中考数学圆与相似-经典压轴题含答案

1、中考数学圆与相似-经典压轴题含答案一、相似1.如图，矩形 OABC的两边在坐标轴上，点 A的坐标为(10, 0),抛物线y=ax2+bx+4过 点B, C两点，且与x轴的一个交点为 D (-2, 0),点P是线段CB上的动点，设 CP=t(0vtv 10)(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;(2)过点P作PH BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，Z PBE=/OCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点 P作PM/ BQ,交CQ于点M,作PN/ CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出 t的值.【答案】(1)解：在y= ax2 + bx+ 4中，令x= 0可得y

2、= 4,C (0, 4),四边形OABC为矩形，且 A (10, 0),.B (10, 4),押& +$皿+ 4 = q把B、D坐标代入抛物线解析式可得加工为0-6 二一、解得,，抛物线解析式为 y= t：x2+x+4;(2)解：由题意可设 P (t, 4),则E (t,心t2+ J t + 4),13I J T.PB= 10- t, PE=4 t2+ 3 t+4- 4=启 t2+ J t, / BPE= / COD= 90 ,当/ PBE= / OCD时，则PB上OCD,PE 掰.8& ,即 BP?OD= CO?PE15 T.2 (10- t) = 4 (& t2+ & t),解得 t= 3

3、 或 t=10 (不合题意，舍去)， 当 t=3 时，/PBE= /OCD;当/ PBE= / CDO 时，贝MPB&aODC,PE PB . oc 血，即 BP?OC= DO7PE,，4 (10-t) = 2 (& t2+ J t),解得t= 12或t= 10 (均不合题意，舍去)综上所述.,当t=3时，/PBE=/OCD(3)解：当四边形 PMQN 为正方形时，则 Z PMC= Z PNB= Z CQB= 90, PM=PN, / CQO+ / AQB= 90 , / CQO+ / OCQ= 90 ,/ OCQ= / AQB, RtA COg RtAQAB,CO 0Q.阳 如,即 OQ?A

4、Q= CO?AB设 OQ= m,则 AQ= 10- m,1 . m (10-m) =4x4 解得 m=2 或 m=8,当m = 2时，CQ= 火*=入$CQ,sin/CBQ=.PM = PC?sinZ PCQ=t, PN=PB?sin/ CBQ=I(10-t),1 (10-t),解得 t= 3时，同理可求得t =1626.当四边形【解析】PMQN为正方形时，t的值为J或了【分析】(1)先求出抛物线与 y轴的交点C的坐标，再根据矩形 ABCO及点A的坐标为(10, 0),求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。(2)设P (t, 4),利用抛物线

5、的解析式表示出点E的坐标，可求出 PR PE的长，再分情况讨论：当 /PBE=/OCD时，可证 PB&4OCD,利用相似三角形的性质，的长BP?OD= CO?PE建立关于t的方程，求出符合题意的 t的值；当/PBE=/CDO时，可得 PBEAODC,利用相似三角形的性质得出 BP?OC= DO?PE,建立关于t的方程，求出t 的值，综上所述就可得出符合题意的 t的值。(3)当四边形 PMQN为正方形时，贝U Z PMC= Z PNB= Z CQB= 90, PM= PN,再证明RtACOQsRtAQAB,利用相似三角形的性质得出OQ?AQ= CO?AB,设 OQ= m,贝U AQ= 10-m,

6、建立关于 m的方程，求出 m的值，再分别根据 m的值求出C。BQ的长，再利用 解直角三角形用含t的代数式分别表示出 PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程， 再解方程，就可求出符合题意的 t的值。CD= BC, AC与BD交于点E。2 .如图，点 A、B、C D是直径为 AB的。上的四个点,(1)求证：DC2=CEAC;AL(2)若 AE= 2EC,求 16 之值;（3）在（2）的条件下，过点 C作。O的切线，交AB的延长线于点 H,若Saach=外3 , 求EC之长.【答 案】 （1 ） 证明：CD = BC , Z DAC = / CDB , 又 / ACD=/ DCE , .AC

7、DADCE阳 CL.仅生DC2 = CE AC;(2)解：设 EC= k,则 AE= 2k, . . AC= 3k,由(1) DC2= CEAC= 3k2 , DC=W k,连接 OC, OD,O. CD= BC,，OC平分/DOB, .-.BC= DC=巾 k,.AB是。的直径，在RtAACB中，-但 V球一命入以，ADI jrd.OB=OC=OD=VJ k, . ./BOD= 120； . . / DOA= 60 ； . AD= AO, ： A0(3)解：. CH是。的切线，连接 CO, .1.OCXCH. . /COH= 60, /H=30, 过C作CG) AB于G,3CG = -k设

8、EC=k, . /CA- 30 ,又. /H=/CAB= 30,AC= CH= 3k, . . AH=八, W X 0 一 % s $ ACH=3 r一 X 343k X -A 二哂.O J,.1. k2 = 4, k=2,即 EC= 2.【解析】 【分析】(1)要证DC2=CEAC,只需证ACgDCE即可求解；(2)连接OC, OD,根据已知条件 AE= 2EC可用含k的代数式表示线段 AE、CE AC,由(1)可将CD用含K的代数式表示，在 RtACB中，由勾股定理可将 AB用含K的代数式 表示，结合已知条件和圆的性质可求解；(3)过C作CG, AB于G,设EC=k,由30度角所对的直角边

9、等于斜边的一半可将CG用/含K的代数式表示，根据三角形 ACH的面积=AH 乂 CG=%3即可求解。3.已知，如图，AB是。的直径，点 C为。上一点，OFLBC于点F,交。O于点E, AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点，且 / ODB=/ AEC.(1)求证：BD是。的切线；(2)求证：cE!=eh?ea；(3)若。的半径为 二，sinA= 5,求BH的长.【答案】(1)证明：如图， / ODB=Z AEC, / AEC=Z ABC,/ ODB=Z ABC,. ODBC,/ BFD=90 ; / ODB+/ DBF=90 , / ABC+Z DBF=90 , 即 / OBD=90 ,

10、 BDXOB,.BD是。O的切线(2)证明：连接AC,如图2所示: .OFXBC, 丽二五，/ CAE=Z ECB / CEA土 HEC, .CEHAAEC；CE EA而一不 .CE2=EH?EA/ AEB=90 ,0O 的半径为 -，sin/BAE=,X =3,.AB=5, BE=AB?sinZ BAE=5EA= 4=4 =4,屏-谖BE=CE=3CE2=EH?EA g.EH= ?,+ 由=1- g : 4在 RtBEH 中，BH=/?.【解析】 【分析】（1）要证 BD是。O的切线，只需证/ OBD=9 0 , / OBC+/ BOD=90 ；所以只须证/ ODB=Z OBC即可。由圆周角

11、定理和已知条件易得/ ODB=Z ABC,贝U / OBC+Z BOD=90 = / ODB+Z BOD,由三角形内角和定理即可得 / OBD=90 ;(2)连接AC,要证C邑EH?EA；只需证CEHAEC,已有公共角/ AEC再根据圆周角 定理可得ZCAE=Z ECB即可证CEHAEC,可得比例式求解；(3)连接BE,解直角三角形 AEB和直角三角形 BEH即可求解。4.如图1,经过原点 O的抛物线y=ax2+bx (awQ与x轴交于另一点 A (- , 0),在第 象限内与直线y=x交于点B (2, t).幽)(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B, O

12、, C为顶点的三角形的面积为 2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且 ZMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点P,使得POSMOB?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：.B (2, t)在直线y=x上，t=2, B (2, 2),4a b - 2- -a = 2 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得尸，解得加 ,，抛物线解析式为 y=2x2 - 3x(2)解：如图1,过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF CD于点F,图1 点C是抛物线上第四象限的点， 可设 C (t, 2t2 3t),则 E (t, 0) , D (

13、t, t),.OE=t, BF=2- t, CD=t- (2t23t) =-2t2+4t, / / /.Sa obC=Sa cdo+Sa cdB= - CD?OE+ CD?BF= (2t2+4t) (t+2t) =-2t2+4t, .OBC的面积为2, - 2t2+4t=2 ,解得 ti=t2=1 ,.C (1 , T)(3)解：存在.设 MB交y轴于点N,如图2,图二y-x . B (2, 2) , ZAOB=Z NOB=45 ； 在 AOB和NOB中/AO8 -上NOBOB = OB ZABO - .AOBANOB (ASA),J.ON=OA=E , N (0,二)，可设直线BN解析式为y

14、=kx+X ,把B点坐标代入可得2=2k+二，解得k=1 ,；3M Jf,12直线BN的解析式为y=7x+E ,联立直线BN和抛物线解析式可得了=# 一名，解得M (- ，J-), . C (1 , - 1) , Z COA=Z AOB=45 ；且 B (2, 2),，0B=2 W , OC= -,.POCAMOB,/OB. 明 优=2, /POCBOM,当点P在第一象限时，如图 3,过M作MGLy轴于点G,过P作PHLx轴于点H,X!图3 / COA=Z BOG=45 ；/ MOG= / POH,且 / PHO=Z MGO,=2,- M （一 .MG=,OG=，先， .PH= - MG=3/

15、6/j16当点P在第三象限时，如图 4,过M作MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可求得 PH= - MG=/4,OH=二二 OG=方P （一综上可知存在满足条件的点P,其坐标为（，【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线出点B的坐标，再将点 A、B的坐标分别代入 y=ax2+bx,建立y=x.、7L0的）交于点B （2, t）一次方程组，求出,可求a、b的值，即可求得答案。(2)过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BFL CD于点F,可知点 C、 D、E、F 的横坐标相等，因此设设C (t,2t23t),则 E (t, 0) , D (t, t) , F

16、(t,2),再表示出 OE、BF、CD的长，然后根据 Sxobc=Scdo+Sx cdb=2,建立关于t的方程，求出t 的值，即可得出点 C的坐标。(3)根据已知条件易证 AOBNOB,就可求出 ON的长，得出点 N的坐标，再根据点B、N的坐标求出直线 BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点 Man 一_一，_二;3，一，一八 的坐标，求出 OB、OC的长，再根据 POgMOB,得出处 ,/POC=/ BOM,然 后分情况讨论：当点 P在第一象限时，如图 3,过M作MGy轴于点G,过P作PHIx 轴于点H,证MOGsPOH,得出对应边成比例，即可求出点P的坐标；当点 P在第

17、三象限时，如图4,过M作MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可得出点 P的坐 标，即可得出答案。5.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB边上的中点，RtEFG的直角顶 点E在AB边上移动.(1)如图1,若点D与点E重合且EG AC、DF BC,分另1J交 AC BC于点M、N, 易证EM=EN;如图2,若点D与点E重合，将 EFG绕点D旋转，则线段 EM与EN的长 度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的R9EGF绕点D顺时针旋转角度 “(0V “V45 ).如图2,在旋转过程中，当 /MDC=15时，连接 MN,若AC= BC=

18、 2,请求出线段 MN的长；(3)图3,旋转后，若RtEGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB= 3AE 时，线段EM与EN的数量关系是 ;当AB= m-AE时，线段EM与EN的数量关系 是.【答案】(1)解：EM=EN原因如下： / ACB= 90 AC= BC D是 AB 边上的中点.DC=DB /ACD=/B=45 Z CDB= 90 / CD斗 / FDB= 90 / GDF= 90 / GDC+ / CDF= 90 ; / CDM= / BDN在CDM和BDN中 /MCD=/B, DC= DB, /CDM=/BDN, .CDMABDN DM = DN 即 EM= E

19、N(2)解：作DP,AC于P,则/ CDP= 45 CP= DP= AP= 1 / CDG= 15/ MDP = 30 Pb. cos/ MDP=地1 a/3目力.DM= 二,DM=DN, MND为等腰直角三角形(3) NE= 2ME; EN= (m -1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME证明：如图3,过点E作EPAB交AC于点P则4AEP为等腰直角三角形，/ PEB= 90.AE= PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又 / MEP+ / PEN= 90/ PEN+ / NEB= 90 / MEP= / NEB又 / MPE= /

20、B=45 .PMEABNE悭 PE工NE 班二，即 EN= 2EM由此规律可知，当 AB= m-AE时，EN=(m-1) ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出 DC= DB Z ACD= Z B= 45 / CDB= 90根据同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判断出 CDMABDN根据全等三角形的应边相等得出 DM = DN即EM=EN;(2)根据等腰直角三角形的性质得出/CDP= 45 CP= DP=AP= 1,根据角的和差得出附/MDP = 30 ；根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos/MDP=的得出DM的长，又DM =

21、DN,故4MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN 的长；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如图3,过点E作EP!AB交AC于点 巳 则4AEP为等腰直角 三角形，ZPEB= 90 ,根据同角的余角相等得出/ MEP = / NEB然后判断出 PMEABNE,根据相似三角形对应边成比例即可得出 u结论，由此规律可知，当 AB = m AE 时，EN= (m-1) ME356.已知顶点为抛物线(1)求抛物线的解析式；Y = a(x - -) 2 B( - -2)C(-.2)工 经过占 工 占 二 八、八 、E,抛物线与y轴相交于点F,在直(2)如图1,直线AB与x

22、轴相交于点M,y轴相交于点 线AB上有一点P,若/ OPM=/MAF,求APOE的面积；(3)如图2,点Q是折线 A-B-C上一点，过点 Q作QN/y轴，过点 E作ENI/ x轴，直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将 QEN沿QE翻折得到4QEN1 ,若点Ni落在x轴 上，请直接写出 Q点的坐标.E (0, -1) ， F (0,-)，M ( - - , 0)，解得：a=1,(2)解：设直线 AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得:直线AB的解析式为：y=-2x-1, / OPM=Z MAF,当 OP/ AF 时，AOPEA FAE3【答案】(1)解：把点/ 代入.OE=1,

23、FE= &t t,-2t-1 )抛物线的解析式为:解得:.OP=设点P.OP=化简得阈FA=(15t+2)(3t+2) =0,i1二 1 解得J,SaopE= - OE / ,212 1当 t=- /3时，Sa ope= E X 1Y = 15 ,综上，APOE的面积为心或J .(3) Q (-，泛).【解析】【解答】(3)解：由(2)知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E (0, -1),设 Q (m, -2m-1) N (n, 0),1. N (m,-1)QEN沿QE翻折得到QEN.NNi 中点坐标为(？，2) , EN=ENi ,.NNi中点一定在直线 AB上,Ni (-2-m, 0)

24、, . EN2=ENi2 ,1m2=(-工-m) 2+1,解得：m=-,.Q (，【分析】(1)用待定系数法将点 B点坐标代入二次函数解析式即可得出b的二兀一次方程(2)设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于 k和组，解之即可得直线 AB解析式，根据题意得 E (0, -1) , F (0, - J)据相似三角形的判定和性质得OP= J FA=1一，设点 P (t,-2t-1),根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式 POE的面积.(3)由(2)知直线 AB 的解析式为：y=-2x-1,E (0, -1),设 Q (m, -2m-1) ,Ni (n,卜一刃

25、0),从而得 N (m,-1),根据翻折的性质知 NNi中点坐标为(二， 三)且在直处件-日-日 3线AB上，将此中点坐标代入直线AB斛析式可得n=-=-m,即Ni (-m, 0),再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2= (- 1 -m) 2+1,解之即可得Q点坐标.7.如图，已知 4ABC的顶点坐标分别为 A (3, 0) , B (0, 4) , C (-3, 0)。动点 M, N 同时从A点出发，M沿 ZC,N沿折线 ZB-C ,均以每秒1个单位长度的速度移动，当一t秒。连接MN。个动点到达终点 C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为(1)求直线BC的解析式;(2)移动过程中，

26、将 4AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值 及点D的坐标；(3)当点M,N移动时，记 AABC在直线MN右侧部分的面积为 S,求S关于时间t的函数关系式。【答案】(1)解：设直线BC解析式为：y=kx+b,- B (0, 4) , C (-3, 0),r b = 43k * b b直线BC解析式为：y= 1 x+4.(2)解：依题可得： AM=AN=t,AMN沿直线MN翻折，点A与点点D重合,四边形AMDN为菱形，作NFx轴，连接AD交MN于O,. A (3, 0) , B (0, 4), .OA=3,OB=4, .AB=5, .M (3-t, 0), 又 ANFsAB

27、O,.AF=t, NF= $ t, N J 01 .N (3-J t, t t), O (3-彳 t,t), 设 D (x,y),又 D在直线BC上,(3)当0tW5时(如图2),2 .S= 54,=二 AM DF=-二 X tJ t= S t 工， 当5,Ch Nb =,10 - t NF I Z =,F .NF= P (10-t),口 3.S= 3-般-双=上 ACOB-二 CM NF,=- X6X-4-X(6-t) x； (10-t),=-t +t-12.【解析】【分析】(1)设直线BC解析式为：y=kx+b,将B、C两点坐标代入即可得出二元 一次方程组，解之即可得出直线BC解析式.(2

28、)依题可得：AM=AN=t,根据翻折性质得四边形AMDN为菱形，作 NF x轴，连接AD交MN于O,结合已知条件得 M (3-t, 0),心/骷又ANFsabo,根据相似三角形性质得 AB =此=面:3434R代入数值即可得AF= t,NF= 5t,从而得N (3- $t, 1 t),根据中点坐标公式得O (3- $t,:t),设D (x,y),再由中点坐标公式得 D (3-5 t, 5 t),又由D在直线BC上，代入即可得 D点 坐标.(3)当0tW5时(如图2) , AABC在直线 MN右侧部分为AAMN,根据三角形 面积公式即可得出 S表达式. 当5tw对，AABC在直线 MN右侧部分为

29、四边形 ABNM,由CNFCBQ 根据相似三角形性质得 益=而，代入数值得 NF= (10-t),最后由 S=S恕J - 5抽 三 ACOB- /CM-NF,代入数值即可得表达式.8.如图，矩形 ABCD的边AB=3cm, AD=4cm,点E从点A出发，沿射线 AD移动，以 CE 为直径作圆 。，点F为圆O与射线BD的公共点，连接 ER CF,过点E作EGJ EF, EG与圆O相交于点G,连接CG.(1)求证：四边形 EFCG是矩形;(2)当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点 E移动的过程中，矩形 EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由;

30、.CE为。O的直径， / CFE4 CGE=90.EG EF,/ FEG=90. / CFE4 CGE4 FEG=90. 四边形EFCG矩形(2)存在.连接OD,如图2，图2 四边形ABCD是矩形，/ A=Z ADC=90 : 点O是CE的中点，OD=OC.点D在。O上. / FCE4 FDE, Z A=Z CFE=90, .CFEADAB. 的 CbS 丛。垢=(物)2 . . AD=4, AB=3,.BD=5,CFSacfe= ( / ) 2?SadabCP=旭 X X 3X43C=8S 矩形 abcd=2S cfe3C= .四边形EFCG矩形， .FC/ EG/ FCE=/ CEG /

31、GDC=/ CEG / FCE4 FDE,/ GDC=/ FDE / FDE+Z CDB=90 , / GDC+Z CDB=90 ,/ GDB=90 I .当点E在点A (E)处时，点F在点B (F)处，点G在点D (G处，如图2所示.此时，CF=CB=4n ,当点F在点D (F)处时，直径 F GLBD,如图2所示,此时O O与射线 BD相切，CF=CD=3m .当CF BD时，CF最小，此时点 F到达F， 如图2所示.Sa bcc=BC?CD=BD?CF.4X 3=5 X .CF12，CF J =5 V CFW4 3CF-. S 矩形 abcD=,X ( 5 ) 2 S矩形 abcdW 乂

32、4.竺w 幽形 abcdW 1.210b.矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为.【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，可得出 /CFE4 CGE=90,根据垂直的定义可证得/FEG=90,再根据四个角是直角的四边形是矩形，即可得证。(2)易证点 D在。上，根据圆周角定理可得 ZFCE=Z FDE,从而证到CFa4DAB,根3CP据相似三角形的性质，可得出S矩形abcd=2Slcfe= f ,分情况讨论：I .当点E在点A(E)处时，点 F在点B (F)处，点 G在点D (G处)；n .当点F在点D (F)处时，直径F G上BD; m .当CF BD时，CF最小，此时点 F到达F

33、 ；求出CF的范围，就可求 出S矩形EFCG的范围。二、圆的综合9.如图，OM交x轴于B、C两点，交y轴于A,点M的纵坐标为2. B ( - 3 J3 , O),C ( 33, O) .(1)求。M的半径；(2)若CHAB于H,交y轴于F,求证：EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4； (2)见解析；(3) 4.【解析】【分析】(1)过M作MTLBC于T连BM,由垂径定理可求出 BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；(2)连接AE,由圆周角定理可得出 /AEC4 ABC,再由AAS定理得出AEHAFH,进 而可得出结论；(3)先由(1)中ABMT的边长确定出/BMT的

34、度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案.【详解】(1)如图(一)，过 M作MTLBC于T连BM,.BC是。O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，BT=TC=1 BC=2向,.BM=出2 4=4；(2)如图(二)，连接 AE,则/AEC=/ ABC, .CE AB, / HBC+-Z BCH=90 在COF中， / OFC-+Z OCF=90,/ HBC=Z OFC=Z AFH,在 AEH和AFH中，AFH AEHAHF AHE ,AH AH.AEHAFH (AAS), .EH=FH;(3)由(1)易知，/BMT=/BAC=

35、60, 作直径 BG,连 CG,贝U / BGC=Z BAC=60 , 。0的半径为4, .CG=4,连AG,/ BCG=90 ,.-.CGx 轴， .CG/ AF, / BAG=90 ； AGXAB, .CE AB,.AG/ CE,四边形AFCG为平行四边形， .AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根 据题意作出辅助线是解答此题的关键.uuu,10.如图，4ABC是。的内接三角形，点 D在BC上，点E在弦AB上(E不与A重 合)，且四边形 BDCE为菱形.(1)求证：AC=CE(2)求证：BG - AC2=AB?AC；(3)已知

36、OO的半径为3.AB 5若任=5,求BC的长；AC 3AB . 当 为何值时，AB?AC的值最大?ACyD3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BC=4 J2 ；2【解析】分析：（1）由菱形知/D=/BEC,由/A+/D=/BEC叱AEC=180可得/ A=/AEC,据此得 证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点 G,则 _ . BE BG ndCF=CG=AC=CE=CDffiBEMBGA 得 ,即 BF?BG=BE?AB 将 BF=BC-CF=BC-BF BAAG BG=BC+CG=BC+A伏入可得；（3）设 AB=5k、AC=3k,由

37、 BdlAC2=AB?AC知 BC=2，6 k,连接 ED交 BC于点 M,1 一.z.RtA DMC 中由 DC=AC=3k MC= 3 BC=J6 k 求得 DM=JcD2 CM 2 =V3 k,可知 OM=OD-DM=3-J3,在 RtCOM 中，由 OM2+MC2=OC2可得答案. 设 OM=d ,则 MD=3-d , MC2=O(?-OM2=9-d2,继而知 BC2= (2MC) 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由 (2)得AB?AC=BC-AC2,据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(1)二.四边形EBDC为菱形

38、，/ D=Z BEC四边形ABDC是圆的内接四边形，/ A+Z D=180 ；又/ BEC吆 AEC=180,/ A=Z AEC, .AC=CE(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点 G,则CF=CGA由(1)知 AC=CE=CD .CF=CG=AC四边形AEFG是。C的内接四边形,/ G+Z AEF=180 , 又 / AEF+/ BEF=180,/ G=Z BEF, / EBF=Z GBA,.BEFBGA,BE BG 目口 ,即 BF?BG=BE?ABBF BA BF=BC- CF=BG_ AC BG=BC+CG=BC+AC BE=CE=AC (BC-

39、AC) ( BC+A。=AB?AC,即 BC2 - AG=AB?AC;(3)设 AB=5k、AC=3k, BC2 - AC2=AB?AC,BC=2,6 k,连接ED交BC于点M, 四边形BDCE是菱形， DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线， 在中,DC33k MC=；BC%k, 1- DM= Cdd2 CM 2 瓜,.OM=OD- DM=3 - V3k,在 RtACOM 中，由 OM2+MC2=OC2得(3一百4 2+ (而 k) 2=32,解得：k=2囱或k=o (舍)，3，BC=26 k=4 .2 ；设 OM=d,则 MD=3 - d, MC2=O(? OM2=9 d2, .BC2=

40、 (2MC) 2=36 4d2,AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由(2)得 AB?AC=BCAC2=-4d2+6d+18-3)42 812+,4381OM=一时，AB?AC最大，最大值为 一，442 27DC2=,2.AC=DC=3-6 ,2，AB=9l,此时些3.4AC 2点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.11.如图，4ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，/PAC=Z B, AD为。的直径, 过C作CGL AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直

41、线PA与。的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB;(3)若。的直径为10, AC=2j5, AB=4j5,求4AFG的面积.【答案】(1) PA与。相切，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 3.【解析】试题分析：(1)连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得/B=/D,由已知/PAC=Z B,可证得 DA，PA,继而可证得 PA与。相切.(2)连接BG,易证得AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论(3)连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 AEFABD,即可求得 AE的长，继而可求得 EF与EG的长，则可求得答案.试题

42、解析：解：(1) PA与。相切.理由如下：如答图1 ,连接CD,.AD 为。的直径,/ACD=90C/ D+/CAD=90 : . /B=/D, ZPAC=Z B,，/PAC=/ D. / PAC+Z CAD=90 ；即 DA PA.丁点A在圆上， .PA与。相切.答图1(2)证明：如答图2,连接BG,.AD 为。的直径，CG AD,Ac Ad.，/AGF=/ ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG: AB=AF: AG. . AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD,AD 是直径，Z ABD=90. AG2=AF?AB, AG=AC=2而，AB=4i/5, ，AF=V5.

43、-. CG AD,/ AEF=/ ABD=90 . / eaf=z BAD,AEAAEF ABD. ABEF AF2 AE2 1 .EG Jag2 AE2 4, FG egc1 1 c c c S AFG FG AE 3 2 3.22AFAE .5 ，即=，解得：AE=2.AD45 10EF 4 1 3.考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三 角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积12 .如图，PA PB是。的切线，A, B为切点，ZJAPB=60,连接PO并延长与。交于 C点，连接AC、BC.(I )求/ ACB的大小；(n )若

44、。半径为1,求四边形 ACBP的面积.【解析】分析：(I)连接AO,根据切线的性质和切线长定理，得到 OAL AP, OP平分/APB,然 后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30。角的直角三角形的性质，得到 / ACB的度数；(n )根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角 形的面积即可.PA、PB是。的切线,OAXAP, OP平分/APB, J，/ APO=- / APB=30 ,2/ AOP=60 ；,.OA=OC,Z OAC=Z OCA,，1 八 o/ ACO=- AOP=30 ,2同理可得/BCP=30,/ ACB=60(n )在 RtOPA

45、中， / APO=30 , ，AP= 73 OA= 73 , OP=2OA=2, .OP=2OQ而 Sa opa= x 1 密,21. 3Saaoc= & pac=,24四边形 ACBP的面积=2S/xACP=332点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质 是解题的关键.13 .阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半先构造 辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A与点B的坐标分别是(1,0), (5, 0),点P是该直角坐标系内

46、 的一个动点.(1)使/APB=30的点P有 个；(2)若点P在y轴正半轴上，且/APB=30,求满足条件的点 P的坐标；(3)设sin/APB=m,若点P在y轴上移动时，满足条件的点P有4个，求m的取值范 围.【答案】（1）无数；（2） （0, 2/3 、7）或（0, 2百）；（3） 0 m,如图1. 点C的坐标为（3, 2石），.CD=3, OD=2 6. P1、P2 是。C与 y 轴的交点，/ ARB=/AF2B=30. . CP2=CA=4, CD=3, .,.巳=0_32 = J7. 点 C 为圆心，CD） P1P2,P1D=P2D=V7 ,P1 （0, 26 + 万）,P2 （0,

47、 273 -（3）当过点 A、B的。E与y轴相切于点 P时，/APB最大.理由：可证：/APB=/AEH,当/APB最大时，/AEH最大.由sinZAEHk 得当AEAE最小即PE最小时，/AEH最大.所以当圆与 y轴相切时，/APB最大./APB为锐角，.sin/APB随/ APB增大而增大，.连接EA,彳EHIx轴，垂足为 H,如图2. ,OE与y轴相切于点 P,，PEOP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=90 ；，四边形 OPEH是矩形，. . OP=EH,2 2PE=OH=3,EA=3. sinZ APB=sinZAEH= , -m 的取值氾围是 0m

48、.3 3t m * f、r 7小图i点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与 性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强.同时也考查了创造性思维，有一 定的难度.构造辅助圆是解决本题关键.14. （8分）已知AB为。的直径，OC,AB,弦DC与OB交于点F,在直线 AB上有一点 E,连接ED,且有ED= EF.I 阴怕（1）如图，求证：ED为。的切线；（2）如图，直线ED与切线AG相交于G,且OF= 2,。的半径为6,求AG的长.【答案】（1）见解析；（2） 12【解析】试题分析：（1）连接OD,由ED=EF可得出/EDF=/EFD,由对顶角相等可得

49、出/EDF=/CFQ 由 OD=OC可得出 / ODF=/OCF 结合 OC AB 即可得知 /EDF+/ODF=90 ；即/ EDO=90。，由此证出ED为。的切线；（2）连接OD,过点D作DMLBA于点M,结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED EO的长度，结合/DOE的正弦、余弦值可得出 DM、MO的长度，根据切线的性质可知 GA EA,从而得出DM/GA,根据相似三角形的判定定理即可得出口“ EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：(1)连接 OD,ED=EF,/ EDF=Z EFD, = / EFD=Z CFO, . / EDF=/CFO.OD=OC, . . / ODF=/OCF / OCX AB,，/CFG/OCF=/EDF+/ODF=/EDO=90 ； . . E