【数学】高考试题分类汇编：文科立体几何答案版.doc

1、全国高考数学试题汇编文科立体几何（答案分析版）2015安徽卷一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 48B. 32+817C. 48+817D. 80C【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱（如图所示）,所以该直四棱柱的表面积为1S= 2><2* （2 + 4）X4+4X4+2X 4+2X1+16x 4= 48+8后.2015北京卷某四棱锥的三视图如图1 1所示，该四棱锥的表面积是 （）A. 32B. 16+16*C. 48D. 16 + 32班B【解析】由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4,高为2的正四棱锥，所以其表面积为 4

2、X4+ 4XX4X 2或=16+16/2,故选 B.2015广东卷如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角 形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）C【解析】由三视图知该几何体为四棱锥，棱锥高2015湖南卷设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）2/3, 2,所以底面积为对角线长分别为11 一 一所以 V = -Sh= 1*26><3=2#.33一 99A. 9兀+ 42B. 36 计 18C.-tt+ 12D.-tt+ 18D【解析】由三视图可得这个几何体是由上面是一个直径为3的球，下面是一个长、宽都为3高为2的长方体所构成的几何体，则其体

3、积为：V=Vi+V2=4X兀X 3 3+3X3X2329，=2兀+ 18,故选D.2015辽宁卷一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2/3,它的三视图中的俯视图如图13所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（）A. 4B, 273C. 2D. .3M, N是中点，矩形MNC1C为B【解析】 由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中 左视图.由于体积为20 所以设棱长为 a,则1*a2xsin60 °x a = 23,解得a=2.所以CM = 8 故矩形MNCiC面积为2，3,故选B.2015课标全国卷在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图 可以为（）

4、D 【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成 的，如图，故侧视图选 D.2015陕西卷某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A. 8-27B. 8-fC. 8-2 兀D.25333A【解析】 主视图与左视图一样是边长为2的正方形，里面有两条虚线，俯视图是边长为2的正方形与直径为 2的圆相切，其直观图为棱长为 2的正方体中挖掉一个底面直径为2的圆锥，故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差，V正=23 = 8, V锥=14、=刍r=1,332 兀，. 一h=2）,故体积 V=8 2 ,故答案为 A. 32015天津卷一个几何体的三视图如图所示 （单位：m）,

5、则该几何体的体积为 m3.4【解析】 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都 为1,高为2的长方体叠加而成，故其体积 V = 2X 1X1+ 1X1X2= 4.22015浙江卷若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）2015福建卷如图1 3,正方体 ABCDAiBiCiDi中，AB=2,点E为AD的中点，点在CD上，若EF /平面ABiC,则线段EF的长度等于/ 【解析】 EF/平面 ABiC, EF?平面 ABCD,平面 ABCD n平面 ABiC = AC, .EF /AC,又E是AD的中点， .F是CD的中点，即 EF是4ACD的中位线，i

6、i- EF=iiAC=iiX22 = .20i5浙江卷若直线l不平行于平面 “且l?a,则（）A. a内的所有直线与l异面B. a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与 l平行D. a内的直线与l都相交B【解析】 在a内存在直线与l相交，所以A不正确；若a内存在直线与l平行，又 l ?a,则有l / %与题设相矛盾，B正确，C不正确；在a内不过l与a交点的直线与l异 面，D不正确.2015广东卷正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对 角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A. 20 B. 15 C. 12 D. 10D【解析】 一个下底面5个点，每个下

7、底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有5X2= 10条.2015四川卷l1, l2, l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. l山2, l2±l3? l1 / l3B. l1±l2, l2 / l3? l11l3C. l1 / l2/ l3? l1, l2, l3 共面D. l1, l2, l3 共点？ l1, l2, l3 共面B【解析】 对于A ,直线l1与l3可能异面；对于 C ,直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D ,直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.2015湖北卷设球的体积为

8、 V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是（）A. V1比V2大约多一半B. V1比V2大约多两倍半C. V1比V2大约多一倍D. V1比V2大约多一倍半D 【解析】 设球的半径为 R,则V1 =：tR3.设正方体的边长为 a,则V2=a3.又因为2R=J3 3a,所以 V1=3 兀乎a 3=当旧3, V1 - V2 =y兀1 a3 1.7a3.2015辽宁卷已知球的直径 SC = 4, A、B是该球球面上的两点，AB=2, / ASC= / BSC= 45°,则棱锥S- ABC的体积为（）,32 .，34,35.3a. 3 b. 3 c. 3 d. 3C 【解析】 如

9、图1 6,由于SC是球的直径， 所以/ SAC=/SBC=90°,又/ASC=/ BSC= 45°,所以 SAC、 BSC为等腰直角三角形，取 SC中点D,连接AD、BD.由此得SCX1 一AD , SCXBD ,即 SC，平面 ABD.所以 Vs abc= VS; abd+ Vc abd = Saabd SC. 3由于在等腰直角三角形4 SAC中/ ASC= 45°, SC= 4,所以AD = 2.同理BD = 2.又AB = 2,所以 ABD为正三角形，所以 Vs-abc =、Sabd SC= ；X ；X 22 sin60 幺 4=今§,所以选 C.

10、 33 232015课标全国卷已知两个圆锥有公共底面， 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球 面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 焉，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大 者的高的比值为.1【解析】 如图，设球的半径为 R,圆锥底面半径为r,则球面面积为4kR2,圆锥底面 3面积为<2,由题意 <2= 12 tR2,所以 r = $R,所以 OOi=：OA2 - OiA2 = R2-# =2R, 1311所以 SO1 = R+2R=2R,S1O1=R 2R=2R,R S1O121所以W=W=3.22015四川卷如图13,半径为4的球。中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球

11、 的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .图1 3大纲文数15.G82R-2r+2h- 232兀【解析】 本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用.如图i 4为轴截面，令圆柱的高为 h,底面半径为r,侧面积为S,球半径一_._.="+R2r2 一 一 一即 h= 2R2 r2.因为 S= 2 7fh = 4 /小2 r2 = 4 r2 -R2 r2 < 4 a / 2=2 tR2,取2ccc等号时，内接圆枉底面半径为2-R,图为J2R,S球S圆柱=4jR2 2kR2=2tR2=32兀.2015全国卷已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，E为CiDi的中点，则异面直

12、线 AE与BC 所成角的余弦值为.2-【解析】 取AiBi的中点F,连EF,则EF / BC, / AEF是异面直线 AE与BC所成的335角，设正万体的棱长为 a,可得AE=2a, AF = /a,在4AEF中，运用余弦定理得cos/ AEF =|,即异面直线AE与BC所成角的余弦值为2.3320i5安徽卷如图i4, ABEDFC为多面体，平面 ABED与平面 ACFD垂直，点 O在线 段 AD 上，OA=i, OD = 2, OAB, OAC , ODE, ODF 都是正三角形.(i)证明直线BC/EF;(2)求棱锥F-OBED的体积.图1 4【解答】（1）证明：设G是线段DA与EB延长线

13、的交点，由于 OAB与 ODE都是正三角1形，OA=1, OD = 2,所以 OB 触2DE, OG = OD = 2.同理，设G'是线段DA与FC延长线的交点，有 OC触2dF, OG' =OD=2,又由于G和G'都在线段DA的延长线上，所以 G与G'重合.1. 1在 GED和 GFD中，由OB触gDE和OC触qDF ,可知B和C分别是GE和GF的中点.所 以BC是 GEF的中位线，故 BC / EF.,。，3(2)由 OB = 1, OE = 2, /EOB = 60 ,知 Saeob=.而OED是边长为2的正三角形，故 Saoed = 73.3-3所以 S

14、OBED = SEOB+ SaOED = 2 .过点F作FQLDG,交DG于点Q,由平面 ABED，平面 ACFD知，FQ就是四棱锥 FOBED的高，且FQ = 43,所以Vf OBED =3FQ S 四边形 OBED = 2.2015北京卷图1 4如图 1 4,在四面体 PABC 中，PCXAB, PAX BC,点 D, E, F, G 分别是棱 AP, AC, BC,PB的中点.(1)求证：DE/平面BCP;(2)求证：四边形 DEFG为矩形；(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.课标文数17.G42015北京卷【解答】(1)证明：因为D, E分别为AP,

15、AC的中点，图1 5所以 DE / PC.又因为 DE?平面BCP, PC?平面BCP,所以DE /平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点, 所以 DE / PC / FG ,DG / AB / EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCX AB,所以DEDG,所以平行四边形 DEFG为矩形.存不点Q满足条件，理由如下：连接DF, EG,设Q为EG的中点.1由(2)知，DF A EG=Q,且 QD= QE=QF = QG = EG.分别取PC、AB的中点 M, N,连接 ME、EN、NG、MG、MN.与(2)同理，可证四边形 MENG为矩形，其对角线交点为

16、 EG的中点Q,且 QM = QN = ；EG.所以Q为满足条件的点.2015江苏卷如图1 2,在四棱锥 P-ABCD中，平面 FAD,平面 ABCD , AB = AD, / BAD = 60 °, E、F分别是 AP、AD的中点.图1 2求证：(1)直线EF/平面PCD;(2)平面BEFL平面 PAD.课标数学16.G4, G52015江苏卷本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考 查空间想象能力和推理论证能力.【解答】 证明：在 PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF/PD.又因为EF?平面 PCD, PD?平面 PCD,图1 3所以直线EF /平面P

17、CD .(2)连结BD,因为AB=AD, /BAD = 60°,所以 ABD为正三角形，因为 F是AD的中点, 所以BFXAD.因为平面 PAD，平面 ABCD, BF?平面 ABCD ,平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BFL平面 PAD.又因为BF?平面BEF,所以平面 BEFL平面 PAD.图1 812015课标全国卷如图18,四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB = 60°, AB=2AD, PD，底面 ABCD.(1)证明：PAXBD;(2)设PD=AD=1,求棱锥 DPBC的高.课标文数18.G5, G112015课标全国卷【解答

18、】(1)证明：因为/ DAB = 60°, AB=2AD, 由余弦定理得 BD = V3AD,从而 BD2+AD2=AB2,故 BDXAD.又PDL底面 ABCD,可得BDXPD,所以BDL平面 PAD,故PAXBD.(2)如图，作DEXPB,垂足为E.已知PDL底面 ABCD,则PDXBC.由(1)知 BDLAD,又 BC/AD,所以 BC± BD.图1 9故 BC，平面 PBD, BCXDE.则DE，平面PBC.由题设知 PD = 1,则 BD=V3, PB = 2.根据 DE PB=PD BD 得 DE =乎.即棱锥DPBC的高为序.2015 陕西卷如图 18,在 A

19、BC 中，/ ABC = 45°, / BAC=90°, AD 是 BC 上的高, 沿 AD 把4ABD 折起，使/ BDC = 90°.(1)证明：平面ADBL平面BDC;(2)若BD = 1,求三棱锥 D ABC的表面积.图1 8课标文数16.G52015陕西卷【解答】（1）二,折起前AD是BC边上的高, 当4ABD 折起后，AD ± DC, ADXDB.又 DBA DC = D. .AD,平面 BDC. AD 平面 ABD, 平面ABD,平面BDC.(2)由(1)知，DAXDB, DB ± DC , DC ±DA, DB = D

20、A= DC = 1.-.AB = BC= CA=甲.从而1S»A DAB = S»A DBC = S»A DCA =2*1X1 =字abc= 2x y12x 巾 x sin60 °=里.，表面积S= 2*3+=电理 2015江苏卷如图1 2,在四棱锥 P ABCD中，平面PAD，平面 ABCD , AB = AD, / BAD = 60°, E、F分别是 AP、AD的中点.图1 2求证：（1）直线EF/平面PCD;（2）平面BEFL平面 PAD.课标数学16.G4, G52015江苏卷本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考 查空间想象

21、能力和推理论证能力.【解答】 证明：在 PAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以EF/PD.又因为EF?平面 PCD, PD?平面 PCD,图1 3所以直线EF /平面PCD .(2)连结BD,因为AB=AD, /BAD = 60°,所以 ABD为正三角形，因为 F是AD的中点, 所以BFXAD.因为平面 PAD，平面 ABCD, BF?平面 ABCD , 平面PAD n平面 ABCD = AD,所以BFL平面 PAD.又因为BF?平面BEF,所以平面 BEFL平面 PAD.2015辽宁卷如图18,四边形 ABCD为正方形，图1 8-1-八1QA，平面 ABCD, PD/

22、QA, QA = AB=PD.证明：PQ，平面DCQ ;(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P DCQ的体积的比值.课标文数18.G72015辽宁卷【解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA，平面 ABCD,所以平面 PDAQ，平面 ABCD ,交线为 AD.又四边形 ABCD为正方形，DCLAD,所以DC，平面PDAQ,可得PQ± DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ = PQ = #PD,则PQXQD.所以PQL平面DCQ.(2)设 AB= a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥 Q-ABCD的体积Vi=；a3.3由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ = 4

23、2a, DCQ的面积为当a2,所以棱锥P-DCQ的体积V2 = 533故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值为1.12015湖南卷如图15,在圆锥PO中，已知PO = V2,。的直径 AB=2,点C在AB 上，且/ CAB=30°, D为AC的中点.(1)证明：AC，平面POD;(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.图1 5课标文数19.G5, G112015湖南卷【解答】(1)因为OA=OC, D是AC的中点，所以 ACXOD.又PO,底面。O, AC?底面。O,所以ACXPO.而OD, PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC,平面POD.(2)由(1)知

24、，AC,平面POD,又AC?平面FAC, 所以平面POD，平面PAC.在平面 POD中，过。作OH，PD于H ,则OH，平面PAC.图1 6连结CH,则CH是OC在平面PAC上的射影, 所以/ OCH是直线OC和平面PAC所成的角., 1在 RtODA 中，OD=OAsin30 = /.在 RtAPOD 中，PO OD m*2 虚0H = 5O2+OD2=27i = 3.在 RtOHC 中，sinZOCH=0H=OC 3 .故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为孝图1 72015浙江卷如图17,在三棱锥 P-ABC中，AB=AC, D为BC的中点，POL平面 ABC,垂足O落在线段AD上.证明

25、：APLBC;(2)已知 BC = 8, PO=4, AO=3, OD = 2,求二面角 BAPC 的大小.课标文数20.G112015浙江卷【解答】(1)证明：由AB = AC, D是BC中点，得ADLBC,又 PO,平面 ABC,得 POXBC,因为POP AD = O,所以BC,平面 PAD,故BCXAP.(2)如图，在平面 APB内作BMFA于M,连 CM. 因为BCXPA,得FA,平面BMC ,所以APXCM.故/ BMC为二面角 B APC的平面角.在 RtADB 中，AB2=AD2+BD2 = 41,得 AB=41.在 RtPOD 中，PD2=PO2+OD2,在 RtAPDB 中

26、，PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=po2 + od2+bd2=36,得 PB = 6.在 RtPOA 中，FA2= AO2+ OP2 = 25,得 PA = 5.又 cos / BFA =PA2 + PB2-AB22PA PB13'从而 sin/BPA=R23 -故 BM = PBsinZ BPA= 42.同理 CM=442.因为 BM2+MC2 = BC2,所以/ BMC = 90°,即二面角B APC的大小为90°.图1 52015福建卷如图15,四棱锥 P-ABCD中，PAL底面 ABCD , ABLAD,点E在线段AD 上，且 CE/ AB.(1)求

27、证：CEL平面PAD;(2)若 PA=AB=1, AD=3, CD = 2, C CDA = 45°,求四棱锥 P ABCD 的体积.课标文数20.G122015福建卷【解答】(1)证明：因为PAL平面ABCD, CE?平面ABCD ,图1 6所以PAXCE.因为 ABXAD, CE / AB, 所以CEXAD.又 FAAAD = A, 所以CEL平面PAD.(2)由(1)可知 CEXAD.在 RtECD 中，DE= CD cos45°= 1, CE = CDsin45 = 1.又因为 AB=CE=1, AB/CE,所以四边形ABCE为矩形.11 5所以 S 四边形 abc

28、d = S 矩形 abce+ Sa ecd = AB AE+ 2CE DE =1X2 +1X1=2.又 FA，平面 ABCD, PA= 1 ,115/5所以 V 四棱锥 P ABCD = &S 四边形 ABCD PA= 3X 2X 1 = 6.22015 江西卷如图 17,在 ABC 中，/ B=2？，AB=BC=2, P 为 AB 边上一动点，PD/BC交AC于点D,现将 PDA沿PD翻折至 PDA ',使平面 PDA'，平面 PBCD.当棱锥A' - PBCD的体积最大时，求 PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A' C的中点，求证： A'

29、; BXDE.课标文数18.G122015江西卷【解答】令PA=x(0<x<2),则A' P=PD=x, BP = 2 x.因为A' P±PD,且平面 A PD,平面 PBCD,故 A PL平面 PBCD.111 O所以Va -PBCD = §Sh= 6(2 x)(2 + x)x= 6(4x x3).图1 8令 f(x)=6(4x-x3),由 f (x)=6(4-3x2)=0,得 x=33.当 xe o, |/3 时，r(x)>o, f(x)单调递增；当 xe 2V3, 2 时，f' (x)<0, f(x)单调递减，所以，当x

30、=343时，f(x)取得最大值，即：当 Va，- PBCD 最大时，PA= 2y.31 (2)证明：设F为A' B的中点，连接 PF, FE.则有EF糠BC , PD BC,所以EF触PD, 四边形DEFP为平行四边形，所以 DE / PF,又 A' P = PB,所以 PFA' B,故 DEA' B.2015山东卷如图15,在四棱台 ABCDAiBiCiDi中，DiD,平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形， AB = 2AD , AD=AiBi, / BAD =60 °.证明：AAi XBD;(2)证明：CCi/平面 AiBD.图i 5课标

31、文数i9.Gi220i5山东卷【解答】 证明：(i)证法 因为DiDL平面 ABCD,且BD?平面ABCD,图1 6所以 DiDXBD.又因为 AB=2AD, / BAD = 60°,在 ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD ABcos60 = 3AD2所以 AD2+ BD2= AB2,所以AD± BD.又 ADA DiD= D,所以BD,平面ADD 1A1.又 AAi?平面 ADD 1A1,所以 AA1±BD.证法二：因为DD,平面 ABCD,且BD?平面ABCD,图1 7所以 BDXDiD.取AB的中点G,连接DG.在4ABD 中，由 AB=2

32、AD 得 AG = AD,又/ BAD = 60°,所以 ADG为等边三角形.因此GD = GB.故/ DBG = Z GDB ,又/ AGD = 60所以/ GDB = 30 ,故/ ADB = Z ADG + Z GDB = 60 + 30 = 90 , 所以BD± AD.又 AD n DiD= D,所以BDL平面 ADD 1A1,又 AAi?平面 ADD 1A1, 所以 AAiXBD.(2)连接 AC, A1C1.图1 8设 ACn BD = E,连接 EAl.因为四边形ABCD为平行四边形，1所以 ec=2ac,由棱台定义及 AB=2AD=2AiBi知，AiCi /

33、 EC 且 AiCi=EC, 所以四边形AiECCi为平行四边形.因此 CCi II EAi ,又因为EAi?平面AiBD, CCi?平面AiBD, 所以CCi /平面AiBD.20i5 四川卷如图 i5,在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，/BAC=90°, AB = AC=AAi=i, 延长AiCi至点P,使CiP=AiCi,连结 AP交棱CCi于点D.(i)求证：PBi/平面 BDAi;(2)求二面角A AiD B的平面角的余弦值.图1 52015四川卷【解答】解法一：连结ABi与BAi交于点O,连结OD. CiD/AAi, AiCi = CiP,.AD = PD,又 AO=

34、BiO,OD / PBi.图i 6又 OD?平面 BDAi, PBi?平面 BDAi, .PBi/平面 BDAi.(2)过A作AEDAi于点E,连结BE. BAXCA, BAAAi,且 AAiAAC = A, BAL平面 AAiCiC.由三垂线定理可知 BEXDAi.，/BEA为二面角 AAiDB的平面角.在 RtAiCiD 中，AiD = -y+12 =坐， 又 S；A AAiD = X 1 X 1 = Jx 当X AE, .AE = 255 .在 RtBAE 中，BE= "12+1552= 355?，cos/ BEA= = BE 3.2故一面角A A1DB的平面角的余弦值为 -.

35、3ADC =2015天津卷如图17,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/45°, AD = AC=1,。为 AC 的中点，PO,平面 ABCD , PO = 2, M 为 PD 的中点. 证明PB /平面ACM ;(2)证明ADL平面 PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.图1 7课标文数17.G122015天津卷II图1 8【解答】（1）证明：连接BD, MO.在平行四边形 ABCD中，因为。为AC的中点，所以 O 为BD的中点.又 M为PD的中点，所以 PB / MO.因为PB?平面 ACM, MO?平面ACM , 所以PB/平面ACM.（2）证明：因为/ ADC = 45°,且 AD = AC=1,所以/ DAC=90°,即 AD LAC.又 PO，平面 ABCD, AD?平面 ABCD,所以 PO，AD.而 AC n PO= O,所以 AD,平面 PAC.1一取DO中点N,连接 MN, AN.因为M为PD的中点，所以 MN / PO,且 MN =-PO = 1.由POL平面 ABCD,得MN,平面ABCD,所以/ MAN是直线 AM与平面 ABCD所成的