曲线正矢计算公式的理论局限

1、第二章 曲线正矢计算公式的理论局限由图中可知：AD= f,即曲线正矢；BD= L/2，即弦长的一半。正矢计算公式为：f =( L/2 ) 2/ (2R f)= L2/4 (2R f)。在(2R-f)中，由于f与2R相比甚小，可忽略不计, 则公式可近似写成为：f = L2/8R 弦长L现场一般取为20m ,当L = 20m时，有f = 50000/R 而精确的的正矢数值应当为：f = R (1 cos( a /2) 假定有一曲线，半径R= 500米，用近似公式求得的正矢为: f = 50000/R = 50000/500 = 100mm 精确的正矢值为: f = R (1 cos( a /2)

2、)= 500x( 1 cos(10/500) ) =99.99666mm 二者相差不到0.1mm所以利用简便公式不影响计算结果，该公式完全可以在日常生产中使用。但以简便公式为基础推导出的公式是否也适用便值得商榷了，以一个近似的F面就我公式推导出的公式可能会使误差扩大， 以致于影响到计算结果的正确, 们常用的两个推导公式进行试算，以观察其结果的差异。2.1第一个推导公式是计算道岔导曲线支距的公式以50kg/m型9号道岔为例：自导曲线起点至终点全长15.793米，K= 2115mm尖轨长6.25米，导曲线半径 R= 180717.5mm如图二示，由尖轨跟端（导曲线起点）处作两条辅助线，一线与基本轨

3、平行,一线为尖轨的延长线。显然，各点支距都被截为三段y 0、A、B。用化简法将各点的y 0、A、B计算相加，即是其各点的支距。计算公式为：Yi = y 0+ A1 + B 1A i = uX 2000* 1 尖 X 1B 1=( 2 X 支距点横距)2/(8R)=(2 X 2000 X 1 )2/(8R)=20002/(2R 外)X 1 2导曲线起点yo = u导曲线终点终=S Ksin a S K/ NS轨距N道岔号数K导曲线终点到辙叉心轨理论尖端的直线段长度点号Y0ABiY设计支距差值144001441440114446.0811.067201.1472010.146997214492.1

4、644.26799280.428281-0.572013144138.2499.60297381.843382-0.157034144184.32177.0719505.3919506-0.608055144230.4276.6749651.0749652-0.925086144276.48398.4119818.8919821-2.108117144322.56542.28281008.8431011-2.157167.8965144363.8707690.07941197.951201-3.04988表y终=S Ksin a= 1435-2115X sin6° 20' 2

5、5= 1201.434导曲线支距计算对照表S K/ N = 1435 2115- 9= 1435 235= 1200y终的近似计算结果与实际值之间相差 1.434mm从以上支距计算对照表（表一）可以看出，随着曲线长度的增加，利用近似计算法所得结果的误差也随着增大，当我们利用近似法计算所有2米点间的支距, 而在辙叉前的导曲线终点却用另一个公式计算，这样便导致导曲线终点与其相邻 点之间的圆顺程度相差 3mm铁路线路修理规则中对导曲线支距标准是：作 业验收标准2mm经常保养标准3mm临时补修标准4mm不分行车速度与线路 级别，统一使用以上标准。如果采用近似算法，即便把现场平面状态处理得和计 算结果一

6、致，而实际的线型也超出了正常情况下列车运行所应满足的经常保养容 许偏差管理值，所以这种近似的算法在这种情况下是不适用的。2.2第二个推导公式是计算道岔附带曲线支距的公式附带曲线的整正一般常用的整正方法有长弦矢距法和直股支距法两种。长弦矢距法是在保证曲线首尾位置正确的情况下整正曲线的一种办法，而它 本身并不能保证首尾位置正确，并且它采用的公式也是曲线正矢计算公式，即:f = L2/8R，然后按不同的弦长计算对应测量点的矢距。而直股支距法的优点在于，它可以从岔后直曲两股钢轨及道岔的位置来综合 考虑，即能保证道岔与其后线路的相对位置正确， 又可保证曲线的圆顺。但它在计算直股支距时所用的公式也是从曲线

7、正矢的计算公式演化而来的，具体计算公式如下:Y .= E (iX 5000) 2/ (2R 外)=E i 2X 50002/ (2R 外)中间某点的支距;某支距点的点号;线间距岔后夹直线长如图三所示，为一 9号道岔，线间距E = 5米，岔后附带曲线半径为200米。切线长 T = RX tan(a /2)=200 X tan3° 10' 12.5"= 11.077m夹直线长 l = E/sin a道岔后长 T = 45.2763 15.009- 11.077 = 19.1504m曲线全长L = RXa（弧度）=22.21114m曲线在直股上的投影长度为 0点到n点间距

8、离=T + TX cosa= 22.1658m距离（直股投 影）支距（近似）距离（曲线距离）5000 R (1 cos a)050000500014937.72341714937.72663824750.89366924750.94519134439.51075534439.77156144003.57467644004.3988324.433163776.0840744.42223772.296759以上两种算法之差为：3.79利用近似公式计算附带曲线起点支距如下：曲线起点支距Y起= E L2/2R 外=5000 22.086 2/2/200.7175=3776利用道岔后长、夹直线长与夹角、

9、起点支距关系计算如下：曲线起点支距Y起=(道岔后长+夹直线长)Xsin a=( 15.009 + 19.19 )xsin a = 3772注：表中支距点间距离均按 5米，包括按直股投影距离计算和按曲线距离计算表中计算结果显示，近似计算与实际位置之间存在将近4mm的偏差，其间 的偏差将随着曲线长度的增加而增加，这个偏差通过直股支距法整正附带曲线 后，再利用绳正法测量时表现为正矢过大，有难以消除的“鹅头”存在。另外，直股支距法也存在现场操作上的不便， 在现场作业时，按要求自曲线 尾部开始以5米间距确定支距测量点位置，自每点向曲线方向测量距离，可是垂 直于直股的方向在现场难以确定，当直股一端测量点固定后，曲线方向的测量点 因两线不是平行的，确定起来比较困难，并且越到曲线始点将越难确定。如果在 曲线上确定测量点，然后自曲线上的点向直股方向测量支距， 将很容易找到对应 的支距点，因为一点到另一线的距离，垂直方向最短。一般要求对附带曲线方向管理，使用 5米点10米弦测量正矢，而在铁路 线路修理规则中，没有对10米弦测量正矢的误差标准，只是规定了曲线正矢容许偏差管理值，并明确这个管理值的测量办法