数学分析第二十二章曲面积分

1、第第22章章 曲面积分曲面积分引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用 “分割, 近似代替, kkkks),(nk 10tlimm求质 求和, 取极限” 的方法, 可得量 m.其中, t表示 n 小块曲面的直径的最大值. 1 1 第一型曲面积分第一型曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质定义定义1上的为定义在面，是空间中可求面积的曲设szyxfs),( ), 2 , 1)(,( ,maxt , ), 2 , 1( ,1nisstssnisnstsiiiiiniiii上任取一点在的直径的细度分割的面积表示小曲面块以个小曲

2、面块分成它把作分割函数，对曲面siiiniiiiiszyxfszyxfnisfd),( ,),( ,), 2 , 1)(,(t),(lim 10t记作上的在极限为则称此的取法无关和存在，且与分割若极限第一型曲面积分第一型曲面积分,d),( sszyxm,d ssa则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkszyxgkszyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分

3、片光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理定理22.1 设有光滑曲面yxdyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有szyxfd),(yxdyxzyxf),(,(szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知szyxfd),(kkkksf),(nk 10limyxd),(kkkyxk)(ksyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122nkt10limyxkkkykkxzz)(),(),(122),(,(lim1

4、0kkkknktzfyxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxzyxfyxdyxdd),(),(1),(,(22),(,(kkkkzfszyxfd),(而(光滑)yxd例例1. 计算曲面积分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2. 计算,dszyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的

5、部分, 则4321,4dszyx,1:4yxz1010:),(xxydyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321szyxd 原式 = 分别表示 在平面 练习练习1. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12syxi解解:1zyx11o.d)1 (12syxi上上下下左左后后在四面体的四个面上平面方程sd投影域yxz1yxdd3xyxdyx10,10:0yxzddzxzdxz10,10:0 xzyddzyzdzy10,10:同上0zyxddyyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d1021010

6、1021122111) 13(zzxxddyyxxixd)1 (1d)13(102102ln) 13(233 练习练习2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1sxsxa;d4d)(1sxsyb;d4d)(1sxszc.d4d)(1szyxszyxd( 2000 考研 )czzd思考思考. 计算,d222zyxsi其中 是介于平面之间的圆柱面.222ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zrsd2d则hzrzri022d2rharctan2hzz,0ohxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 作业作业：p282, 1(1)(2),

7、3.课堂练习、复习课堂练习、复习题的相似之处。、请体会的整个边界面的面积。的半球，求半径为第一型曲面积分利用对面积的曲面积分21 )( . 2a. , , ),( . 1极坐标三种方法参数方程察直角坐标的整个边界的长度。考的半圆形求半径为第一型曲线积分利用对弧长的曲线积分a21lllssslddd .d ,d , 212121sssssssss坐标系，球面坐标系。柱面一后二角坐标系先二后一、先围成。请考察：利用直和由，计算三重积分 , ddd)( . 322222azzyxzyxyxi2 2 第二型曲面积分第二型曲面积分( (对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分) )一、曲面的侧及曲面元素的投影一

8、、曲面的侧及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四四*、两类曲面积分的联系、两类曲面积分的联系一、曲面的侧及曲面元素的投影一、曲面的侧及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxssyxs)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxy

9、xs)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzss)( ,)(二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . s分析分析: 若 是面积为s 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxrzyxqzyxpv )cos,cos,(cosnvcosvs nvsnv对一般的有向曲面 ,用“分割, 近似代替,求和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiipcos),(iiiircos),(0limni 1zyii

10、iisp)(,(xziiiisq)(,(yxiiiisr)(,(iiiiqcos),(is对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxrzyxqzyxpv 进行分析可得iniviiisnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiisp)(,(xziiiisq)(,(分,yxrxzqzypdddddd记作p, q, r 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiisr)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场),(),(),(zyxrzyxqzyxpa 若对 的任

11、则称此极限为向量场 a 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义定义.引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zypddxzqdd称为q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxrdd称为r 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为p 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxrxzqzypdddddd向量形式向量形式yxrxzqzypddddddsa d3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1则(2) sa dsasaddisa d三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxdyxyxzz),( , ),(:取上侧,)

12、,(zyxr是 上的连续函数, 则yxzyxrdd),() ,(yxdyxr),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiisr)(,(yxis )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iir),(iizyxi)(yxx,yzyxryxddd)(,(yxzyxrdd),( 若,),( , ),(:zydzyzyxx则有zyzyxpdd),(), (zy,pzyd),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzdxzxzyy则有xzzyxqdd),() z, ,(xzdxq),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxr

13、dd),() ,(yxdyxr),(yxzyxdd例例1. 计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxdyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxddd)2(yxdyxadd333axzy解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第五卦限部

14、分. ozyx112yxd0,01:),(22yxyxdyxyx2221:yxz122zyyxdyxyxyxdd 1222221cossin2rryxdrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxdyxxydd )1(22yx yxdyxxydd 221yx ddrrozyx1例例3*. 设s 是球面1222zyx的外侧 , 计算sxxzyi2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有sxxzy2cosdd20cosddcosdd22sszyxyxzszzyxi2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2co

15、sddzzyx2cosdd,cosdd22szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22,ddddddzyxyxzxzyi练习练习 求1:222222czbyax取外侧 .解解:zyxdddxdycyxdbyax,2222111dxdycyxdbyax,2222111yxcyxdbyaxdd112,2222,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意号1:2222,byaxdyx其中zyxdd21ccba4利用轮换对称性xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbai4作业作业：p289, 1(1

16、)(3)(5).四四*、两类曲面积分的联、两类曲面积分的联系系ni 1zyiiiisp)(,(xziiiisq)(,(yxrxzqzypddddddyxiiiisr)(,(0lim0limni 1iiiipcos),(iiiiqcos),(iiiircos),(issrqpdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画221cosyxx例例6. 计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzsdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221y

17、xz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx )( xxyxdoyxz2原式 =得代入将,)(2221yxz222)(41yx )(2221yx yxyxxyxddd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd小结小结：当yxdyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfszyxfyxdyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxryxzyxryxddd),(,(dd),(（上侧取上侧取“+”, 下侧取下侧取“ ”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.3 3

18、 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式一、高斯公式 二、二、 斯托克斯公式斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件 一、高斯一、高斯 ( gauss ) 公式公式green 公式gauss 公式推广推广定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzryqxpdddyxrxzqzypdddddd zyxzrdddyxrdd 下面先证:函数 p, q, r 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (gauss 公式公式)231zyxyxd) ,(yxryxyxrdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明:

19、设yxdyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzryxzyxzd),(),(21yxd),(2yxz),(1yxzyxrdd yxd2 zyxzrdddyxdd1 3yxrdd为xy型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxrdd) ,(yxdyxd),(2yxzyxyxrdd) ,(),(1yxz所以zyxzrdddyxrdd 若 不是 xy型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 xy型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyqdddyxrxzqzypdddddd zyxzryqxpdddxzqdd zyxxpdddzypdd

20、 三式相加, 即得所证 gauss 公式：例例1. 用gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用gauss 公式, 得zyxzyiddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyp, 0qyxr及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果如何? 若 为圆柱外侧面呢? 另解另解: .29d1zd2 dd12dd1)(201123022yyzzyyzzyyzyiyzyzdd例例2. 利用gauss 公式计算积分szyxid

21、)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解:介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. h1yxzxzyzyxidddddd222作辅助面,:1hz ,:),(222hyxdyxyx取上侧1(i1yxzxzyzyxdddddd)2221,记所围区域为,则 zyxzyxddd)(2yxhyxddd2zyxzyxiddd)(2利用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxddd2421hhz022zzd4hhozyxh1例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxi设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1

22、z1:),(22yxdyxyxi11zyxdddyxxdd)(2xyd) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标作业作业：p296, 1(3), (4).yozx二二、 斯托克斯斯托克斯( stokes ) 公式公式 定理定理2. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxypxqxzxrzpzyzqyrddddddzryqxpddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, rqp,在包含 在内的一证证（略）。nyxdc则有为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:rqpzyx

23、yxxzzyddddddzryqxpddd 或用第一类曲面积分表示:srqpzyxdcoscoscoszryqxpddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例4. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxdyxdd323yxd例例5*. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算.ddd2zxzyxyxyioz2yx解解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧

24、,0cos利用斯托克斯公式得sidszyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222zryqxpudddd三三*、空间曲线积分与路径无关的条件、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理3. 设 g 是空间一维单连通域, 内在函数grqp,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对g内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzryqxp(2) 对g内任一分段光滑曲线 , zryqxpddd与路径无关(3) 在g内存在某一函数 u, 使(4) 在g内处处有zpxryrzqxqyp,zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, 并求函数z

25、yxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxrxzqzyp,1xqyp,1yrzqypxr1 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yyx0dzzyx0d)(zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxx0d0因此例例6. 验证曲线积分作业作业*：p296, 3(1).“第第2222章章 曲面积分曲面积分”的习题课的习题课一、内容要求一、内容要求1、了解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法、了解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法；3、会高斯公式，了解斯托克斯公式，、会高斯公式，了解斯托克斯公式， 知道

26、曲线积分与路线无关的条件及应用；知道曲线积分与路线无关的条件及应用；4、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。2、了解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法，、了解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法， 知道两类曲面积分的联系；知道两类曲面积分的联系；重要公式重要公式：当yxdyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfszyxfyxdyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxryxzyxryxddd),(,(dd),(（上侧取上侧取“+”, 下侧取下侧取“ ”)zyxzryqxpdddyxrxzqzypdddddd (gauss

27、公式公式)xozy1. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(szyxfi解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxdyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxd则 1d)(22syxi1d)(22syxiyxdyx)(22rrraraadd202222021ttatardsin24034sin222yxaayxddxozy1yxd思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 403314

28、coscos2tta)258(614a2. 计算),(drzsi.:2222rzyx上下解：zszsiddyxyxrryxryxyxrryxrdddd1 dd1222222222222rrrrrrrrrr0222222d112rrrttrtttrtrln2dcossindcossin2220023. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:srqd2srqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqe求e 通过球面 : r = r 外侧的电通量 .se dsnedsrrdrrq3yxz1114. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2szi解解: szidcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxdyxyxdd)1(22n5. 计算,d)(22syxi其中 是球面