充分条件和必要条件及充要条件的概念

1、.word格式整理版充分条件和必要条件及充要条件的概念教学目标1 .理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.（重点）2 .会用充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件.既不充分也不必要条件表达 命题间的关系.（重点）3 .会求问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，会证明充要条件.（难点、易错点）教材整理1充分条件与必要条件阅读教材P9P10部分，完成下列问题.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q"为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p?_qp? q条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件 q不是p的必要条件课堂练习判断（正确的打，错误的打“X”）若p是q的必

2、要条件，则q是p的充分条件.（）（2） “两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.（）（3）x>a2+b2（a>0, b>0）是 x>2ab的充分条件.（）【答案】，x ，教材整理2充要条件阅读教材P11P12部分，完成下列问题.充要条件1 .推出关系：p? q,且q? p,记作p? q.2 .简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件.3 .意义：p? q,则p是q的充要条件或q是p的充要条件、即p与q互为充要条 件.课堂练习判断(正确的打，错误的打“X”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(

3、)(3)q不是p的必要条件时，“ p7 q”成立.()【答案】(1)，(2)，(3)，例题分析例口判断下列各题中p是q的什么条件？小J 1(1)p： a= 3，q： cos a= 2；(2)在 ABC 中，p： a>b, q： sin A>sin B;(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.【精彩点拨】根据定义法，集合法，等价法作出判断.【自主解答】 (1)丁 0=力 cos a=； cos a= ? a=, 3223丁. p是q的充分条件.a b(2) ,由正弦止理sin a= sn"B，知 a>b? sin A>sin B, sin A>

4、;sin B? a>b,丁. p是q的充要条件.四边形的对角线相等D?四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形D?四边形的对角线相等,. p是q的既不充分也不必要条件范文.范例.参考分享.word格式整理版.小结充分、必要、充要条件的判断方法1 .定义法若p? q, q? p,则p是q的充分条件；若p? q, q? p,则p是q的必要条件；若p? q, q? p,则p是q的充要条件；若p7 q, q? p,则p是q的既不充分也不必要条件.2 .集合法对于集合A=xX满足条件p, B=xX满足条件q,具体情况如下：若A? B,则p是q的充分条件；若A? B,则p是q的必要条件；若人=8,则

5、p是q的充要条件；若A.B,则p是q的充分条件；若A呈B,则p是q的必要条件；即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围.3 .等价法等价转化法就是在判断含有 “否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.再练一题1 .设 p： 1<x< 2, q： 2x>1,则 p 是 q 成立的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由2x>1 = 20得x> 0,所以p?q但q? p,所以p是q的充分条件.【答案】A2 .指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p： x2

6、 = 2x+ 1, q： x = 2x+ 1;(2)p： a2 + b2=0, q： a+b= 0;(3)p： x= 1 或x=2, q： x 1 = 'x 1;(4)p： sin o> sin 机 q： a> 0【解】(1) x2=2x+1? x=12x+1,x= j2x+1 ?x2=2x+1,.p 是 q 的必要条件.(2)a2+b2 = 0? a=b = 0? a+b=0, a+b=0? a2+b2 = 0,p是 q 的充分条件.;当x= 1或x=2成立时，可得x 1 =7x- 1成立，反过来，当x 1 = x- 1 成立时，可以推出乂=1或乂= 2,. p既是q的充

7、分条件也是q的必要条件.由sin o>sin 0不能推出a> 0,反过来由a> 0也不能推出sin o>sin机p 既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.例是否存在实数p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.【精彩点拨】用集合的观点研究问题，先求出 4x+p<0和x2 x 2>0所对应的集合，再由“4x+ p<0” ？ “x2 x 2>0”求p的范围.【自主解答】由x2x 2>0,解得x>2或x< 1,令 A=x|x>2 或 x< 1,p由 4x+ p

8、<0,得 B= x x< - 4 ,当 B? A 时，即一J4< 1,即 p>4,止匕时 x<-p<-1? x2-x- 2>0,.当p4时，4x+ p<0是x2 x 2>0的充分条件.小结1 .解答本题的关键是分清 4x+ p<0? x2-x- 2>0.2 .解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合问 的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解.再练一题3 .若p： x（x 3）<0是q： 2x 3<m的充分条件，则实数 m的取值范围是. 【解析】p： x（x 3）<0,贝 0

9、<x<3, q： 2x 3<m,一 m+3 m+3则x<2，由题意知p? q,一2一2, . m3.【答案】m>3探究1如何证明充要条件？【提示】充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q? p证的是必要性；p的充要条件是q,则由p? q证的是必要性，由q? p证的是充分性.探究2如何求解充要条件？【提示】探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.例 求证：一元二次方程 ax2+bx+ c=0有一正根和一负根的充要条件是 ac

10、 <0.【精彩点拨分清条件 p与结论q 证充分性 p? q 证必要性 q? p 结论p? q【自主解答】充分性：（由ac< 0推证方程有一正根和一负根）' ac<0, .一元二次方程 ax2+bx+ c=0 的判别式 A= b2 4ac>0.c二万程一止有两个不等头根.设为xi, x2,则xix2 = 一 <0, a /方程的两根异号，即方程ax2+bx+c= 0有一正根和一负根.必要性：（由方程有一正根和一负根推证 ac<0）方程ax2+bx+ c=0有一正根和一负根，设为 xi, x2,范文.范例 参考分享.word格式整理版.C 一则由根与系数

11、的关系得xix2=a<0,即ac<0,综上可知：一元二次方程 ax2+bx+ c= 0有一正根和一负根的充要条件是 ac< 0.小结有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件， 由“条件？结论”是证明命题的充分性，由“结论？条件”是证明命题的必要性 证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性 .例口 已知方程x2+(2k 1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条 件.【精彩点拨】求解过程要保证每一步的变形转化过程都可逆，直接求出充要条件.【自主解答】令f(x) = x2+(2k 1)x+k2,则方程x2+(2k1)x+k2=0有两个

12、大于1的实数根A= 2k 1 2-4k2>0,k< 2.2k-1>Kf 1 >0因此k< 2是使方程x2+(2k1)x+k2=0有两个大于1的实数根的充要条件. 小结探求充要条件一般有两种方法1 .先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明.2 .将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时 也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要 性分开来证.再练一题4.已知x, y都是非零实数，且x>y,求证：的充要条件是xy>

13、;0. x y，【证明】必要性：由1<1,得11<0,即=x<0,又由x>y,彳3y-x<0,所x y x y xy以 xy>0.(2)充分性：由xy>0及x>y,得击>击，即:<1. xy xy x y，一 ,1 1、一 J ,综上所述，1<1的充要条件是xy>0.x y练习1. “x> 1” 是 “logi(x+2)<0” 的()2A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 由x+2>1得x> 1,故选B.(小范围可推大范围，大范围不能推小范围)【答案】B2 .设四边形

14、ABCD的两条对角线为 AC, BD,则“四边形 ABCD为菱形”是“ACLBD” 的()A.充分条件 B.必要条件 C.必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即 ACLBD.当四边形ABCD中AC± BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分综上知，“四边形ABCD为菱形”是“ACLBD”的充分条件.【答案】 A3 .实数a, b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab= 0 B.ab>0 C.a2+b2=0D.a2+b2>0【解析】a2+b2>0,则a, b不同时为零；a, b中至少有一个不为零

15、，则 a2+胡>0.故选口.【答案】 D4 .若“x< m”是“(x1)(x 2) >0”的充分条件，则m的取值范围是.【解析】由(x1)(x 2)>0可得x>2或x<1,由已知条件，知x|x<mM.x|x>2,或 x<1,.力01.【答案】(一OO, 15.判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p： x>1, q： x2>1； (2)p： (a-2)(a-3)=0, q： a=3; (3)p： a<b, q： a<1.【解】 由x>1可以推出x2>1；由x2>1,得x<1或x>1,不一定有x>1J3此，p是q的充分条件.(2)