高一数学平面向量的数量积及运算律人教版

1、高一数学平面向量的数量积及运算律人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：平面向量的数量积及运算律【例题讲解】例1 已知=(cos, sin ，=(cos, sin (0（1）求证：+与-互相垂直。（2）若k a +与-k b 大小相等（k 0），求-的值。 解：（1）由=(cos, sin ，=(cos, sin ，则有+=(cos, sin +(cos, sin =(cos+cos , sin +sin -=(cos-cos , sin -sin 由(+ (-=(cos+cos (cos-cos +(sin+sin (sin-sin =cos 2-cos 2+sin 2-sin 2=(co

2、s2+sin 2 -(cos2+sin 2 =1-1=0故+-（2）由k +=(k cos +cos , k sin +sin k += = k -= =(k cos +cos 2+(k sin +sin 2k 2+2k cos(- +1 (k cos -cos 2+(k sin -sin 2k 2-2k cos(- +1 由k +=k -，则有2k cos(- =-2k cos(- 即cos(- =0，而00，则-=例2 已知=(3, -1 ，=(21, ，且存在实数k 和t ，使得=+(t 2-3 ，22k +t 2的最小。 =-k +t ，并且，试求t解： =1(3 2+(-1 2=2，

3、b =( 2+( 2=1221a b =+(-1 =0 则22由=0，故+(t 2-3 -k +t =02即-k +(t -3t +(t -t k +3k =0232用心 爱心 专心而 =0，故-+(t -3t =2=1代入得：k =3=0 13(t -3t 4k +t 21217=(t +4t -3 =(t +2 2- 故t 4447k +t 2所以，t =-2时，有最小值为-4t例3 =5，向量、的夹角是+= + 3=50+255-= =1=53 2=50-2551=5 2例4 给定三点A （1，7），B （0，0），C （8，3）设D 为线段BC 上一点，试求三向量BA 、CA 、DA

4、的和与向量BC 垂直时点D 的坐标。解：=(8, 3 ，而D 在BC 上，则D 点坐标为（8t ，3t ），其中0t 1 于是，=(1, 7 ，=-=(1, 7 -(8, 3 =(-7, 4 =-=(1-8t , 7-3t 令=+=(1, 7 +(-7, 4 +(1-8t , 7-3t =(-5-8t , 18-3t 由=0(-5-8t , 18-3t (8, 3 =0 8(-5-8t +3(18-3t =0-73t +14=0t =1411242D （，） 737373例5 在平面四边形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，CD =c ，DA =d ，且a b =b c=c d =d a

5、 ，问该四边形ABCD 是什么图形，请加以证明。解：由a +b +c +d =0a +b =-(c +d (a +b 2=(c +d 2 a +2a b +b =c +2c d +d ，又由a b =c d 得 + =+ = 22222222=+ = = = =故四边形ABCD 为平行四边形，则a =-c由a b =b c ，即b (a -c =0也即b (2a =0a b =0a b故为矩形【模拟试题】一. 选择题：用心 爱心 专心1. 设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有（ ） ( -( = - (3+2 (3-2 =- ( -( 不与垂直A. B.

6、 C. D. 2. 给出四个命题，其中正确命题的个数是（ ） =或=- 如果a 与b 共线，则存在惟一实数，使a =b 如果(a -b 2+(b -c 2=0，则a =b =c 如果a b =0，则a b =0A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3. 已知=（1，2），=（-3，2），当k 取（ ）时，k +与-3垂直 A. 17 B. 18 C. 19 D. 204. 已知=（2，3），=（-4，7），则在上的射影的值是（ ） A. B.2265 C. D. 65 555. 以O （0，0），A （a ，b ），B （b +a ，b -a ）为顶点的三角形是（ ）6. =3=4，且

7、(+k (-k ，那么k =（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形A. 3434 B. C. D. 5435二. 填空题：7. 设s ，t 为非零实数，若s +=t -，则与的夹角= 和均为单位向量， 。8. 若将向量=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转，得向量，则向量的坐标是 4。9. 已知ABC 的三个顶点为A （2，1）B （3，2）C （-1，4），则ABC 的形状是 。10. 已知b =（3，-1），c =（4，3），向量a 满足a (b c =（-9，18），则a = 。11. 设e 1与e 2是两个单位向量，其夹角为60，则向量=2e 1

8、+e 2，=-3e 1+2e 2的夹角等于 。12. =3=2，与夹角为60，=3+5，=m -3，则当m = 时，c 与d 垂直；当m = 时，c 与d 共线。三. 解答题：13. 已知，是两个非零向量，当+t （t R ）的模取最小值时用心 爱心 专心（1）求t 的值 （2）若a 与b 共线同向，求证b a +t b 14. 试用向量的方法证明三角形三条高线交于一点。15. 已知向量=5+12，=-8+6，其中、分别为x 、y 轴上的单位长度，求以及与的夹角。16. 若向量+37-5，并且-47-2，试求向量与的夹角。用心 爱心 专心试题答案一. 选择题： 1. D提示：与错；与正确 2.

9、 B 3. C提示：k +=(k -3, 2k +2 ，-3=(10, -4(k a +b (a -3b =0+(1-3k a b -=0k 5+(1-3k (-3+4 -313=0 k =194. C提示： =-8+21=13，=cos ， =65cos =5. D1365=65 5提示：OA =(a , b ，AB =OB -OA =(b , -a ，则OA AB = 6. A -k 二.7. 90提示：s +t +2st =t +s -2st 4st =0=0 8. （22222222=09-k 216=0k 2=93k = 164232，） 22提示：设b = (x , y = 又=c

10、os22+12=5，x 2+y 2=5225252即2x +y = =4222232322解方程组得x =，y =，（x =，y =）（舍1）2222=59. 直角三角形提示：=（1，1），=（-3，3），=（-4，2） 故=1(-3 +13=0AB AC又、AC 互不相等，故ABC 为Rt 10. （-1，2）提示：设=(x , y ，由=12-3=9，则(9x , 9y =(-9, 18 x =-1, y =2 11. 120提示：=-6+2+e 1e 2=-4+17=- 22用心 爱心 专心a =b= 7 12. cos = a b ab = 1 = 120 2 29 9 ； 14 5

11、1 = 3， 2 2 2 提示： 提示： a b = 3 2 c d = (3a + 5b (ma 3b = 3m a 15 b (9 5ma b = 42m 87 87 29 = 由 c d 存在 R 42 14 使 c = d 3a + 5b = m a 3 b 由 a 不平行于 b 9 则 3 = m ， 5 = 3 m = 5 由c d cd = 0 m = 13. 解： （1）令 m = a + t b ，则 m = a + t b 2 2 = a + t 2 b + 2 a b cos t 2 2 2 2 = b (t 2 + 2 a b 2 a b cos t + a = b (

12、t + a b cos 2 + a sin 2 2 当t = cos 时， a + t b 有最小值为 a sin a b （2）由 a 与 b 同向共线，则 cos = 1 ，故 t = 则 b ( a + t b = a b + ( a b b = a b a b = 0 2 14. 证明： 证明：设 ABC 的边 BC 与 CA 上的高交于一点 P，如图 由 PA BC ， PB CA ，则 PA BC = PB CA = 0 又由 PC BA = ( PA CA ( BC + CA = PA BC + PA CA CA BC CA 2 = ( PA + AC + CB CA = PB CA = 0 故 PC BA ，所以点 P 在 ABC 的第三条边 AB 的高线上 故 ABC 的三条高线交于一点。 用心 爱心 专心 15. 解：由已知 a = （5，12）， b = （ 8 ，6）则 a b = 5 ( 8 + 12 6 = 32 又由 a b = a b cos 且a = 5 2 + 12 2 = 13 b = (8 2 + 6 2 = 10 所以 cos = 16. 故 a b = 130 cos 则 = arccos a b ab = 32 16 = 130 65 16 130 7 a 2 + 16a b 15b 2 =