无穷积分的性质与收敛判别法

1、§ 2无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求:掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质;掌握收敛的Cauchy准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点:无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容:本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f xdx收敛与否，取决于函数F（ u）是否存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理无穷积分f xdx收敛的充要条件是：任给>0,存在G>a,只要ui、u2>G,便有u2uiu2f x d

2、xf x dxf x dx0aau1证明:由于ua f xdx =lim F(u),所以uf x dx收敛 lim F(u)存在0, G >a，只要 u1、u2>G,便有uxdx limu此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质1 （线性性质）若f1 xdx与aa2 x dx都收敛，k1、k2为任意常数，则k1 f1 x k2 f2 x dx 也收敛，且aa k1 f1 xk2 f2 x dx = k1 f1ax dx k2af2 x dx。证明:记J1f1 x dxalimu则 k1 f1 xak2 f2x dx = ijmuf1 x dx,a

3、ukt Xa ''J2f2 x dxaulim a f2 xdx,uk2 f2 x dx|imki a fi(x)dx k2 a f2(x)dx u 'u人lim a f1(x)dxuk2|imuuf2 (x)dxaklJl k2J2=kl afi(x)dxk2af2(x)dx.性质2若f在任何有限区间a , u上可积,av b,f xdx 与abf xdx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有ba f xdx a f Xdx » f x dx，其中右边第一项是定积分。证明:由于 f xdx收敛a又 lim aubx dx=|im(a fuba f X dx l

4、imulim ；f xdx存在.uudx f x dx)bf x dx,其中右边第一项是定积分。所以说明:（1）性质2相当于定积分的积分区间可加性（2）由性质2及无穷积分的收敛定义可推出f xdx收敛的另一充要条件:任给 >f x dx与 f x dx同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 abbx dx f x dx f x dx.ab0，存在G> a,当u > G时，总有dx事实上,x dx收敛0, Ga,当J=limu" uG时,0, Ga,当G时,0, Ga,当G时,u亠亠f x dx存在ax dxx dxu(af xdxf x dx)uf x dxu性质3若

5、f在任何有限区间a , u上可积，且有f x dx收敛，则f xdx亦必收a敛，并有f x dx o证明:由af x dx收敛，根据柯西准则（必要性）,任给 > 0，存在G> a,当 u2> ui> G时，总有利用定积分的绝对值不等式，又有再由柯西准则（充分性），证得 f xdx收敛uuf x dxf xaa又因dx uf x px收敛时，称a，令uf取极限，立刻得到不等式（3）.xdx为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛者为 条件收敛。性质3指出：绝对收敛收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的u2f x dxu2f xu1uidx无穷积分不一定绝对收敛（本节例3中

6、当0 V P冬1时dx条件收敛）01 xp比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法（比较准则及其三个推论）0由于uaf x dx关于上限u是单调递增的，因此 f xdx收敛的充要条件是f x dx 存在上界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）定理（比较法则）设定义在a，+X上的两个函数f和g都在任何有限区G(u)间a，u可积，且满足g x ,x a,则当 g（x）dx收敛时f x dx必收敛（或者，当f x dx发散时,g(x)dxa发散）。证明法一根据P55习题2结论:设f为定义在a,）上的增（减）函数.则lim f（x）存在的充要条件为f在a,）上有上（下）

7、界.当g （x）dx收敛时,ua故lim a|f(x)|dxuF(u)=f x dxlim g g(x)dx limG(u)存在.又G(u)单增，从而存在M>0,使得uuug(x)dx G(u) M, u a,),即 F(u)有上界 M.又显然 F(u)单增. alimF（u）存在，从而au 'f x dx必收敛.法二 由于 g（x）dx收敛，根据柯西准则（必要性），对任意 0,存在G> a，当u2> Ui > G时，总有又 | f x | g(x), x a,).因此有 冷 f x |dxu1U2U1x dx根据柯西准则(充分性)| f(x)|dx 收敛.a例

8、1讨论0晋dx的收敛性。解由于sin x1 x2，x 0,)，以及1 x2dx0 1 x2?为收敛(§1例4),根据比较法则,0罟x为绝对收敛。上述比较法极限形式如下:推论1若f和g都在任何a，u上可积,g(x) > 0,且 lxim g x(i)当f x dx 与ag x dx同敛态;(ii)当c=O时，由g x dx收敛可推知f x dx也收敛;(iii)当C=+x时，由g x dx发散可推知f x dx也发散。证明(i)lxim?ixc, c (0,).对M a,当x M时,眯c|号，即从而由比较法则结合性质(ii)由 lim g x0,对从而由比较法则结合性质(iii)

9、由 lim gxx g x从而由比较法则结合性质当选用a作为比较对象为柯西判别法)。| f(X)|g(x)0,0,3c2dx与g x dx同敛态.a,当x M时，皿g(x),从而 |f(x)|g(x),x dx收敛可推知f x dx也收敛.a,当 x M 时，凶J G,从而 |f(x)| Gg(x), g(x)x dx发散可推知f x dx也发散.g(x)dx时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称推论2设f定义于a,）（a > 0），且在任何有限区间a, u上可积，则有:(i)当a,)，且 p> 1 时dx收敛;(ii)当a,），且p冬1时dx发散。推论3设f定义于a,），

10、在任何有限区间a，u上可积，且则有:当 p> 1，0<< +X时,当 pV 1，0<< +X时,limxpxdx收敛;dx发散。讨论下列无穷限积分的收敛性:1)x e xdx ;本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事。1)由于对任何实数都有2limx xex2xlim o.x e因此根据上述推论(P=2,=0），推知1）对任何实数都是收敛的。2）由于因此根据上述推论（P=2，1limxx2 TFT1,= 1），推知2）是发散的。f x dx的比较判别亦可类似地进行。三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。定理（

11、狄利克雷判别法）若F （ u） = ' f xdx在a,）上有界，g （x）在a,）上当xaT +x时单调趋于 0，贝卩_ f xg x dx收敛。证明由条件设f x dx < M, u a,)任给 >0，由于lim g x =0，因此存在Gx>a,当x>G时，有理的推论），对于任何。又因4MU2> U1 >G,存在g为单调函数，利用积分第二中值定理（定u 1，U2，使得U2f x g x dxU1g U1 f xdx g U2U1U2f xdx。于是有根据柯西准则,= gU1证得定理（阿贝尔（f xdxau1f x dxa<2m4Mf xg

12、X dx 收敛。a4M 2mAbel ）判别法）若g U2U2f x dxaf xdxaf xdx收敛，g（x）在上单调有界，则f x g(x)dx 收敛。这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题10）。例3讨论与（p>0）的收敛性。1 xp1 xp解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论:(i)当 p> 1 时 1snpdx绝对收敛。这是因为xpsin X1卩 X 1,)，而 半当p>1时收敛，故由比较法则推知1 xpsin xdx收敛。(ii)当 0VpV 1 时 4呼dx条件收敛。这是因为对任意U1,有xpsin xdx |cos1 cosQ 2，呼dx当p> 0时总是 x P而+当p> 0时单调趋于0 （XT +），故由狄利克雷判别法推知 xP另一方面，由于sin Xpx沁丄曲,X 1,），其中x 2x 2x1釁dx切罕dt满足狄收敛的。利克雷判别条件，是收敛的,所以它是条件收敛而 空是发散的，因此当0V1时该无穷积分不是绝对收敛的1 2x的。例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:1 sinx2dx，1 cosx'dx，1 xsinx4dx o证 前两个无穷积分经换元t=x2得到12sin tsi