基于灰色预测人类肤色变化分析

1、摘要本文将黑、白、黄视为三个相互作用的种群模型，每个种群都具有一个种群数量和种群的基因倾向。不同肤色人种的人口数量组成了人口向量，利用灰色预测我们建立了各种群发展的一阶微分模型。不同肤色人种的基因库的基因具有相互倾向，其可以用一个基因倾向矩阵表示，肤色间的倾向矩阵，表示某种肤色的基因库向另一种肤色的基因库的靠近程度，一种肤色的基因库倾向其他肤色基因库的系数定义为倾向系数。联合分析各肤色人种的人口向量和基因倾向矩阵，可以达到一个经过某种因素的影响后重新评估的人类肤色比重向量，即定义人类肤色比重向量为倾向矩阵与人口向量的乘积。由人口肤色比重向量的数学关系式便可以解释和验证肤色变化的原因，而后根据相

2、关数据便可得到人口肤色比重向量的微分方程，从而预测未来肤色的变化。对于问题一，本文将人类按照肤色的不同，分成黄、黑、白三种并构建三个肤色基因库的种群模型，各种群之间既有种内作用，又有种间作用。不论何种作用，其都是通过改变人口向量或基因倾向矩阵来使人类肤色比重向量发生变化从而使人类肤色发生变化。如果某种因素致使倾向矩阵发生变化，或致使某种肤色人种的比重发生改变，则可以认为该因素是干扰人种肤色变化在500-1000年内的可能原因，首先根据史实找出可能的主要因素，然后结合数学模型对各个原因详细分析其影响肤色变化的机理。对于问题二，可以建立灰色预测模型，检验“战争”因素与500-1000年内人种的肤色

3、变化关系。不妨以美国的独立战争和南北战争为例，根据战争前不同肤色的人种比重预测之后年份的不同肤色的人种比重，然后比较预测值与实际值的偏差，若在战争中或战争后不同肤色的人种的预测值与实践值相差较大，而在战争前预测值与实际值大致相同，则可说明“战争”因素与人种肤色变化的关系较大。战争可以影响人口向量的变化，人口向量的变化必然会导致基因倾向矩阵模型的改变，从而影响人种肤色的未来变化。对于问题三，利用灰色预测建立人口向量的微分方程，即用过去的世界人种肤色分布的数据来预测未来的人口向量和基因倾向矩阵，将其他因素对模型的影响视为外界扰动，即考虑其他影响肤色分布的因素时只需加上一个相关因素的扰动范围即可，由

4、此而作出比较准确全面的预测。而核战做为一个特殊事件，其必然引起很多因素的共同作用，比如人口向量和基因倾向矩阵的突变等，据此我们不仅需要加和相关的扰动范围，更需要重新调节灰色模型的灰色参数，由此来更好的预测未来的人口肤色变化。【关键词】 灰色模型 人口向量 倾向矩阵 人类肤色比重向量一、 问题重述阅读以下几项内容：A 据国外媒体报道，在过去的数千年间，进化的历程已经改变了我们的身体和我们的面貌，现在这一过程仍然还在缓慢的发生着。近期一些世界顶尖的解剖学家对1000年之后我们的后代将会是什么模样进行了预测。据预测，我们将会变得更高，身高将普遍达到67英尺(约合182.8213.4cm)。这首先是因

5、为营养摄入的改善，以及更先进的医学技术发展。中央加热系统和保暖的衣物将意味着我们身上的毛发会进一步退化，然而我们的皱纹会增多。同时我们的皮肤颜色会变得更黑一些，这是因为人口的全球性流动加剧以及更加普遍的混血现象导致的结果。B历史上中国的战争，如秦汉时候，中国人大部分是双眼皮，五胡乱华之后大部分中国人是单眼皮；C.甘肃骊靬村民被称罗马后裔，外貌与汉族差别不大，骊靬村民的肤色、样貌直接和战争以及东西方人种交流有关。D. 西方历史上比较大的争议是关于匈牙利国家的起源，在黄种匈奴人西征欧洲之后，另一支东方游牧民族马扎尔族(黄种)在公元9世纪的西征，成为匈牙利国家的起源。但是今天匈牙利的人种占主流的还是

6、白色肤色。罗马人入侵非洲，现代欧洲人黑色卷毛的来源之一；现代欧洲人入侵非洲，非洲黑人和混血黑人的肤色发生极大的变化，半黑半白在今天的整个非洲占有相当的比例；欧洲人入侵美洲，黄种美洲人几乎灭种，剩下的几乎全白种；根据自己的理解，以史实作为背景，解决以下问题：A找出干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因。B用数学的方法验证“战争”是否与500-1000年内人种的肤色变化有关系，说明你的理由。C预测500-1000年后世界人种肤色的分布。如果有核战呢？二、 问题分析2.1问题一分析按照人种肤色的不同，人种可以简单的分成黄、黑、白三种。随着时代的发展，全球化进程不断加快，世界人种交流

7、不断扩大。不同肤色的人生活在一起，发生混血的几率大大增加，从而导致不同肤色基因的重组，使得决定人种肤色的基因库发生变化。已知黄、黑、白三种肤色的总人数，分析干扰人种肤色变化在500-1000内的原因。不同人种间的交流在某种程度上与种群模型有很多相似之处，可以把黄、黑、白三种肤色的人群看做三个种群。在国家的界限下，世界人种的交流有一定的障碍，但是在全球化的大趋势下，不同人种间的交流更加频繁。在黄、黑、白三个肤色基因库间的相互交流中，可以定义一个倾向矩阵，表示某种肤色的基因库有多大的几率向另一种肤色的基因库靠近，一种肤色的基因库倾向其他肤色基因库的系数定义为倾向系数。如果一种肤色的基因库越倾向于另

8、一种肤色的基因库的倾向系数越大，则表明这种肤色越接近另一种肤色的基因库。若某种因素的发生导致了倾向系数的变化，从而在长期内导致基因库的变化，其变现则为人种肤色的变化。另外，如果某种因素导致了不同肤色人种数量的变化，也可在长期导致人种肤色的变化。故只要能找到导致倾向系数和人种数量变化的因素，就可以找到干扰人种肤色在500-1000年内的主要原因。2.2问题二的分析验证“战争”因素是否与500-1000年内人种的肤色变化的关系，可以根据战争前后的人种比重的变化来判断，可以建立灰色预测模型，用战争前的几组人种分布的数据作为原始数据系列，先不考虑战争的影响，用灰色预测的方法预测之后年份的各肤色人种的分

9、布情况。然后再把战争的实际情况考虑进来，比较预测值和实际值的偏离程度，如果战争发生的前几年预测值与实际值偏差不大，而在战争发生时及战争发生后，各肤色的人种比重实际值与预测值相差较大，则可以表明战争与人种肤色的变化有关，根据预测值与实际值偏差的大小，可以判断战争因素与人种肤色变化关系的大小。2.3问题三的分析 通过对一、二问题的研究与分析，可以得出影响人种肤色变化的因素有很多，如：战争、人口迁移、政治经济等。因此在对500-1000年后世界人种肤色分布的预测时，需要考虑各因素的影响程度。在本问题中的求解中，需要收集近期世界上各大洲各肤色人种的比例，然后选用灰色预测模型对未来进行预测。如果未来发生

10、核战，需要考虑核战的波及范围及影响力等。加上这些变化不确定因素后，再对其预测，会使得预测值在一定范围内波动，即形成喇叭口状变化图形。三、 模型假设1. 假设初始状态下，只存在黑、白、黄三种肤色的纯正基因库，没有相互混血现象。2. 假设在发展过程中，黑、白、黄三种肤色基因库的变化，可以通过自身的内部突变和相互之间的交流来实现。3. 假设两种携带不同基因库的人群相互混血后，各基因库在新人群中的影响力与其原来携带人群的基数成正比，与另一人群基数成反比，并在一段是时间后达到新的平衡。4. 假设本文所利用文献中的数据真实有效。四、 符号说明符号含义肤色倾向矩阵种群数量矩阵变化评价矩阵数列基数比预测数据和

11、实际数据的残差级比偏差五、 模型建立与求解5.1模型一的建立与求解5.1.1肤色变化模型的建立根据人中肤色的划分，为了简化模型，更好的得到所需结论，本文中将将人种简单的分成黄、黑、白三种。而三种不同肤色的人种可以理解为三个不同的种群，这样黄、黑、白三种肤色的人种之间的相互关系可以理解为种群之间的相互关系。用 分别表示黄、黑、白三种肤色人种的数量，由黄、黑、白三种肤色人种数量组成的矩阵为。对于肤色的变化，黄、黑、白三种肤色可以借助其人群的基因库表示，通过不同人种之间的交流以及基因库内部的突变等方式，人种肤色的基因库会发生一定的变化。根据不同人种变化后的倾向程度，我们定义一个倾向矩阵，来表示某种肤

12、色的基因库对于其他肤色表现型的倾向性，一种肤色的基因库在表现型上倾向其他肤色基因库的系数定义为倾向系数（表示基因库在表现型上对基因库的倾向其中基于基因库数量应有）。 其中应有为了综合使用两个指标，本文采用矩阵表示经过某种因素的影响，人种肤色基因库发生变化后的各种肤色人群数量。（5-1）某种肤色基因库占肤色基因总库的比重越大，则该种基因库越不易向其他基因库靠近，即该种基因库对其他基因库的倾向系数就越小。反之，某种基因库占肤色基因总库的比重越小，越容易向比重大的基因库靠近，即该种基因库对比重大的基因库的倾向系数越大。种群间的相互作用可分为种群内部作用与种群外部作用。由于基因突变等原因可以造成种群某

13、种肤色的基因向另一种肤色基因转换，从而导致肤色基因库的变化，某种基因库对其他基因库的倾向系数跟着发生变化，倾向矩阵亦随之发生变化，倾向矩阵的变化，将会导致若干年后人种肤色发生变化。此外，由于种群内部数量不断变化，种群的值发生明显变化，由三种肤色的人种占人种总数的比重发生变化而致使肤色基因库的变化，从而使得若干年后人种肤色的变化。以上两个方面都属于种群内部作用致使的人种肤色变化。考虑到种群间的交流，种群之间也有相互作用，某种肤色人种与另一种肤色人种结合后的混血儿的数量在当代呈逐步上升的趋势，不同肤色的基因重组概率增大，基因库之间的交流不断扩大，并影响倾向矩阵的变化，从而导致人种肤色的变化。另外，

14、如果一个种群迁入另一个种群的聚居地，在迁入区域内，各种群所占比重会发生变化，即各个种群的矩阵变化，各种群的基因库在总基因库的比重发生骤变，从而使得若干年后人种肤色的变化。因此只要能找到影响种群内部和外部相互作用的因素，即找到导致倾向矩阵和人种数量矩阵变化的因素，就可以找到干扰人种肤色在500-1000年内的主要原因。5.1.2肤色变化模型的求解考虑能影响倾向矩阵和人种数量矩阵变化的因素，并结合历史事实与生活实际可以找出干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因。历史上世界范围内的迁移很多，如古代中国，开辟丝绸之路，连接了亚欧非三大洲。不仅许多商团往来频繁，而且在战争年代，很多汉人

15、为避免中原战乱而西迁，欧洲及中亚许多国家的人有着汉人的特征，迁到欧洲及中亚的汉族人通过与当地人的结合，使得当地的人种肤色基因库发生变化，即矩阵的变动，打破了当地的人种肤色一致的传统格局。当然很多长相奇特的欧洲及中亚人也为逃避本国战乱等原因而东进中国，在北宋徽宗年间，犹太人的迁入，丰富了京城的人种肤色，时隔800多年，如今的开封城内仍有犹太后裔，却被黄种人完全同化，犹太人的白色肤色基因混入黄色基因库，改变了倾向矩阵，可见迁移是干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因之一。在第一次工业革命之后，殖民主义扩张，列强为掠夺资源纷纷开拓海外市场，不断侵占殖民地资源。很多白人跨越大洋，踏入

16、美洲，与此同时，很多黑奴被贩卖到美洲，美洲当时的土著居民是印第安人，为黄种人，逢上白人的入侵，黑奴的进入，改变了美洲的各人种肤色所占比重，即矩阵发生了变化，同时倾向系数发生改变，倾向矩阵也随之变动，美洲的人种肤色发生的急剧变化，列强的侵略战争致使世界范围内的人种肤色分布发生改变，可见战争也是干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因之一。另外，政策对于不同肤色人种的变化也有极大影响。二战中的纳粹德国对犹太人制定屠杀的政策，超过600万死于非命，幸存的犹太人被迫逃出家园，躲避被杀。犹太人种人数的骤减，其值发生变化，许多犹太人逃往世界各地，致使当地的倾向矩阵发生变化，导致了人种肤色基

17、因库的比重分布出现差别，人种肤色慢慢变化。可见政策也是干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因之一。当然，根据对于矩阵的分析，可以得到干扰人种肤色的变化在500-1000年内的主要可能的原因还有经济、资源、宗教、环境等很多，在这里仅针对史实列出迁移，战争，政策三种主要原因。5.2问题二灰色预测模型的建立与求解5.2.1 灰色预测模型介绍客观世界在不断发展变化的同时，往往通过食物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，称之为系统。如果对系统的内部的机理有一定了解又不太清楚的时候，则称之为灰色系统1。利用较少的数据建立一个按时间做逐段分析的离散模型，称之为灰微分方程。根据该

18、离散模型得到一个微分方程模型，并用其来实现对事物发展过程的建模。建立灰色模型，先要进行数据的检验与处理，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列进行必要的检验和处理，使其适用于灰色预测模型。记数据列为：计算数列的级比：（5-2）若，则数据可以用模型进行建模；否则，可以取适当的常数，对原始数据进行平移变换，使其满足。再进行灰色序列生成，它是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化的现实规律的途径，简称灰生成。在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质。一切灰色序列都能通过某种生成方式弱化其随机性，显现其规律性。设，其中（5-3）则称为灰色模型的微分方程为灰导数，为白化背景值，b为灰

19、作用量。原始序列必须是非负的。其中 ，其中。为确定参数a和b，设为参数列，且记： 则有 。其最小二乘估计参数列满足：（5-4）通过对一般微分方程的深刻剖析定义了数列的灰导数，从而使我们能够利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到白化方程：（5-5）解得其时间响应函数为： (5-6)解得时间响应序列为： (5-7)原始数据序列的预测值：(5-8) 是原始数据序列 的拟合值。 是原始数据序列预测值。根据已有数据检验预测的精确性。通过残差进行精度检验,其残差：（5-9）通过级比偏差进行检验： 首先根据数据算出级比：（5-10）再用系数a求出级比偏差：（5-11）如果级比偏差小于0.2，则达到一般

20、要求；若小于0.1，则认为达到较高的精度要求2。5.2模型的求解与结果分析以美国的独立战争与南北战争为例，分析战争与500-1000年内人种的肤色变化有关系。根据5.1所述分别建立灰色预测模型，以战争前的几十年时间内的人种肤色为原始数据，对战争期间及以后人种肤色的进行预测，分析其残差值，了解战争与人种肤色变化的关系。下面分别通过独立战争与南北战争进行说明。独立战争发生在1775-1783年，以1700年到1750年这50年的不同肤色的人数为原始数据序列3，来预测之后几十年的人种肤色变化。经计算得到公式5-7中、的值分别为：-0.2875和192740。因此，在独立战争期间的灰色预测模型可表示为

21、：（5-12）分别计算精度和级比偏差，得出该预测模型符合要求。预测图形如图1至3所示，从图中可以看出在1780年之前预测模型与实际人种数量变化拟合较好，而在1780年之后，由于南北战争的爆发使得拟合出现较大偏差。通过计算战争爆发前后的拟合残差也可以得出相同的结论。因此，可以验证战争确实与人种肤色变化有关系。图1 独立战争对美国黑人/白人人口的影响图2 独立战争期间对人口预测的偏差图图3 独立战争对白人/黑人比例的影响 南北战争发生在1861-1865年，因此可以采用1800年到1830年这30年的不同肤色的人数为原始数据序列，来预测之后几十年的人种肤色变化。经计算得到公式5-7中、的值分别为：

22、-0.2907和3761900.因此，在独立战争期间的灰色预测模型可表示为：（5-13） 同样的，经计算得出该模型符合要求。通过灰色预测模型4预测南北战争爆发前后人种肤色变化的图形如图4至6所示。通过图形，可以看出在南北战争爆发之前黑人和白人通过该模型的拟合值与实际差偏差较小，残差值极小，由此说明该模型在没有战争的情况下能够进行很好的预测。而在1860年之后，由于南北战争的爆发，使得黑色人种与模型预测值有偏差，其比例升高。因此，可以说明在没有战争爆发的情况下，灰色预测模型能够很好的预测人种肤色变化，而由于战争的爆发，使得预测值与实际值出现较大偏差，由此可以验证战争确实与人种肤色变化有关系。图4

23、 南北战争对美国黑人/白人人口的影响图5 南北战争对美国黑人/白人人口的影响图6 南北战争对黑人/白人比例的影响5.3模型三的建立与求解5.3.1灰色预测模型的建立经过对一二问的研究与求解，可以发现影响人种肤色变化的因素主要有：战争、人口迁移、经济政策的变化等，人种肤色变化的本质是基因的重组与突变，而这些因素会使得不同人种间基因的重组或者个体基因突变的概率变化，因此，在预测500-1000年后世界人种肤色的分布时需要考虑各方面的影响因素。首先，统计各大洲三种不同肤色人种的数量，并分别计算其占总人口的比例，由于对系统的内部的机理有一定了解又不太清楚，因此选用灰色预测模型（GM）进行建模：首先利用

24、较少的数据建立一个按时间做逐段分析的离散模型，称之为灰微分方程，然后根据该离散模型得到一个微分方程模型，并用其来实现对事物发展过程的建模。本题采用一阶灰色预测模型。（1）数据的检验与处理，主要目的是消除（降低）数据中随机干扰（噪声）对建模的影响，称为灰生成。某一大洲某一肤色人种比例按时间序列分别记为：（2）累积生成算子（AGO）：令为原序列：令是的AGO序列，并记为：并满足： （3）设， 其中（4）模型：（5）参数值的确定：设为参数列，且记 则有，其最小二乘估计参数列满足5.3.2灰色预测模型的求解通过对一般微分方程的深刻剖析定义了数列的灰导数，从而使我们能够利用离散数据系列建立近似的微分方程

25、模型，其白化方程：解得其时间响应函数为： 原始数据序列的的预测值：当kn时，计算，即得到原始数据序列预测值。5.3.3结果分析在使用灰色预测模型时，需要对原始数据进行级比检验，对于不符合检验要求的需要进行平移处理。如果给定近百年各大洲不同肤色的人口比例，可以对某一大洲某一肤色的人种比例利用灰色预测模型进行预测。该模型适用于未来的人种生存条件与当前条件相同或者相近，如果外部条件变化较大，比如核战争、大型疾病等，在预测世界人种肤色变化时需要考虑这些因素的影响，这样会使得预测值在一定范围内波动。大致变化趋势如下图所示：图7 某肤色人种变化图六、 模型评价与改进方向6.1模型评价在模型一中，本文基于肤

26、色变化的根本原因，从基因库的角度出发，建立不同肤色种群的人数矩阵和不同肤色人群对其他肤色的倾向矩阵。由于肤色的变化是在影响两个矩阵的前提下进行的，所以在解决问题一提到的对肤色变化主要原因进行分析时，仅需利用史实背景从机理的角度，分析对两矩阵产生影响的原因。由于模型是建立在机理分析的基础上，使得其实现变得比较简单，贴近实际。但是由于没有进行深入的数据分析，在实现上显得过于简单，不能对各个影响进行量化处理，所以不能得到不同影响因素对肤色变化的影响程度大小。在模型二和模型三中都利用灰色预测进行分析。基于对问题一中建立模型的分析，问题二选取美国的独立战争，南北战争以及两次世界大战发生前的数据利用灰色预测的方法进行计算，得到不发生战争情况下肤色数据预测，然后利用已有的战争后的实际肤色人口数据，分析不发生战争时的预测数据和发生战争后的实