定积分的概念与性质54686

1、高等数学课件高等数学课件制做人：制做人： 常胜利常胜利 顾永宏顾永宏 孙焕志孙焕志一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子第六章定第六章定 积积 分及其应用分及其应用第一节定积分的概念第一节定积分的概念二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子1. .曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间由闭区间 a, b 上的连续曲线上的连续曲线 y = f (x) 0， 直线直线 x = a，x = b 与与 x 轴围成的平面图形轴围成的平面图形 aab

2、b.yxoababx = ax = by = f (x)基于这种想法，基于这种想法， 可以用一组平行于可以用一组平行于 y 轴的直线轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，每个小曲边梯形很窄， 则其高则其高 f (x) 的变化就很小的变化就很小. 这样，可以在每个小曲边梯形这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，上作一个与它同底， 底上某点函数值为高的矩形，底上某点函数值为高的矩形，曲线曲线 y = f (x) 是连续的，是连续的， 所以，当点所以，当点 x 在区间在区间 a, b 上某处变化很小时，上

3、某处变化很小时， 则相应的高则相应的高 f (x) 也就变也就变化不大化不大.显然，分割越细，显然，分割越细， 近似程度就越高，近似程度就越高，当无限细分时，当无限细分时， 则所有小矩形面积之和的极则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值限就是曲边梯形面积的精确值.用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积梯形面积. .( (1) ) 分割分割在区间在区间 a, b 内任意插入内任意插入 n 1 个分点：个分点：a = x0 x1 x2 xi- -1 xi x

4、n- -1 xn = b， 把区间把区间 a, b 分成分成 n 个小区间：个小区间：x0, x1，x1, x2， ，xi- -1, xi ， ，xn- -1, xn.这些小区间的长度分别记为这些小区间的长度分别记为 xi = xi xi - -1 (i = 1, 2, , n). 过每一分点作平行于过每一分点作平行于 y 轴的直线，轴的直线， 它们把曲边梯它们把曲边梯形分成形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a a = x0 x1xi- -1xn= = boy = f (x)ybaxxioybax( (2

5、) ) 近似代替近似代替在每个小区间在每个小区间 xi- -1, xi( (i = 1, 2, , n) )上取一点上取一点 x xi ( (xi- -1 x xi xi),),以以 f( (x xi) )为高，为高， xi 为底作小矩形，为底作小矩形，用小矩形面积用小矩形面积 f (x xi) xi 近似代替相应的小曲边梯形面近似代替相应的小曲边梯形面积积 ai ， 即即 ai f (x xi) xi (i = 1, 2, , n) .x x1x x2x xix xnxoy = f (x)ybaa a = x0 x1xi- -1xn= = b xi( (4) ) 取极限取极限当分点个数当分点

6、个数 n 无限增加，无限增加，即即01lim( ).niiiafxx( (3) ) 求和求和把把 n 个小矩形面积加起来，个小矩形面积加起来，1( ),niiifxx得和式它就是曲边梯形面积的近似值，它就是曲边梯形面积的近似值，即即11( ).nniiiiiaafxx 且小区间长度的最大值且小区间长度的最大值 ( (即即 = max xi) )趋近于趋近于 0 时，时， 上述和式的极限就是上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，曲边梯形面积的精确值，2. .变速直线运动的路程变速直线运动的路程设一物体作直线运动，设一物体作直线运动， 已知速度已知速度 v = v( (t) ) 是时间是时间 t

7、 的连续函数，的连续函数， 求在时间间隔求在时间间隔 t1, ,t2 上物体所经上物体所经过的路程过的路程 s .( (1) ) 分割分割在时间间隔在时间间隔 t1, ,t2 内任意插入内任意插入 n - - 1 个分点：个分点：t1 = t0 t1 t2 ti- -1 ti tn- -1 tn = t2 ， 把把 t1, ,t2 分成分成 n 个小区间：个小区间：t0, t1，t1, t2， ，ti- -1, ti ， ，tn- -1, tn.这些小区间的长度分别为：这些小区间的长度分别为： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相应的路程相应的路程 s 被分为被分为

8、n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) .( (2) ) 近似代替近似代替在每个小区间上任意取一点在每个小区间上任意取一点 x xi ( (ti- -1 x xi ti),),用用 x xi 点的速度点的速度 v (x xi) 近似代替物体在小区间上的近似代替物体在小区间上的速度，速度，用乘积用乘积 v ( (x xi) ) ti 近似代替物体在小区间近似代替物体在小区间 ti- -1 , ti 上所经过的路程上所经过的路程 si ，即即 si v(x xi) ti (i =1, 2, , n) .( (3) ) 求和求和11( ).nniiiiissvtx( (4)

9、) 取极限取极限01lim( ).niiisvtx 二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上有定义上有定义任意取分点任意取分点a = x0 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 xn = b由于由于 xi- -1 xi ， xi = xi - - xi- -1 b ，同样可给出定积分，同样可给出定积分即可，即可，根据定积分的定义，上面两个例子都可以表根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：示为定积分：( (1) ) 曲边梯形面积曲边梯形面积 a 是曲边函数是曲边函数 f (x)

10、在区间在区间 a, b 上的定积分，上的定积分，即即( );baaf xxd( (2) ) 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 s 是速度函数是速度函数 v (x) 在时间间隔在时间间隔 t1, ,t2 上的定积分，上的定积分， 即即21( )d .ttsv tt例例 1用定义计算用定义计算10.xx-e d解解被积函数被积函数 f (x) = ex， 在区间在区间 0, 1 上连续，上连续，所以所以 e- -x 在在 0, 1 上可积上可积 . 为了计算方便起见，为了计算方便起见，把区间把区间 0, 1 等分成等分成 n 份，份，分点为分点为 012120,1,ininxxxxxnnnn每

11、个子区间的长度都是每个子区间的长度都是 1,ixn在每个子区间在每个子区间1,iinn-上都取左端点为上都取左端点为 x xi ，1,iinx-即于是和式为于是和式为1( )niiifxx111innin-e1211(1 eee)nnnnn-1111 ()1nnnn-ee11(1),1nn-ee当当 = max xi0 + + 时，即时，即 n + + 有有11lim1.1nnn-e于是有于是有10 xx-e d01lim( )niiifxx111lim(1)1nnn-ee111(1) lim1nnn-ee11 e .- -aabby=f (x)三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义当当 f (x) 0 时，时， 定积分在几何上表示定积分在几何上表示 曲边曲边 y = f (x)在区间在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，上方的曲边梯形面积，( )d.baf xxa如果如果 f (x) 0 ，曲边梯形在曲边梯形在 x 轴下方轴下方，此时该定积分为负值，此时该定积分为负值，它在几何上表示它在几何上表示 x 轴下方轴下方的曲边梯形面积是负值，的曲边梯形面积是负值，( )d.baf xxa -即yxo当