七年级上册几何提优与角相关的问题

1、几何提优二 与角相关 的 问题阅读与思考角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角.角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按角的大小可以分成锐角、直角和钝角.由于直角和平角在角中显得特别 重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得 到我们的特别关注.两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之 和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计 算和证明中都有十分重要的地位.解与角有关的问题常用到以下知识与方法：1 .角的分类；2 .角平分线的概念；3 .互余、互补

2、等数量关系角；4 .用方程的观点来进行角的计算.例题与求解例1 如图，在3X3的网格上标出了 /1和/2,则12 .解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出1 2的值.【例2】如果 与互补，且 ，则下列表示的余角的式子中:90；90 ；1()； -().其中正确的有()22A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.【例3】已知AOB 80 , OC是不在直线OA OB上的任一条射线.OM ON 分别平分/ AOC / BOC求/ MON勺大小.（题目中考虑的角都小于平角）解题思路：因OCB置不确定，故分类讨论是解本

3、例的关键.【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过 x分钟秒针第一次将分钟和时 针所夹的锐角平分，求x的值.解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x的代数式表示，通过解方程求出 x的值.【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用 这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？（3）用一个21。的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？对（2） （3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.解题思路：若只连续使

4、用模板，则得到的是一个 19。（或17。或21。） 的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19。（或17。或21。）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差 1 .【例6】如图所示，O是直线AB上的一点，/ CO医直角，O评分/BOC（1）如图，若 AOC 30 ,求/ DOE勺度数； 在图中，若 aoc ,直接写出/ DOE勺度数 （用含民的代数式表不）；（3）将图中的/ DO嗾顶点O顺时针旋转至图的位置. 探究/AOG口/DOE勺度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由; 在/AOC的内部有一条射线 OF满足 AOC 4 AOF 2 BOE AOF , 试确定/ AOFW/ DOE勺度数

5、之间的关系，说明理由图图解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出/ DOE勺度数；（2）先根据/ DOE与/COE的互余关系列出相应的关系式，然后用/ BOC 表示出/COE再根据互补角的关系用 a表示出所求角的度数；（3）可设/ BOC为一个未知数，分别表示出/ AOC与/ DOE可得相应 关系；结合把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.能力训练A级1 .已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 2 .如图，BOD 45 , AOE 90 ,那么不大于 90 的角有 个，它们的度数之和是.3 .如图， AOC BOD 150 ,若 AOD 3 BOC ,贝U BOC 等于.4

6、.如图，O是直线AB上一点，AOD 120 , AOC 90 , OE平分/ BOD则图中彼此互补的角有 对.5 . 一个角的补角的工是6° ,则这个角是（）17A. 68 B. 78C. 88D. 986 .用一副三角板可以画出大于 0且小于176°的不同角度有（）种A. 9 B. 10 C. 11 D. 127 .如图，若 AOB 180 , /1是锐角，则/ 1的余角是（）A. 1 2 1 B. 12 3 1 C. -(2 1) D. 1( 2 1) 222238 .如图，AOB 180 , OD是/COB的平分线，OE是/AOC的平分线，设BOD ,则与a的余角相等

7、的角是()A./COD B. /COE C. /DOA D. /COA9 .如图，已知 COB 2 AOC , OD平分/ AOB且 COD 19 ,求/ AOB的 度数.10 . 如图，已知/ AOBW/BOC互为补角，OD是/AOB的平分线，OE在 /BOCC3, BOE 1 EOC , DOE 72 .求 / EOC勺度数.211 .已知 AOB 80 , OC 平分/AOB COD 60 , OE 平分 / COD 求 / AOE 的大小.12 .如图，已知OB OC O防/AOEE3三条射线.(1)图中共有多少个角？(2)若OB OC OD为/AOE四等分线，且图中所有锐角的和为 4

8、00° , 求/ AOEE勺度数.若AOE 89 , BOD 30 ,求图中所有锐角的和.B级1.已知一个角的补角比这个角余角的3倍大10° ,则这个角的度数是 a , B , 丫中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 5()的值时，有三位同学分别算出了23° , 24。，25这三个不同的结果.其中只有一个是正确的答案，则.3.如图，点O在直线AB上，OC OD OE OF是位于AB同一侧的射线， 那么在这个图形中，不大于平角的角共有 个.4 .如图，射线 OC OD OE OF分别平分/ AOB / COB /AOC / EOC若 FOD 24 ,贝U

9、AOB 5 . 4点钟后，从时针到分针第二次成 90角，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数）A. 60 B. 30 C. 40 D. 336 .如图是一个3X3的正方形，则图中123 L 9的和等于（）A. 270 B. 315C. 360D. 4057 .已知，OM ON OP分别是/AOB /BOC / AOC的平分线，则下列各 式中成立的是（）A. AOP MON B. AOP MON C. AOP MON D. 以上情 况都有可能8 .如图，/ AOO直角，COD 21.5 ,且 OB OM别是/ AOC / BOE勺平分线，则/ AO净于（）A. 111.5 B. 138C. 134

10、.5D. 1789 .如图，在直线 AB上取一点O,在AB同侧引射线OC OD OE OF使 /COE和/ BOE互余，射线 OF和 OD分别平分/ COE和/ BOE求证：AOF BOD 3 DOF .10 . 如 图， /AOA是一个 平 角 ，AOA, A20A A4OA3 A3OA2 A50A4 A40A3 LA11OA0 A0OA9 2 .求 AQA10 的度数.11 .在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的选 择中心）.若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后， OAB勺面积第一次达到最大?答案 例1 45 提示：如图，通过拼补得/ 1 + 2 2=45例2.

11、 B提示：(90° / ) +/ =90符合;+ / =/ +/ -90 =180 -90 =90 符合;11809090 ;21() - 18090 符合.22的余角.13. . OM O评分/ AOC / BOC . / AOMZ COM1 aoc , / CON/ BON1一+ BC +CD - AM - ND =12+4+6- -? (12 4)- -? (4 6) = 22- 8- 5 = 9, 综上可 boc 22(1)如图，若 OC&/AOBa,设/ BOCX,则图图图例 6 ( 1 ) Q m- 2n ? 0 , (6 - n)2知，MN =9(3)作图如图

12、，结论 正确，设BP = x,贝UAP=12 + x, PC=6 + x > 0 ,且 m- 2n 与(6 - n)2 互为相反数。m- 2n =0且(6- n)2 = 0 o m=12, n = 16,即 AB=12, CD =6(2)有两种情况，如图11111当 C 在 AB 上时， MN = AC + BC+BD = (AB- BC) + BC+(CD - BC) = -? 222221(12- 4)+4 + -? (6 4)=9；当 C在 AB 的延长线上时， MN =MB + BC+CN = ABPA+PB x + 12+x 12 + 2xPC定值的原因。=2,当然对于6 +

13、x6 + x八 PA - PB x+12- x 12Q= 一我们也不难找出其值不为PC6 + x6 +xx变化，具值也变化1 5cm或1cm提示：当A, B在O点两侧时,EF = 4+6 = 5cm ；当 A, B在O 同一 26-4时，EF 二 =1cm22 20 3 41.6 提示：所有线段长度总和为 4AB+6BC+6CD + /AOC= 80 x,/MON/MO C/NO& 40 .(2)如图，若 OCS A OEft,设/ BOC= x,则/AOG80 +x. / MON / MOCZ NOC= 40(3)如图，若 OC&/A' OB 内，设/ BOC= x,

14、则/ AOC= 280 -x./MON/ MOC/ NOC= 140 .(4)如图，若 OC&/AOB 内，设/ BOC= x,则/AOC= x-80 . /MON/NOG/MOC40 .综上所述：/ MON40 或 140 .例4x=设”提示：显然x的值大于1小于2, 1427依题意得 6x- 360(x1) =360(x1)0. 5 x.例5提示：设“模板”角度为 a，假设可由k个a角与t个180角画出1的角来，即k, t满足等式ka 180t =1.(1)当a =19°时，取k=19, t = 2,即用模板连续画出19个19°的角，得到361°的角，

15、去掉360。的周角，即得1°的角.(2)当 a =17° 时，即 17k 180t = 1,此时，k=53, t =5 是一组解，即用模板连续画53个17。的角，得到901°的角，除去两个周角和一个平角， 即得1°的角.(3)当a =21°时，即21k 180t = 1无整数解，不能用21°的模板与铅笔 画出1°的角.例 6 (1)ZBO& 180 / AO8 180 -30 = 150 .又.Q评分/ BOC /CO2 1/BO©75 , / DOE90 -75 = 15 .2 Z DOE 90 暨一=

16、1a. 22(3)/ AOC= 180 2/CO2 180° 2(90° / DOJE= 2/DOE 设/ DOE= x, /AOEy,则/AOG4/AOM2ZDOE-4ZAOR2x-4y, 2/BO曰 ZAOR2/COE/AOM2 ( 90 ° / DOE +/AOM2 ( 90 一 x ) +y = 180 2x + y.故 2x4y=180° 2x+y,即 4x5y=180 ,所以 4 / DOE- 5/AOM180 .A级 1. 722. 10 450 提示：一共有 10 个角，其中/ AOE= 90° , / BOD= 45°

17、; , /AOB十 / BOE= 90 , / AOQ- / COE= 90 , / AOD- / DOE= 90 , / BOC + /COD= 45 .故这 10 个角的度数和为 90 X4 + 45 X 2 = 360 + 90= 450 .3. 304. 6 提示：/ AO。口 /BOC /AODffi /BOD / AOEffi /BOE /AOEffi/ DOE / AO序口 / COD / AOB口 / COE5. B 6 . A7. C8 . B9 . 114 提示：设/ AOC= x ,是/ BOC= 2x , / AOD= (-x)° , / COD 2= (1x

18、) , /AOB= /AOG /BOC= 11410 .设/AOD /BOP x,则/BO© 180° -2x.又./ BO& 1ZEOC .BOE 1/BO仔 1(180 - 2x).233又./ BOA / BOE= / DOE= 72 , /. x+ 1(180° 2x) =72 ,解得 x =36 .则/EOG 2/BO© -(180° 2x)=72 . 3311. (1)如图，若 O疏 /A' OB 内时，./ AOG /BO&/AOB=40° , 2ZCOE= / DOE 1/COR 30 , . / AO曰 / AOG /COE70 . 2(2)如图，若 OD在/AOB内时，同理，/ AO仔40° , / OOE300 ,ZAOE= /AOG /COE= 10 .综上所述：/ AOE= 70或10