xy0 x0 x1x需证明需证明：对每一条轨线，存在对每一条轨线，存在 x0 x1，使使： 1）x0 xx1时时, ,方程方程( (2 ) )有两个相异根有两个相异根；2）x =x0 或或 x=x1时时, 方程仅有一个单根方程仅有一个单根； 3） 时时, , 方程方程(2)无根无根. ,10 xxx 证明见证明见5.2.13.对方程周期解的分析对方程周期解的分析。 1.相轨线的形状相轨线的形状 设方程的周期解为设方程的周期解为: x=x(t), y=y(t), t0, 则对则对任意给定的任意给定的t00，存在存在t10，使使x(t0)=x(t1), y(t0)=y(t1) 方程方程(

17、1)(1)的相轨线是一族包含平衡点的相轨线是一族包含平衡点A( )的封闭曲线的封闭曲线. bkck12,xyok2/ck1/bA2. 平衡点平衡点A的实际意义的实际意义 记记 T=t1 t0 , 称称T 为为周期周期,将原方程将原方程).();(2211cxkycxyykdtdybykxbxyxkdtdx中的第二个方程改写为中的第二个方程改写为cxkycxkyydtdy 22)(/ 两边从两边从t0 到到 t1 积分，得积分，得dtcxkydytttt 2111)(20)()(ln)(21012 tttytydttxcTk 21)(12ttdttxTck 21)(11ttdttyTbk同同理理结论：结论：食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的食用鱼和食肉鱼的平衡量恰为它们的数量在一个周期内的平均值数量在一个周期内的平均值. ox(食用鱼食用鱼)yA0, 0 dtdydtdx0, 0 dtdydtdx0,0 dtd