第三章第七讲：三角形等高模型及鸟头模型例题精讲.doc

1、VI .0町編拚可作改板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高21三角形等高模型与鸟头模型题库P age 1 of 18从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高Z屮至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的 则三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的髙和底的乘积，而不仅仅取

2、决于高或底的变化.同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究屮，我们还会常常用到以下结论: 等底等咼的两个二角形面积相等;两个三角形髙相等，面积比等于它们的底Z比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高Z比;如左图Si : S2 a : b夹在一组平行线Z间的等积变形，如右上图Sa ACD Sa BCD '反之，如果Sa ACD BCD，则可知直线AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于 与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底Z比；两

3、个平行四 边形底相等，面积比等于它们的高Z比.【例1你有多少种方法将任意一个三角形分成:3个面积相等的三角形；（2） 4个面积相等的三角形；6个面积相等的三角形.【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上. 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍V1.0町編甥可改 求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍3 如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是那么图中阴影部分的面积是平方厘米.4厘米，BC的长是3厘 米，分别是长方形G边上的屮点，为ABCDH AD【例4】如图，长方形的面积是平方厘米，点、ABCD56E F边上的任意一点，求阴影部分的面积.H

4、为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多DG【例5】长方形ABCD的面积为36 cm2 , E、F、G为各边屮点,H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是【例6】长方形ABCD的面积为 36, E、F、G为各边屮点,page 2 of 182三角形等高模型与鸟头模型题库vro 可编粧可»改3三角形等高模型与鸟头模型 题库Page 4 of 18【例7 如右图,在E面积的几倍AD ADBC AD 12厘米.求三角形DE 3的面积是三角形ABCEBCCF、BF那么BEC等积的三角形一共有【解析】【例9】哪几个三角形AEC、AA（第四届”迎春杯”试题A）如图，三角形 ABC的面积为1,其屮AE

5、 3AB ,BD 2BC ,三角形BDE的面积是多少ADAE平方厘米【例10】（2008年四屮考题）如右图,已知阴影部分面积为5平方厘米，EF FCABC的面积是【例门】 如图ABCD分别是它们所在边的屮点.如果长方形的面积是 36个平GVI .0町編甥可改方单位，求三角形 EFG的面积是多少个平方单位.C9三角形等高模型与鸟头模型 题库Page 8 of 18【例12 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影部分的面积.【例13】 如图，三角形 ABC屮，DC 2BD , CE 3AE ,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角

6、形ABC的面积是多少【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89, 28, 26.那么三角形DBE的面积是【例15 （第四届小数报数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线 BD分成了两部分.三角形BDC15分米，它们的的面积比三角形 ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度Z和是差是5分米.求梯形 ABCD的面积.【例16】 图屮aAOB的面积为15cmJ 线段OB的长度为0D的3倍，求梯形ABCD的而积.【例17 如图，把四边形 ABCD改成一个等积的三角形.【例18】（第三届“华杯赛

7、”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是 21 cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米【例19】【例20 如右图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH ,若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米0是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm 2, OAB的面积是Zcm?,求 OBD的面积是多少V1.0町編甥可改【例21】如右图，正方形 ABCD的面积是20,正三角形 BPC的面积是15,求阴影 BPD的面积.C6三角形等高模型与鸟头模型题库Page 9 of

8、18【例22 在长方形 ABCD内部有一点0,形成等腰 AOB的面积为16,等腰 DOC的面积占长方形面积的18% ,那么阴影 AOC的面积是多少【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E、F分别是其两腰 AB、CD的屮点，G是EF上的任意一点， 已知ADG的面积为15cm ，而BCG的面积恰好是梯形 ABCD面积的丄20则梯形 ABCD的面积是cm"【例24】如图所示，四边形 ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.【例25】 如图，正方形 ABCD的边长为& AE , CF 2.长方形EFGH的面积为

9、VI .0町«可»改G【例26】 如图，ABCD为平行四边形, 米.求三角形CDF的面积.EF平行AC,姒果ADE的面积为4平方厘【例27】图屮两个正方形的边长分別是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【例28】 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其屮正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积K8三角形等高模型与鸟头模型题库Page 13 of 18【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图屮，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H ,已知CH等于CF的三分之一，三角形 CHG的面积等于6平方厘米，求五边形 ABG

10、EF的面积.【例30 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD求图点，DF FC,并且甲、乙、丙 3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.屮阴影部分的面积.那么【例31】 如图，已知长方形 ADEF的面积16 ,三角形ADB的面积是3 ,三角形ACF的面积是4 ,三角形ABC的面积是多少【例32】 如图，在平行四边形 ABCD屮，BE EC , CF 2FD .求阴影面积与空白面积的比.【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形 ABC中,D是AB边的屮点，E是AC边上的一点，且AE 3EC , 0为DC与BE

11、的交点.若CEO的面积为a平方厘米,BDO的面积为b平方厘米.且 b a是25平方厘米，那么三角形 ABC的面积是平方厘米.VI .0町編甥可改【例34】 如图，在梯形ABCD屮，AD:BE 4:3, BE : EC 2:3 ,且 BOE的面积比 AOD的面积小10平方厘米.梯形 ABCD的面积是平方厘米.【例35 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分別是13 , 35 , 49.那么图中阴影部分的面积是多少【例36 图屮是一个各条边分别为 5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图屮的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平

12、方厘米9三角形等高模型与鸟头模型 题库Page 14 of 18【例37 如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米，EC 2DE , F是DG的屮点.阴影部分的面积是多少平方厘米C【例38 （2007年六年级希望杯二试试题 ）如图，三角形田地屮有两条小路AE和CF ,交叉处为D ,张VI .0町«可»改大伯常走这两条小路他知道DF DC 日AD 2DE M 两块地ACF和CFB的面积比旱【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级AB2试）如图，BC 45 ,AC 21, ABC 被分11三角形等高模型与鸟头模型题库page 18 of 18成9个面积相等的小

13、三角形，那么DI FK【解析】由题意DI : DCS DIFDIFK【例40】AEHJ可知,所:S dfC 2 ；5，所以DI2DC5以BDBC 10，CD同样分析可得BCFKBD1035 ；又14 10 24 M分別为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行,EB 3 .求阴影部分的面积若ADBC 7,【例41】（2007年人大附屮分班考试题 ）已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 143,求阴影五边形的面积-（丙是三角形HBC）【例42】（2009年四屮入学测试题）如图，已知CD5, DE 7, EF15 , FG 6 ,

14、线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是GG【例43 （2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为 5,那么阴影部分的面积【例44】（2008年走美六年级初赛）如图所示，长方形 ABCD内的阴影部分的面积Z和为70, AB 8,AD15 ,四边形EFGO的面积为【例45 （清华附屮分班考试题）如图，如果长方形 ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米V1.0町編甥可改【例46】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为Wcm的正方形，则阴影部分四

15、边形的面积是【例47】 如图，三角形 AEF的面积是17, DE、BF的长度分別为11、3.求长方形 ABCD的面积.12三角形等高模型与鸟头模型题库page 20 of 18）如图，长方形 ABCD屮，AB 67,【例48】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛BC 30. E、F分别是AB、BC边上的两点，BE BF49 .那么，三角形DEF面积的最小值12的正方形，如图所示， P是内部任意【例49】（2007首届全国资优生思维能力测试）ABCD是边长为一点,BL DM 4、BKDN 5 ,那么阴影部分的面积是VI .0可徧5«可»改13三角形等高模型与鸟头

16、模型题库page 22 of 18边形PQRS的面积之比.【例51】BG : GH :AH 3:2:1 ,AD :BC 1:2 ,已知四边形ABCD的面积等于 4,则四边形EFHG的面积EfC【拓展】如图，对于任意四边形ABCD,通过各边三等分点的相应连线，得到屮间四边形EFGH ,求四边形EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几【例52】(2008NBC、CA的正屮间分PM 和 QN、这时，三角形BQ【例53】 如图:已知在梯形角形BMF、ABCD屮，上底是下底的三角形NFC的面积分別为14、20.【例54 如图，已知ABCD 是梯形，AD BC , AD : BC其中 F是BC边上任意一点

17、,求三角形NDE的面积1:2, S AOF : S doe 1:3, S BEF三角形别取点L、M、N ,在讪AL、BM、CN卜分别取点P、Q、R ,伸LP MQ NR ,当PM和RL、QN和RL的相交点分別是X、Y、Z时，使XY XL.XYZ的面积是三角形 ABC的面积的几分之几请写出思考过程.AOF的面积.O【例55】的屮点-如（2009年迎春杯决赛高年级组） 如图，是一个四边形，、 分别是 、ABCDM NAB CD果 ASM、 MTB与DSN的面积分別是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为page 14 of 1814三角形等高模型与鸟头模型题库VI .

18、0町«可»改15三角形等高模型与鸟头模型题库page 15 of 18板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补, 这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.E在AC上），【例56】 如图在ABC屮，D, E分別是AB, AC 上的点，且AD ： AB 2:5 ,AE : AC 4:7 , Sa ADE 16如图在ABC屮，D,E分別是AB , AC上的点如图（或D在BA的延长线上,则 Sa ABC : Sa ADE (AB AC ) : ( AD AE )平方厘米，求 ABC的面积【例57】 如图在ABC屮，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB : ADAE : EC 3: 2 , Sa ADE 12平方厘米，求ABC的面积.【例58】 如图所示，在平行四边形 ABCD屮，E为AB的屮点，AF 2CF，三角形AFE（图中阴影部分）的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米【例59】 已知 DEF的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD ,CF 3AF ,求 ABC的面积.BDE的【例60】 如图，三角形 ABC的面积为3平方厘米，其屮 AB:BE 2:5 , BC : CD 3:2,三角形面积是多少【例61】（2007年”走美”五年级初赛试题