函数的单调性

1、11.1.通过直观的函数图象变化趋势，理解函数的单调性；通过直观的函数图象变化趋势，理解函数的单调性；2.2.理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数；理解函数的单调性的定义、知道什么是单调函数；3.3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性。会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性。21.3 1.3 函数的基本性质函数的基本性质 1.3.1 1.3.1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第第1 1课时课时 函数的单调性函数的单调性 3我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律。的规律。( ) fxx函数的图像由左到右是上

2、升的2f(x) = x函数在轴的左侧是下降的，在轴的右侧是上升的。f(x)=xr函数在上函数值随的增大而增大2f(x) = x-0函数在（， 上函数值随的增大而减小，在（，）上函数值随的增大而增大。增函数增函数增函数增函数减函数减函数1x1f(x )2x2f(x )4一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为i i: : 一、函数是单调性的定义一、函数是单调性的定义f(x)12xx，12xx12f(x )f(x ) 如果对于定义域如果对于定义域i i内内 上的上的 两个自变量的两个自变量的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间d d上

3、是上是 某个区间某个区间d d任意任意增函数增函数（一）增函数（一）增函数1x2xx0y)(1xf)(2xf上升上升5一般地，设函数一般地，设函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为i:i:f(x)12xx，12xx12f(x )f(x ) 如果对于定义域如果对于定义域i i内内 上的上的 两个自变量的两个自变量的值值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数 在区间在区间d d上是上是 某个区间某个区间d d任意任意减函数减函数（二）减函数（二）减函数x0y1x2x)(1xf)(2xf下降下降6 （三）单调性（三）单调性 如果函数如果函数 在区间在区间d d上是增函数或减函数

4、，那么上是增函数或减函数，那么就说函数就说函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性单调性，区，区间间d d叫做叫做 的单调区间的单调区间yf(x)yf(x)yf(x)7（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性（一）在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, ,即必须是即必须是f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2),),而不能是而不能是f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) () (或或f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2););二、二、 对函数单调性的理解对函数单调性的理解（二）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的（二）函数的单调性是对定义域内

5、的某个区间而言的, ,是局部概念是局部概念; ;（三）学习函数的单调性（三）学习函数的单调性, ,要注意定义中条件和结论是要注意定义中条件和结论是双向使用的双向使用的. .xy08 2 2、如果对于区间（、如果对于区间（a a，b b）上的任意）上的任意x x有有f(x)f(x)f(a)f(a)，则函数，则函数f(x)f(x)在在区间（区间（a a，b b）上是增函数）上是增函数想一想想一想判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确12xx1 1、如果对于区间（、如果对于区间（a a，b b）上存在）上存在 ，使得，使得则函数则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是增函数。）上

6、是增函数。12f(x )f(x )3 3、函数、函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上有无数个自变量）上有无数个自变量x x，使得当，使得当 时，有时，有 则函数则函数f(x)f(x)在区间（在区间（a a，b b）上是增函数。）上是增函数。12axx.b12)f(a)f(xf(x.f(b)4 4、若、若f(x)是是r r上的增函数，且上的增函数，且 , , 则则 。12( )( )f xf x12xx错误错误错误错误错误错误正确正确9 典型例题典型例题 例例1.1.下图是定义在闭区间下图是定义在闭区间 上的函数上的函数 ，根，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上

7、，据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数它是增函数还是减函数 5,5yf(x)解：解：函数函数 的单调区间有的单调区间有 yf(x) 52) 2,1),1,3),3,5 ，其中其中 在区间在区间 上是减函数，在区间上是减函数，在区间 上是增函数上是增函数yf(x) 52) 1,3) ， 2,1),3,510k2pkvp 例例 、物物理理学学中中玻玻意意耳耳定定律律为为正正常常数数）告告诉诉我我们们，对对于于一一定定量量的的气气体体，当当其其体体积积减减小小时时，压压强强 将将增增大大. .试试用用函函数数的的单单调调性性证证明明之之. .( (0kpv .即即要

8、要求求证证明明函函数数在在（ ，）上上是是 分分：减减函函数数析析111212,0,v vvv设设是是定定义义域域（ ，）上上的的任任意意两两个个实实数数，且且证证明明：21121212()().vvkkp vp vkvvvv121 21221,(0,)0;,0.v vvvvvvv由由，得得由由得得120,()()0,kp vp v又又于于是是12()().p vp v即即(0,)kpv所所以以，函函数数在在上上是是减减函函数数. .结结论论得得证证. .取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断121x画出反比例函数画出反比例函数f(x)= f(x)= 的图像。的图像。（1 1）这个函数的定义

9、域）这个函数的定义域i i是什么？是什么？（2 2）它在定义域）它在定义域i i上的单调性是怎样的？上的单调性是怎样的？证明你的结论。证明你的结论。131( )函数的定义域是(- ,0) (0,+ ).(2)00函数在（， ）上和（ ，）都是减函数.141212,(,0),x xxx 且证任取明：2112121211( )().xxf xf xxxx x则1212122112由x ,x (-,0)得x x 0;由x 0.所以f(x )-f(x )0，1)0.根据函数单调性的定义，函数（在（，）上是减函数f xx取值取值作差变形作差变形12()(.f xf x即）定号定号判断判断函数在（- ，0

10、）单调递减的证明如下：151.1.请根据下图描述某装配线的请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量生产效率与生产线上工人数量之间的关系之间的关系. .解：解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。162.2.整个上午（整个上午（8 8：00120012：0000）天气

11、越来越暖，中午（）天气越来越暖，中午（1212：00130013：0000）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. .暴风暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（雨过后，天气转暖，直到太阳下山（1818：0000），才又开始），才又开始转凉转凉. .请画出这天请画出这天8 8：00200020：0000期间气温作为时间的函数期间气温作为时间的函数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. .解：解：单调增区间是单调增区间是8,128,12）,13,18,13,18）; ;单调减区间是单调减区间是12,1312,13）,18,

12、20.,18,20.173.3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数上，函数是增函数还是减函数. .解：解：函数的单调区间是函数的单调区间是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在区间在区间-1,0-1,0）,2,4,2,4）上函数是减函数；）上函数是减函数；在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上函数是增函数上函数是增函数. .184.4.证明函数证明函数 在在 上是减函数上是减函数. .21yx r证明：证明：任取任取 且且 ，12x ,xr12xx则则1212()

13、()2(). f xf xxx由由 ，得，得12xx120.xx由由 ，所以，所以20 12()()0,f xf x即即12()()f xf x所以，函数所以，函数 在在 上是减函数上是减函数. .( )21 f xxr195.5.证明函数证明函数 在区间在区间 是增函数。是增函数。2yx 2,)证明：证明：任取任取 ，且，且 ，12, 2,) x x12xx则则 1212( )()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因为因为 ， 12120,220 xxxx得得12()()f xf x所以函数所以函数 在上在上 是增函数是增函数 ( )2f

14、xx 2,)201.1.函数的单调性反应了函数值随自变量的变化而变化的函数的单调性反应了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律。当在函数定义域的某个区间上函数值随一种特定规律。当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时，函数在这个区间上单调递减。减小时，函数在这个区间上单调递减。2.2.函数的单调性是函数在其定义域上函数的单调性是函数在其定义域上“局部局部”性质，即性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间