南通市教研室2012年数学全真模拟试卷五

1、南通市教研室2012年数学全真模拟试卷五试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 两个平面最多将空间分成 部分2 设集合，则 3 已知，则 4 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 5 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 （第6题）O 20 40 60 80 100 成绩 6 42 108 人数I1While I<8 IEnd WhilePrint S(第5题)6 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 7 设向量，若与垂直，则实数的值为 8 在等腰直角ABC中，过直角顶点C在内部任作一条射线，与线段交

2、于点，则的概率为 9 我们知道：“平面内不共线的三点确定一个圆”类似地，空间中 10已知数列的前项和，第项满足，则 11在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为，设点是抛物线上的动点，则的最大值为 12对任意的锐角，给出下列三个不等式：； ； ， 其中恒成立的不等式的序号为 .13已知，则的最小值为 14设函数对于任意，都有成立，则实数= .二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知ABC内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且（1）求角的大小； （2）求ABC面积的最大值 16（本题满分14分）(第16

3、题图)在如图所示的多面体中，为二面角的平面角（1）求证：；（2）求证： 17（本题满分15分）请你设计一个纸盒如图所示，ABCDEF是边长为30cm的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱形状的纸盒G、H分别在AB、AF上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设AGAHx(cm)（1）若要求纸盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ABCDEFGH（第17题图）（2）若要求纸盒的的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比 18（本题满分15分）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：（，且）.（1）设为坐标轴上的点，满

4、足：过点P分别作圆与圆的一条切线，切点分别为、，使得，试求出所有满足条件的点的坐标；（2）若斜率为正数的直线平分圆，求证：直线与圆总相交. 19（本题满分16分） 若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间（1）已知是上的正函数，求的等域区间；（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出 实数的取值范围；若不存在，请说明理由 20（本题满分16分） 设正项数列的前项和为，已知，数列是公比不为1的等比数列（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）设为常数，对满足且的任意正整数，不等式都成立，求证：的最小值为 试题

5、（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21A题）A（几何证明选讲）如图，已知切圆于点，交圆于，两点，点是的中点求证： B（矩阵与变换）将曲线：绕坐标原点逆时针旋转后，得到的曲线,求曲线的方程 C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，求直线（t为参数）被圆（为参数）截得的弦长D（不等式选讲）已知x，y，z均为正数求证：【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22考察二数，满足不等式于

6、是一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题：若且则试用数学归纳法证明上述命题 23某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡设计了如下方案：按n（且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验记为某一组中病鸡的只数（1）若n，求随机变量的概率分布和数学期望；（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小南通市教研室2012年数学全真模拟试卷五参考答案1. 四； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ； 9. 不共面的四点确定一个球； 10. 8； 11. ； 1

7、2. ； 13. 16； 14. 1答案解析1 当两个平面平行时，将空间分为三个部分；当两个平面相交时，将空间分为四个部分；2. 由得，又，所以，则；3. ；4. 圆心到直线的距离为，所以圆的方程是；5. ；6. 平均分为：；7. 易得，由与垂直得；8. 所求概率；10. 由可得，当且时，；11. 设抛物线上动点，则，令，则，利用 导数可求得当时，的最大值为，即；12. 因为为锐角，所以，即正确；同理，即正确；不恒 成立，不妨取；13. 因为，所以，于是（当且仅当，且时取等号）；14. 一方面，由对任意恒成立得；另一方面，由得，所以15命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等

8、基础知识，考查运算求解 能力（1）由得， 所以，（4分） 故ABC 中，（6分）（2）由正弦定理得，即，（8分） 由余弦定理得，即，（10分） 由得，（当且仅当时取等号）（12分） 所以.（14分）16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力证明：（1）因为为二面角的平面角， 所以，（2分） 又，平面， 所以平面，（5分） 而平面， 所以；（7分） （2）因为， 又平面，平面， 所以平面，（11分） 而平面，平面平面， 所以（14分） 17命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力解：（1）易得正六棱柱的底面正六边形的边长为，

9、正六棱柱的高为， 所以纸盒的侧面积S ，（5分） 因为该二次函数开口向下，且对称轴方程为， 所以当cm时，侧面积S最大（7分） （2）纸盒的容积V ，（10分） 由得，或（舍去），（12分）x5+0极大值9 000 列表： 所以当cm时，容积V最大，此时纸盒的高与底面边长的比为（15分） 18命题立意：本题主要考查圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等，考查运算求解与推理论 证能力解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，由题意得，即，（4分）化简得，（6分）因为为坐标轴上的点，所以点的坐标为或；（8分）（2）依题意可设直线的方程为：，化简得， 则圆心到直线的距

10、离为，又圆的半径为，所以“直线与圆总相交”等价于“，”即 ，（11分）记，整理得，当时，；当时，判别式，解得；综上得，的最小值为1，所以式，即证（15分） 19命题立意：本题主要考查函数的图象与性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合 思想、分类讨论思想进行推理论证的综合能力 解：（1）因为在上单调递增的正函数， 所以当时， 即（3分） 解得， 故函数的“等域区间”为；（5分） （2）因为函数是上单调递减的正函数， 所以当时，即（8分） 两式相减得，即，（10分） 代入得 故、为方程的两个小于0实根， 所以 解得（16分） 20命题立意：本题主要考查等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知

11、识，考查灵活运用基 本不等式等进行探索求解、推理分析的综合能力 解：（1）设数列是公比为， 则， 故， 得，（4分） 所以， 又，所以，此时（6分） （2）由得，（8分） 下求的最大值，即的最小值： 因为且， 所以，即，（12分） 下证： 设，其中， 则， 当时，即， 所以，的最小值为（16分）21A命题立意：本题主要考查圆的有关知识，考查推理论证能力解：连结， 由切圆于点，是的中点得，（5分） 故四点共圆，（8分） 则（10分） B命题立意：本题主要考查矩阵的变换，考查运算求解能力解：设上的任意点在变换矩阵M作用下为，则，（5分）即（8分）代入得（10分） C命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力解：将直线与圆的参数方程化为普通方程得与，（6分） 则圆心到直线的距离为，（8分） 所以直线被圆截得的弦长为（10分）D命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力证明：因为x，y，z均为正数，所以，（4分） 同理得（当且仅当xyz时，以上三式等号都成立），（6分） 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得（10分） 22命题立意：本题主要考查数学归纳法，推理论证能力证明：当时，因为，所以，（2分） 当时，假设当时，成立， （4分） 则当时，因为 所以 （6分） ， 所以，当时，结论也成立， 由得，原命题得证（10分）23命题立意：本题主要考查