人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程导学案

1、人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程导学案1、教学目标1 .理解二次函数与一元二次方程的关系.2 .会判断抛物线与 x轴的交点个数.3 .掌握方程与函数间的转化.4 .会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解.2、预习反馈阅读教材P4346,完成下列问题.1 .画出二次函数y = x23x+2的图象如图，利用图象回答:(1)当 x=0 时，y = 2;当 y=0 时，x= 1 或 2.x轴的上方,此时对应的自变量x的取x轴的上方,此时对应的自变量x的取(2)当y>0时，二次函数y=x23x+2的图象在 值范围是xv 1或x>2;(3)当y<0时，二次函数y

2、=x23x+2的图象在值范围是1 v x v 2.2.心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间 x(min)之间是二次函数关系，当提出概念 13 min时，学生对概念的接受力最大，为 59.9;当提出概念30 min时, 学生对概念的接受能力就剩下 31.根据题意，可知 y与x满足的二次函数关系式为y= 0.1x2+2.6x + 43;(2)当提出概念20 min时，学生对概念的接受能力为55.3、例题讲解例1如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s

3、)之间具有函数关系 h= 20t 5t2.请解答以下问题:(1)小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】求小球的飞行高度达到 15 m,就是求当h= 15时，相对应的t的值.【解答】解方程 15=20t 5t2, t24t+3=0, t1= 1, t2=3.当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为 15 m.【点拨】小球在某一时间达到 15 m,然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15 m.所以在两个时间球的高度为15 m.(2)小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】求小球的飞行高度达到 20 m,

4、就是求当h= 20时，相对应的t的值.【解答】解方程 20=20t 5t2, t24t+4=0, t=t2=2.当小球飞行2 s时，它的飞行高度为 20 m.【点拨】小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m.(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么？【思路点拨】 求小球能否达到某一高度，就是将 h的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中 h的值； 否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.【解答】解方程 20.5 = 20t5t2, t24t+4.1=0.因为(4)24X4.1V0,所以方程无

5、实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5 m.(4)小球从飞出到落地要用多少时间？【思路点拨】求小球从飞出到落地要用多少时间，就是求当h=0时，t的值.【解答】小球飞出时和落地时的高度都是0 m,解方程0=20t5t2, t2 4t = 0, t1 = 0,t2= 4.当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为 0 m.这表明小球从飞出到落地要用4 s.从图来看，0 s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.【点拨】 二次函数y=ax2+bx+c(aw 0)与一元二次方程之间的关系， 当y为某一确定 值m时，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax2+bx+c= m.反过来，解方程ax2

6、+ bx+ c= 0又可以看作已知二次函数 y= ax2+bx+c的值为0,求自变量x的值.例2 (1)已知下列三个二次函数： y= x2+x2;y=x26x+ 9;y=x2x+1,这 些函数的图象与x轴有公共点吗？如果有， 公共点的横坐标是多少？当 x取公共点的横坐标 时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？【思路点拨】先画出相应地二次函数的图象，再根据函数图象即可得出结论.【解答】(1)这些函数的图象如图所示.抛物线y=x2+x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2, 1.当x取公共点的横 坐标时，函数值是 0.由此得出方程x2+x 2=0的根是一2, 1.抛物线y=x2

7、-6x+ 9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+ 9=。有两个相等的实数根是 3.抛物线y=x2x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2x+1 = 0没有实数根.【点拨】如果抛物线y= ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时，函数的值是 0,因此x= x0是方程ax2+bx+c= 0的一个根.(2)二次函数y= ax2 + bx+ c的图象与x轴的位置关系与一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的根的情况有何联系？【思路点拨】 如果一元二次方程有两个不等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有两个公共点；如

8、果一元二次方程有两个相等的实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴有一个公共点；如果一元二次方程没有实数根，那么相应的二次函数的图象与x轴没有公共点.【解答】二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程ax2+bx+c= 0的根的三种情况；没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.【跟踪训练】已知抛物线y=2x2+8x+m.(1)若抛物线与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 m<8;(2)若抛物线与x轴只有一个公共点，则 m的取值范围是 m8;若抛物线与x轴没有公共点，则m的取值范围是 m>8.例3

9、利用函数图象求方程 x2-2x- 2=0的实数根(结果保留小数点后一位).画出函数y = x22x2的图象如图所示，它与x轴的公共点的横坐标大约是一0.7, 2.7.所以方程x22x2=0的实数根为xi= 0.7, x2=2.7.我们可以通过取平均数的方【点拨】 根据二次函数的图象来求一元二次方程的根时, 法不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根.4、巩固训练1.小兰画了一个函数 y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是 (D)A .无解B . x= 1C. x= 4D . x= 1 或 x=42 .二次函数y=x2 2x+1与x轴的交点个数是(C)A. 1个或

10、2个B. 2个C. 1个D. 0个A. xv 2C. 3<x< 13 .抛物线y=ax2+bx+ c（av 0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+ c>0的解集是（C）8. x> 3D . xv 3 或 x> 14 .已知抛物线 y=kx2 4x3与x轴有交点，则 k的取值范围是 k>4且kw0.35 .如图所示，你能直观看出哪些方程的根？解：- x2 +2x+3 = 0 的根为 x1 = 1, x2 = 3; x2+2x+3= 4 的根为 x1=x2=1； x2 + 2x2+3=3 的根为 x1=0, x2=2.【点拨】 此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y = -x2+2x +3中，y为某一确定值 m（如4、3、0）时，相应的x值是方程一x2+2x +3= m（m = 4、3、0） 的根.5、课堂小结1,二次函数y=ax2+bx+c（aw。）与二次方程之间的关系，当y为某一确定值 m时，相应的自变量x的值就是方程ax2 + bx+ c= m的根.6 .若抛物线y= ax2+bx+c与x轴交点为（x°, 0）,则x0是方程ax