【教育资料】第一章4.1~4.2学习专用

1、教育资源4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性【学习目标】1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间白关系.3.理解周期函数的定义.知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P, PMx轴于 M,设 P(x, y), |OP|=r.思考1角a的正弦、余弦分别等于什么？答案 sin a= y, COS a= x.思考2对确定的锐角 % sin % cos a的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.思考3 若取|OP|

2、=1时，Sin a, COS a的值怎样表示？答案 sin a= y, COS a= x.梳理(1)对于任意角 使角a的顶点与原点重合，始边与 X轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u, v),那么点P的纵坐标v定义为角a的正弦函数，记作 v= sin a；点P的横坐标U定义为角a的余弦函数，记作 U= cos a(2)对于给定的角 a,点P的纵坐标V、横坐标U都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数知识点二正弦、余弦函数的定义域思考 对于任意角 a, sin a, COs a都有意义吗？答案 由三角函数的定义可知，对于任意角a, s

3、in % cos a都有意义.梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u, v),则 sin a= v, cos a= u.当 a为第一象限角时，v0, u0,故 sin a0, cos o0, 同理可得a在其他象限时三角函数值的符号.梳理 正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin a十十一一cos a十一一十知识点四 周期函数思考 由s

4、in(x+ 2k 7) = sin x(kCZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数 的变化周期吗？ 答案 2兀，4 Tt, 6 Tt, 2 71,等都是函数的周期梳理一般地，对于函数 f(x),如果存在非零实数 T,对定义域内的任意一个x值，都有f(x + T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kKkC Z, kw0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2兀是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个,称为最小正周期，简称为周期1 .函数f(x)=x2满足f(3+ 6)=f( 3),所以f(x)=x2是以6为周期的周期

5、函数.(X )提示周期函数需满足对定义域内每一个值x,都有f(x+ T) = f(x),对于f(x)=x2, f(0)=0, f(0+ 6)=f(6)=36, f(0)wf(0+6), .f(x)=x2不是以 6 为周期的周期函数.2 .任何周期函数都有最小正周期.(X )提示 对于常函数f(x)=c,任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角必边上一点坐标求三角函数值例1已知。终边上一点P(x, 3)(xw0),且cos 0= Wx,求sin。的值.考点正弦、余弦函数定义的应用题点已知角a终边上一点坐标求三角函数值教育资源解 由题意知r=

6、|OP|=Jx2+9,由三角函数定义得cosxw 0, x= =y.当 x=1 时，P(1, 3),此时sin 0=,3 12+323 ,1010当 x=- 1 时，P( 1, 3),综上,此时sin 0=3 .1010sin 0的值为3 1010反思与感悟(1)已知角“终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三 角函数值.在a的终边上任选一点 P(x, y),设P到原点的距离为r(r0),则sin a= ；, cos a=:.当已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角a的终边上点的坐标以参数形式

7、给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1 已知角a的终边过点 P( 3a, 4a)(aw0),求2sin a+ cos a的值.考点三角函数定义的应用题点已知角a终边上一点坐标求三角函数值解 r=-3aj+(4af =5|a|.若a0,则r=5a,角”在第二象限，35y 4a 4x 二-r-5a-5,1 5a -2sin a+ cos8 3 一=55=1.若 a0时，r= VlOk, a是第四象限角,y3k3V101 rV10kjsin a= = r-l = ,=-=,= J10,r 10k10cosa x k” .3 . 10sin= 10xcos民- 310-0 i：+ 3

8、710=- 3710+3710=0.(2)当 k0,则“为第一象限角，r=2a,3a 3所以 sin之-,2a 2a 1COS a= 2a = 2.若a 0, COS a0,-210 =- 360 + 150, 210。是第二象限角，cos (-210 )0, .sin 145 cos(-210)0.人 兀一3兀30, cos 4v0,sin 3 cos 40, cos Bv0, . B 为钝角.故选B.类型三周期性例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x+2) = f(x),求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；1(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x + 2) =

9、求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数.fx考点函数的周期性题点证明函数是周期函数证明 (1) . f(x+ 4) = f (x+ 2)+2= f(x+2)= f(x) = f(x),由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.11-、(2) . f(x+ 4) = f (x+ 2)+2 = -= - = f(x),f(x+2)。3由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T,对定义域内任意实数 X,都有 f(x+ T)=f(x).(2)一般地，如果f(x+a)= f(x),那么 f(x)的周期为 2a(aw

10、。)；如果 f(x+a)=:,那么 f(x)fx的周期也为2a(aw0).跟踪训练 4 若函数 y=f(x)(xCR)满足 f(x)= f(xa)+f(x+a)(a0, cos a 24-办.4 .点 P(sin 2 016 , cos 2 016 )位于第 象限.考点正弦、余弦函数值符号的判断题点正弦、余弦函数值符号的应用答案三解析 2 016 =5X 360 +216,，2 016 是第三象限角，sin 2 016 0, cos 2 016 0,则 r= V5x,2x5x_5从而 sin a= 5 = 5 , cos a= 5 = 5 ,.cos 叶 sin a= 3J5 .若 x0,则

11、r=5x，从而 sin “=芈，cos-V5x5cos 叶 sin 一空5 .1 .三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函 数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点2 .三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想3 .正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三 角函数值转化为求 02M或0360）角的三角函数值一、选择题21 .已知a是第

12、二象限角，P（x,45）为其终边上一点，且 cos a= 丁x,则x的值为（A. V3B.亚考点 题点 答案解析c.-V2d.-V3正弦、余弦函数定义的应用已知角a终边上一点坐标求三角函数值D. x=0 或 2(x2+5)=16, . x= 0 或 x2=3,，x= 0（ 丁 a是第二象限角，舍去）或x= 1,则f Af :的值是（）A.1B.-1C. 土D.无法确定考点周期函数的应用题点应用函数的周期性求值答案 A解析17y f 在 5 , F在 11 6 尸 5 5+3.rf & 厂 1,故选A.3.已知角a的终边上一点的坐标为sin竽，c0s则角a的最小正值为（）B 2jtD.11 71

13、T考点三角函数定义的应用题点已知角a终边上一点坐标求角a答案 D到江 2兀亚 2 %1解析 Sin y =彳,COS 万=2， 角a的终边在第四象限,2兀 cos 且 tan a=32兀 sin -3 角a的最小正值为2兀一#=鲁6634 .已知角a的终边经过点P(3, 4t),且sin(2kTt+a) = (kCZ),则t等于(5fl 9 c 9 c3 c 3A.-w B.w C.4 D4考点三角函数定义的应用题点已知三角函数值求终边上一点坐标答案 A的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标为正数,解析 sin（2 k tt+ a）= sin a= 3v0,则5所以a是第四象限角，所以tv 0

14、.又sin a= 4t 则4t =_3所以t=一凳 9藐？V9+t25165 .某点从点（1, 0）出发，沿单位圆x2+y2= 1按逆时针方向运动2；械长到达Q点，则Q点的坐标为（）2B._32D.考点三角函数定义的应用题点 已知角a求三角函数值答案 A解析由三角函数定义可得Q cos 3, sin cosJ1. sin江金3232Q (- 2 当)6 .如果点P（sin 0+ cos 0, sin 0cos 位于第二象限，那么角 。的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限考点三角函数值符号的判断题点利用三角函数值符号判断角所在象限答案 C解析 由题意知 sin 0+ c

15、os 00,sin 0 0, $cos 00,所以“是第一或第二象限角.10 .若角a的终边与直线 y=3x重合且sin K0 ,又P(m, n)是a终边上一点，且|OP|=J而, 则 m n =.考点三角函数定义的应用题点已知角a终边所在直线求参数值答案 2解析y= 3x且sin必0 ,点P(m, n)位于y=3x在第三象限的图像上，且 m0, n/5+6 6乖一季或考点三角函数值符号的判断题点三角函数值符号的判断答案4, 0, 2cos a, 综上，sin a+ sn工的值为一四、探究与拓展y |sin x| , |cos x| 2|sin xcos xL14 .函数y=*+袤Mo端的值域是解析当x为第一象限角时,sin x0,cos x0,sin xcos x0,y=0;当x为第二象限角时,sin x0,cos x0,sin xcos x0,y=2；当x为第三象限角时,sin x0,cos x0,y= - 4;当x为第四象限角时,sin x0,sin xcos x0,y=2.由sin xw0, cos xw0知，x的终边不能落在坐标轴上,故函数 y=!smx+g