概率论知识点总结

1、概率论总结前五章总结第一章随机事件和概率第二章随机变量及其分布.5第三章多维随机变量及其分布10第四章随机变量的数字特征13第五章极限定理.18学习概率论这门课的心得体会20一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S或Q。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或3 .全体样本点的集合称为样本空间

2、.样本空间用S或Q表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件一单点集，复合事件一多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B A或A Bo若A B且A B则称事件A与事件B相等，记为A = B。定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为 A U Bo用集合表示为：A U B=e|e A，或 e B。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A nB或AB，用集合表示为 AB=

3、e|e A且e B。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生，这一事件为事件A与事件B的差 事件，记为A B,用集合表示为A-B=e|e A, e B。定义：互不相容事件或互斥事件如果A, B两事件不能同时发生，即 AB = O，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。定义6 :逆事件/对立事件称事件“ A不发生”为事件A的逆事件，记为a。A与a满足：AUa= S,且 A a=。运算律:设A, B, C为事件，则有交换律：A U B=B U A , AB二BA结合律：A U (BU C)=(A U B)U C=A U B U CA(BC)=(AB)C二ABC分配律：A U (BAC) =

4、 (A U B) n(A U C)A(B U C) = (A nB)U (A nC)= AB U AC德摩根律：A B A BA B A B小结:事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容;四种运算：和、积、差、逆;四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。2、第二节:1、设试验E是古典概型，其样本空间S由n个样本点组成，事件 A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：P(A) = k/n = A包含的样本点数/S中的样本点数。几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 a(A)，则 向区域S上随机投掷一点，该点落在区域 A的概率为：P (A) = uA) /

5、 a(S)假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S上随机投掷一点的 含义如前述，则事件A的概率仍可用(*)式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.概率的性质:(1)P( )=0, Pm 1Ai , A j , i , .jn则PAkk 11,2,n,n,iP Akk 1j,两两互不相容,P(A) 1P(A),若 A B，则 P(B-A)二P(B)-P(A), P(B) P(A).第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件 A发生的概率称 为A对B的条件概率，记作P(A|B).而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“ B发生”这个条件 时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍

6、是概率.乘法公式：若 P(B)0,则 P(AB)二 P(B)P(A|B)P(A)0,贝J P(AB)二P(A)P(B|A)全概率公式：设A1,A2,nA是式验E的样本空间Q的一个划分，且P(Ai)0，i = 1,2,B 是任一事件，则 P(B)P(Ai)P(B I Ai)i 1贝叶斯公式：设A1,A2,nA是式验E的样本空间Q的一个划分，且P(Ai)0，i = 1,2,B 是任一事件且 P(B)0,贝JP(Ai |B) P (Ai) P(B I Ai/: P (Aj) P(B | Aj)第五节：若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)则称A、B独立，或称 A、B相互独立.将两事件独立

7、的定义推广到三个事件: 对于三个事件A、B、C,若P(AC)二 P(A)P(C) P(AB)二 P(A)P(B)P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)二 P(B)P(C)四个等式同时 成立则称事件 A、B、C相互独立.第六节：定理 对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k 次的概率为Pn(k) C：p kqnkk 0,1, ,n, q 1 p总结:1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系, 在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使 用，请牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概

8、 念，应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广 泛。第二章：随机变量及其分布1、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设X是一个r.v，x为一个任意实数，称函数F(X)二P (XWx)为X的分布函数。X的分布函数是F(x)记作X F(x)或 Fx(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就 表示X落在区间(x0 ; IPk=1分布律与分布函数的关系:(1) 已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数:设一离散型随机变量X的分布律为PX=x k=p k (k=1 , 2,)F (x) PX xPX Xkx

9、k x即 F (x)pkxk x由概率的可列可加性可得X的分布函数为已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。(2) 已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律:PX Xk F(Xk) F(Xk 0)k 1,2,3,三种常用离散型随机变量的分布.1 (0 1)分布:设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为PX=k二P k(1-P)1-k , k=0 , 1. (0p1)则称X服从(0 1)分布，记为X (0 1)分布。(0 1)分布的分布律用表格表示为:P 1-p P易求得其分布函数为F(x)2.二项分布(bi no mial distribute n)定义：若离散型随机变量X的

10、分布律为 PX k_ k kCn p q0,1, ,n其中0p0是常数，则称X服从参数为 入 的泊松分布，记作XP(入).、连续型随机变量1概率密度f(x)的性质(1) f(x) 0(2) f(t)dt 1.X 落在区间(X1 , X2)的概率 P Xi X X2 F(X2)F(Xi)2f (x)dxx1几何意义：X落在区间(X1, X2)的概率Px 1Xo , t0,有则称随机变量X具有无记忆性。3.正态分布若r.v X的概率密度为1(X )2f(x) pL2其中a和都是常数，任意，a 0 ,则称X服从参数为 a和2的正态分布.记作）f（X）所确定的曲线叫作正态曲线.Q 1的正态分布称为标准

11、正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通 过线性变换转化为标准正态分布.设XNgy、，则y =兰二fT随机变量函数的分布设X为连续型随机变量，具有概率密度fx（x），求Y二g（X） （g连 续）的概率密度。1 .一般方法一一分布函数法可先求出Y的分布函数FY（y）:因为 FY(y)=PY y=Pg(X) iy=xig(x) yFy y P X ly,fx(x)dxI yg(x)yfX(x)dx0,0),2.设连续型随机变量X的密度函数为x(x), y=f(x)连续,求丫二f(X) 的密度函数的方法有三种：(1)分布函数法;(2 )若y=f(x)严格单调，其反函数有连续

12、导函数，则 可用公式法；(3) 若y=g(x)在不相重叠的区间Ii,l2,上逐段严格单 调，其反函数分别为hi(y), h 2(y),h,毋),h 2(y),均为连续函数，贝SY二g(X)是连续型随机变量， 其密度函数为X hi y hi yX h2 y h2 yi 1rH 步对于连续型随机变量，在求 Y= g (X)的分布时，关键的 是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用X的分布来求P g(X) 0,P| X E(X)|，则对于P|X E(X)|事见随机变量的方差(R159 ) 分伯概率分伯方差分们P(X = l) = pP(X=Q) = -pnpl-pP(X

13、k = C：y(-pk = 0J2舁P(/jk klZ12分布概率密度方龙区iJaQ上f 1/(兀)=V b -a0, y 0j11-p0,其它1=亍 f2ff-b7第三节、协方差与相关系数量EX E(X)Y E(Y)称为随机变量 与Y的协方差.记为Cov( X，丫)，即Cov(X, Y) EX E(X)Y E(Y).若XY0, pp称X, yC不相关Y)Vd(X) VD(y)注:量。协方差，它是一个无量纲的2、若随机变量X和丫相互独立Cov(X,Y) EX E(X)Y E (Y) EX E(X)EY E(Y) 0.D(X Y) D(X) D(Y)2EXE(X) 丫 E(Y)D(X) D( Y

14、) 2Cov(X, Y)D(X) D(Y).协方差的计算公式1、Cov(X, Y)二E(XY)-E(X)E( Y)2、+D( Y)+2Cov(X ,Y)D(X+_Y)=D(X)协方差的性质:(1)Cov(X,Y) Cov(Y,X);(2) Cov( aX,b Y) ab Cov( X ,Y),a, b为常数;(3) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y)相关系数：Cov( X 2,Y).1、二维正态分布2o X,Y不相关Cov(X,Y) 0;2、密度函数中，参数P代表了与Y的相关系数。二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独立。即XY相互独立等价于XY不相关不相关的充要条件1

15、o X,Y不相关PxyO;3。X,Y不相关E(XY)E(X)E(Y).相关系数的性质:(1 ) PXY1.(2) PXY1的充要条件是:存在常数a, b使PY a bX1.第五章：极限定理大数定理：设Xn为一随机变量序列，E(Xn)存在，记1 n- Xi E Xi n 1,2,n i 11 nlim PYnlim PXi E Xinn i 1大数定律。若Yn1,则称Xn服从(弱)设X1,X2, 是相互独立的随机变量序列,D(Xi) KE(Xi)|1切比雪夫大数定律：它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即1 n 1 ni=1,2,，则对任意的汕imp |- Xi -n n i 1 n i 1马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出1 n 只要 Hm D (X i ) (0,n i 1则大数定理就能成立。切比雪夫大数定律的特殊情况:设 X1,X2, 是独立随机变量序列，且E(X)二1, D(X)二,i=1,2, 则对