注重学生思维参与和感悟的函数概念教学_续_章建跃_图文

1、 2009 年 之对应. 第 48 卷 第7期 数学通报 评述 31 陶老师说/ 要设法突破难点0 , 从他的 S 13: 少说了一个: 确定的对应关系 f . T : f 是什么东西 ? S 13: 例如 , 正比例函数, f 就是比例系数 ; 用 f ( x 表示可以是一个式子 ; 也可能 , T : 也可能是什么? S 13: 也可能是个数 . T : 大家帮他 想想. 他认为对 应关系是关键 , 这很好. 但什么叫对应关系? 还没有说清楚. S 14: A 中任一数在 B 中有唯一 f ( x , 每一 对( x , f ( x 的对 应关 系就 是唯 一确 定的 对 应 关系 . T

2、 : 用个例子说说, 如二次函数 y = x 2 , 我只问 对应关系是什么 ? S 14: 对应关系是 y = x 2 . T : 对吗? 再看 y = 要干什么 ? x , 对应关系是什么 ? 它 课堂教学实践看, 他的这个/ 法0不是自己的说教, 而是想方设法挖掘学生的体验, 从学生的想法中 发现引导他们深入思考的契机. 因此, 他特别注重 让学生表达、 举例 , 让学生之间相互印证、 启发等. 当然 , 这需要教师有驾驭课堂的高超能力. 上述过程中, 陶老师围绕 / 对应关系0 展开教 学, 让学生自己举例, 陶老师从中挖掘推动感悟概 念本质的契机. 从学生的举例 、 回答可以发现,

3、理 解 y = f ( x 的含义确实是一个难点. 陶老师/ 只问 对应关系是什么 0 , 采取了 / 多元联 系表示0 的方 式, 引导学生通过赋予函数表达式具体意义、 变换 表现形式等, 使他们形成/ 对应关系0 的心灵体验. 其中 , / 打靶0 一例很好地推动了学生对/ 函数的对 应法则、 定义域、 值域是一个整体 , 这样才能准确、 完整地刻画两个变量之间的数量关系0 的认识. 值得指出的是 , 陶老师并没有在/ 任意性0/ 唯 一性0 上做太多文章, 而是把这些问题延后了. 我 认为这样处理是明智的. 因为一方面 / 对应关系0 实在重要 , 一节课不能有太多的重点; 另一方面,

4、对/ 任意性0/ 唯一性0 的理解困难也很大 , 待学生 接触更多的函数实例 , 形成较多的体验后再逐步 解决是有效的 . S 14: 对应关系是 y = x . T : 用 自 然 语 言 读 一 遍, 看 看 实 际 上 在 干 什么 ? S 14: 开方 . 哦, 应该是/ 取算术平方根0. T : 那谁能 用一个具体实例解释一 下 y = x 的对应关系? 2 S 15: 如果 x 取正数, 我以边长为 x 的正方形 为例 , 只要给定一个边长 , 就有唯一的正方形面积 与之对应 . 对应关系就是/ 边长 x 面积 x 0. T : 很 好. 那 打 靶 的 例 子 呢? 对 应 关

5、系 是 2 结束语 在准备这个单元的观摩课时 , 我全程跟踪 , 不 仅与陶老师进行了广泛的、 坦诚的交流 , 而且实时 观察他的课堂教学 , 对内容的解读、 教学目标的确 定、 教学过程的安排, 以及课堂教学中的师生行为 等, 都进行了深入细致的讨论 . 这一过程给我以愉 悦的精神享受 , 同时也给我认识函数概念( 乃至整 个中学数学 教学以极大的启迪 . 总结起来, 函数 概念的教学应强调如下几点 : 第一 , 要注意学生已有的知识基础 , 利用好学 生已学过的/ 变量说0 , 特别是其中蕴含的/ 对应关 系0 ; 第二 , 把握住本单元的核心任务, 即要让学生 建立一般意义的函数概念,

6、了解函数的抽象符号 的意义, 了解函数中的问题、 内容和方法, 初步形 成研究函数问题的/ 基本规范0 ; 第三 , 用集合对应的语言定义函数 , 引进数字 ( 下转第 60 页 什么 ? S16: y = 8. T : 对吗? 改一下: 序号 环数 1 1 2 1 3 8 S17: x 取 1, 2, y 取 1; x 取 3, y 取 8. T : 对吗? 实际上表格就表示了对应关系 , 在 思考对应关系时 , 注意 x 的范围是重要的 , 上述 y = 8 不全面, 因为没有指明 x 只取 1, 2, 3 的事实 . 再看股票指数图 , 对应关系是什么 ? S18: 每一个时间点都 有唯

7、一的 一个股票 指 数值 . T : 对 , 图就表示了给定一个时间点 ( 自变量 所对应的唯一指数值 ( 函数值 , 60 加法原理 , 我们得到了关于 an 的递推关系式 : an = ( n- 1 ( an- 1 + an- 2 数学通报 2009 年 第 48 卷 第7期 利用数学归纳法可证明 : 对每个 n > 2 , an nan- 1 X 0 , 于是将上述等式两边公因式约去 , 得 ak - ka k- 1 = ( - 1 k ( a2 - 2a1 = ( - 1 k 此式可改成 k ak a k- 1 = ( - 1 k ! ( k - 1 ! k! 再将 k 以 2,

8、 3 , n 等数代入、 得 a2 a1 1 = 2 ! 1! 2! a3 a2 - 1 = 3 ! 2! 3 ! , n an an- 1 = ( - 1 , n! ( n- 1 ! n! 将这些等式相加, 即得 an a1 1 1 ( - 1 n = + + ,+ , n! 1 ! 2! 3! n! 1 1 ( - 1 n 所以 a n = n! - + ,+ , n> 1 2! 3! n! 这里没有用到较高深的数学知识 , 一般书上 , 也似 未曾见过 , 关于错位数的应用, 此不赘述. 参考文献 因为前面我们已经得到 a1 = 0, a2 = 1, 所以我 们得出 an 的递推公

9、式 an = ( n - 1 ( an- 1 + an- 2 , n 3 且 a 1 = 0 , a2 = 1, 容易得出 a3 = 2, a4 = 3, a 5 = 44. 但问题到此并没有结束, 因为我们仅仅只是 得到了 a n 的递推公式 , a n 的表达式是什么 ? 我们 并不知道 . 尽管有递推关 系 an = ( n - 1 ( a n- 1 + an- 2 , 但此式具有非线性递推特征, 所以对 它的 求解是比较困难的. 首先我们把递推关系变形为 an - nan- 1 = - ( an- 1 - ( n- 1 a n- 2 , 令 n= 3, 4, , k, 即得 a3 -

10、3a2 = - ( a2 - 2a1 , a4 - 4a3 = - ( a3 - 3a2 , a5 - 5a4 = - ( a4 - 4a3 , , ak - kak - 1 = - ( a k- 1 - ( k - 1 ak - 2 , 将这些等式相乘 , 可得 j= 3 k- 2 F( aj - ja j- 1 = (- 1 k k- 1 j= 2 F( a j - j aj- 1 因为 a2 - 2 a1 = 1 X 0 而且对每个 n > 2、 an nan- 1 = - ( an- 1 - ( n- 1 an- 2 ( 上接第 31 页 以外的符号 f( x 表达函数 , 是学

11、生很难理解的事 情, 短时间内无法完成 , 需要在后续指数函数、 对 数函数、 三角函数、 数列等具体函数的学习中不断 强化 ; 第四 , 典型实例很重要 , 要精心选择 , 其中要 特别注意只能用图像、 表格表示的例子的作用 ; 第五 , 用图像、 表格表示函数时 , 学生对其中 的对应关系的理解有难度 , 需要精心引导, 但一旦 学生有了体验, 将极大地提升他们对/ 对应说0 的 理解水平 ; 第六 , 让学生把抽象的函数赋予实际意义, 是 推动用概念思维、 促进学生领悟/ 对应关系0 的好 方法 ; 第七 , 数学是思 维的科学 , 概念是思维的 细 胞, 数学思维更是用概念思维 , 因

12、此数学是培养思 维能力的最佳载体. 教学中, 让学生举例 , 从学生 举例中挖掘思 维过程 , 并用 / 你凭 什么说 ,?0 李振国 , 刘维翰 . 组合数学的 基本计数 原理 容斥重 理 J . 数 学通报 , 1985, 3 / 你是怎么想的?0 等促使学生深化思考 , 逐步培养 学生用概念解释数学对象的能力与习惯 , 是促使 学生深层次参与课堂教学的有力举措 , 体现了思 维教学的 真谛 , 也 是培 养学生 思维 能力 的 有效 途径 . 第八 , 要强调启发式教学的地位和作用. 高中 数学教学方式要强调综合性, 该让学生活动的地 方教师决不代替 , 而且要把实质性的概括机会留 给学生, 例如具体实例共同特征的概括就应该让 学生完成 . 但要注意, 不讲 X 放羊 , 不是教师无所 作为 , 而