北京市2020届高三第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案

1、2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷一在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1 .已知集合M 1,2 , N 2,3，那么M N等于（）D. 3A.B. 1C. 2【答案】C【解析】【分析】根据交集运算直接写出结果.【详解】因为M 1,2 , N 2,3 ,所以M I N 2 ,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.rrrr2 .已知向量a2,1 , b0, 2 ,那么a b等于（D. 2, 1A. 2,3B. 21C. 2,0【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果.rrrr【详解】因为a2,1 , b0, 2 ,所以

2、ab2 0,12故选：D.【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易 3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办.如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A. 1B. 1C. -D.24816【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概率计算完成求解【详解】可能出现的选择有 4种，满足条件要求的种数为 1种，则P故选：B.【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）.4.圆心为A 2, 3 ,半径等于5的圆的方程是（）22A

3、. (x 2)(y 3) 522C. (x 2)2 (y 3)2 25【答案】C【解析】【分析】B. (x 2)2 (y_ 2D. (x 2) (y对比圆的标准方程:222x a y b r2进行判断即可【详解】因为圆心 a,b即为2，3 ,半径r = 5 ,所以14，.古典概型的概率计3）253）2 25的标准方程为：22x 2 y 325,故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易r5.已知向量ar.I rr J,2,1 , b1, m ,且a b ,那么m等于()A. 0【答案】C【解析】【分析】B. 1C. 2D. 3根据向量垂直对应的坐标关系计算出m的值.【详

4、解】因为a b ,所以 2 1 1 m 0 ,所以m 2 ,故选：C.rr【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知a = (,y1) , b = (x2,y2),若r ra b ，则有：XX2 Y1Y20.6.直线xy 3 0与直线x y 1 0的交点坐标是()A. 2,2B. 2,2C. 1,3D. 1,2【答案】D【解析】【分析】联立二元一次方程组求解交点坐标【详解】据题意有:x 1,所以交点坐标为y 21,2故选：D.【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元7.已知平面向量r r ra, b满足a次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程

5、组的解对应的坐标形式r . r , r 一 , 。一 , r r 一 一b 1 ,且a与b夹角为60，那么a b等于()A.B.C.D. 1根据数量积公式完成计算r r【详解】因为a bcos故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易8 .函数f x lg x 1的定义域为（）A. RB. 1,C. 0,D.,1【答案】B【解析】【分析】根据真数大于零计算出的 X范围即为定义域.【详解】因为X 1 0,所以x 1,即定义域为1,故选：B.【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9 .已知点A 1,1 , B 2,4 ,那么直线AB的斜

6、率为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率.4 1【详解】因为 A 1,1 , B 2,4 ,所以kAB 1 ,21故选：A.【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易 .已知A x1,y1 ,y2 y1B x2, V2 ,则 kAB.x2 x10 .为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从 A, B两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取 120人组成国庆宣传团队，已知 A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C【解析】【分析】先计算出抽样比

7、，然后根据（A专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数.1201- 1【详解】据题意可知：抽样比 ，则A专业抽取人数为200 40人， 600 55故选：C.【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量11 . cos 等于（）A. cos cossinsinB. cos cossinsinC. sin coscossind. sin coscossin【答案】A【解析】【分析】根据两角差的余弦公式直接得到结果.【详解】因为 coscos cos sin sin ,故选：A.【点睛】本题考查两角差

8、的余弦公式的记忆，难度较易12 .已知函数f X是定义域为R的奇函数，且f 12,那么f 1的值为（）A. 0B. 1C. 1D. 22【答案】D【解析】根据奇函数找到f 1与f 1的关系即可计算出f 1的值.f 12 ,所以 f 12 ,【详解】因为f x是定义域为R的奇函数，所以f 1故选：D.【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若f X是定义域内的奇函数，则有:13 .如图，在直三棱柱 ABC AB1C1中，AB AC ,如果AB 3, AC 1 , AA1 2,那么直三棱柱ABC A B1C1的体积为（）A. 2【答案】B【解析】【分析】B. 3C. 4D. 6根据棱柱的体

9、积公式求解直二棱柱的体积【详解】因为AB AC ,所以Svabc所以 VABC A1B1clSVABCAA11 22AB AC23,故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式,难度较易棱柱体积计算公式：V S h ,其中S是棱柱的底面积，h是棱柱的高.13 14 .sin7的值为（）1A.一2B 3 B.3C.2【答案】A【解析】【分析】2k,k Z, 0,2,然后根据诱导公式一计算结果13【详解】因为6入 -.132 ,所以sin 6sin 2 sin 一66故选：A.本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：sin2ksin k Z , cos2kcos k Z .15.函数3X

10、 X的零点的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 3因式分解后即可判断零点的个数3,因为 f X X X X X 11 ,所以令f x 0则有：x1或。或1,即零点有3个, 故选：D.【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数,可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数16 .要得到函数y 2sin x 的图象.只需将函数y 2sinx的图象（）3A.向左平移一个单位3C.向左平移g个单位B.向右平移一个单位3D.向右平移个单位6【解析】 【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果【详解】根据相位变换的左加右减有：y 2sin x向左移动一个单位

11、得到 3y 2sin x 一 , 3故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17 .直线l经过点A 1,1 ,且与直线2x y 3 0平行，则l的方程为（A. y 2x 1B. y lx 12c. y1x 1 2D.C. 2D. 4y 2x 1根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程【详解】设l方程为：2x y C 0 c 3 ,代入A 1,1有：2 1 C 0,所以C 1 ,所以l方程为：2x y 1 0 ,即y 2x 1,故选：D.【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.

12、已知直线方程为：Ax By C1 0,与其平行的直线方程可设为：Ax By C2 0 G C218 .如果函数f x logax （a 0且a 1）的图象经过点4,2 ,那么a的值为（1B.21A. 一4【解析】【分析】将点代入函数解析式中计算出a的值即可.【详解】因为f xlogaX图象经过点 4,2 ,所以loga4 2 ,所以a2 4且a 0且a 1 ,解得：a 2,故选：C.【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值19 .已知a 20.3, b 23, c 21,那么a, b, c的

13、大小关系为（）A. a b cB. b a cC. c a bD.c b a【答案】B【解析】【分析】根据指数函数单调性比较大小.【详解】因为y 2X在R上是增函数，又1 0.3 3,所以21 20.3 23，所以b a c,故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数哥的大小，难度较易.对于指数函数XXf X a （a 0且a 1）：若a 1,则fx a是R上增函数；若0 a 1,则Xf x a是R上减函数.20 .函数f xsinxcosx的最小正周期是（）A. -B. C.D. 2【答案】C【解析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期i【详斛】因为f x si

14、nxcosx sin2x,所以T 2故选：c.【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有:2.222sin 2x 2sin xcosx,cos 2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x.21.在 ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c,如果 A 30 , B 45 , b 2,那么a等于（）B.、,3C.、6D. 3【解析】【分析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 值.【详解】由正弦定理可知:a b a，所以sinA sinB sin 30，解得：a 石，sin 45故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，

15、难度较易sin A sin BcsinC2R （ R是三角形外接圆的半径）22.已知sin0,那么 cos4 A.5【答案】B3B.-5先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为【详解】因为cos相应结果.1D.5C.cos又因为sin 2cos21且0,所以 cos35'A.1B.1C842D. 1所以cos故选：B.【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.2223.已知圆C： x y 6x 0与直线l： x y 1 0,那么圆心C到直线l的距离为（）A. 3.2B. 2 2

16、C2D. 1【答案】B【解析】【分析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离2【详解】圆的万程可变形为：x 3y2 9,所以圆心C为3,0 ,所以圆心C到l的一， 3 0 1 L距离为：d ,2日12 12故选：B.【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：222x a y b r r 0 ,其中圆心为 a,b ,半径为r .n一1，一.24.已知哥函数f x x ,它图象过点2,8，那么f 一的值为（）21，先通过函数图象过点2,8，计算出n的值，然后再计算 f 的值.2【详解】因为f xxn过点2,8 ,所以2n 8,所以n 3,所以f x

17、 x3,31 11则 f1-L2 28故选：A.【点睛】本题考查募函数的解析式求解以及根据募函数解析式求值，难度较易25 .生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过 50%,最主要的源头是散煤燃烧.因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措.2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现 无煤化”，为了解 煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在 150立方米到450立方米之间，得到如图所

18、示的频率分布直方图.在这些用户中，用气量在区间300,350的户数为（）A. 5B. 15C. 20D. 25【答案】D【解析】【分析】计算出300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数【详解】根据频率分布直方图可知：300,350的频率为0.005 50 0.25,所以用气量在300,350 的户数为：0.25 100 25户，故选：D.【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易，观察频率分布直方图时,注意纵轴并不表示频率， 而是频率除以组距， 因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该 段的频率.26 .在 ABC中，角A, B, C所对应的边分别为

19、a, b, c,如果A 60 , b 3, ABC的3面积S -73，那么a等于（） 2A.、, 7B. 7C. 17D. 17【答案】A【解析】【分析】先根据面积公式计算出 c的值，然后利用 A 60以及余弦定理求解a的值.【详解】因为S1,. A 3-. 3c 3.3bcsin A ，所以 c 2 ;2429 4 a212后,人2221又因为cos A b-c,所以12bc2故选：A.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形 时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择27 .设m, n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题:如

20、果m/ , n ,那么mn;如果m , n ,那么mn;如果 / , m ,那么m/ ；如果 ，m ,那么m其中正确的命题是（）A.B.C.D.【分析】 通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析【详解】如图所示长方体， AiCi /平面ABCD , BD 平面ABCD ,但是Ag不平行BD ,故错误；根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；如图所示长方体，平面 ABCD 平面BCCiBi且BCi 平面BCCiB，但此时BCi显然不 垂直于平面 ABCD,故错误；综上：正确 .故选：B.【点睛】本题考查符号语

21、言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.二解答题28 .某同学解答一道三角函数题：巴知函数f x 2sin x ，且22f 0 技(I)求 的值;(n)求函数f x在区间 , 上的最大值及相应 x的值.6 3该同学解答过程如下：解答：(I)因为f 0 2sinJ3,所以sin3.因为 一22所以 一. 3522(n)因为 x 一所以 一x .令tx 一则 一t 632333232回出函数 y 2sin t在 一， 上的图象，2 3由图象可知，当t ,即x 时，函数

22、f x的最大值为f x max 2.max6卜表列出了某些数学知识:任意角的概念任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念,的正弦、余弦、正切的诱导公式2弧度与角度的互化函数 y sin x , y cosx, y tan x 的图象三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间0,2 上的性质同角三角函数的基本关系式正切函数在区间一,一 上的性质2 2两角差的余弦公式函数y Asin wx小的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ,变化的影响对函数y Asin wx小图象两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.【答案】任意角的概念

23、，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数y sin x的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间0,2 上的性质，参数A, 对函数y Asin wx小图象变化的影响.【解析】【分析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识.【详解】首先2-,这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin 立和 的范围解出一，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解23题时所画的图象涉及的是函数y sin x的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间0,2 上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A, 对函数

24、y Asin wx小图象变化的影响.【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活， 需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29 .如图，在三棱锥 P ABC中，PA 平面ABC,点D, E, F分别为PC, AB, AC的中 点.(I )求证：BC/平面DEF;(n)求证：DF BC .阅读下面给出的解答过程及思路分析.解答：(I)证明：在 ABC中，因为E, F分别为AB, AC的中点，所以电因为BC 平面DEF, EF 平面DEF,所以BC/平面DEF .(n )证明：因为 PA 平面ABC , B

25、C 平面ABC ,所以互因为D, F分别为PC, AC的中点，所以 DF/PA.所以DF BC .思路分析：第(I)问是先证，出证线面平行”；第(n)问是先证一再证,后证线线垂直以上证明过程及思路分析中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置.空格选项A. EF/BCB. BE/FCC. BC/DEA. PB EFB. PA BCC. PC EFA,线线垂直B .线圆垂直C.线线平行A.线线垂直B .线圆垂直C.线线平行A .线面平行B.线线平行C.线面垂直【答案】A；B；C；A；B.【解析】 【分析】：由中位线

26、分析；线面垂直的性质分析； 由线线推导线面； 由线面垂直推导线线垂 直；由线线平行推导线线垂直 .【详解】因为EF是中位线，所以 EF /BC ,故选A;PA 平面ABC , BC 平面ABC,可通过线面垂直得到线线垂直，故选 B;通过中位线，先证线线平行，再证线面 平行，故选C;根据PA BC可知：先证明线线垂直，故选 A;由DF /PA可知：再 证线线平行，故选 B.【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30 .某同学解答一道解析几何题：巴知直线

27、l： y 2x 4与x轴的交点为A,圆O：222八x y r r 0经过点a .(I )求r的值；(n)若点B为圆。上一点，且直线 AB垂直于直线1,求AB . ”该同学解答过程如下：解答：(I)令y 0,即2x 4 0 ,解得x 2,所以点A的坐标为2,0 .222因为圆O： x y r r 0经过点A,所以r= 2.(n)因为 AB 1 .所以直线AB的斜率为 2 .所以直线AB的方程为y 02x2,即y 2x4.代入x2 y2 4消去y整理得5x2 16x 12 0,6,6 ,8 68斛信Xi2 ,x2一 .当x2时，y2一 .所以点B的坐标为一，一.5555522所以 |AB| J 6 2- 0/5 ,555指出上述解答过程中的