第7讲不定积分

1、第8讲不定积分 内容精要1.原函数：设f(X)在I上连续，如果存在一个F(x)，使得F (X)= f(X)或者dF(x) = f(x)dx，则称F(x)为f (x)的一个原函数。注意：存在性：连续函数存在原函数，且连续函数的原函数也是连续函数;无穷多性：如果F(x)是f (x)的一个原函数，那么F(x)+c仍是f(x)的原函数。2.不定积分：如果F(x)是f (x)的一个原函数，则称F(x)+c是f (x)的不定积分，用记号Jf(x)dx表示。即 Jf(x)dx = F(x) +C 3.积分与微分的关系 d J f (x)dx = f (x) dx ； 2(ff(x)dx) = f(x); d

2、x JF (x)dx=F(x) +C ； JdF(x)=F(x)+C。4. 不定积分的性质Jkf (x)dx = k J f (x)dx ； Jf(X)+ g(x)dx = Jf (x)dx+ Jg(x)dx 5. 基本积分表Jkdx =kx+C=十 +C,(a H -1)ot +11J-dx =ln x+C XXJaXdX 孟 +CJsin xdx =cosx + CJcosxdx = s in x + C2Jsec xdx =tanx +C2Jcsc xdx =-cotx+CJ secxta n xdx = secx + CJ cscx cot xdx = - cot X + C1f2 d

3、x = arcta n x + C1+x I . dx =arcsin x+C6. 第一换元法 若被积函数f(x)可以写成g(x)(x)，则Jf (x)dx = Jg(W(x)Q(x)dx令 jg(u)du 筍X)= G(u)+cu现)第一类换元法主要用于Jf(x)dx不易计算，而Jg(x)d(x) = Jg(u)du容易求出的情 形。7.第二类换元法设 X =(t)单调可微，且 0(t) H0，若 Jf h(t)4(t)dt =F(t) + C，则Jf(x)dx = F第二类换元法主要用于J f (x)dx不易计算，而J f (x)(t)dt = Jh(t)dt容易求出的情形。8.分部积分法

4、Judv =uv - fvdu9.有理函数的积分有理函数的积分，关键是将真分式分解成几个部分分式之和，首先要正确地写出部分分式的形式，然后确定系数，应该注意：分母分解成一次因式与二次质因式的乘积后，若分母中含有因子k(x+a)，则部分分式中应有k项A1+A2+ Ak(x+ a)k (x+ a)2x + a若分母中含有因子(x? + px +q)s，则部分分式中应有 s项M1X + N1 十 M2X + N2 十+ Msx + Ns (X2 + px+q)s (X2 + px+q)sx2 + px+q10.三角有理函数的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之三角有理函数.一般记为R

5、(sin x,cos x)x令tan-,x曲如u，则有o2u1 usin x= , cosx = , dx1+u21+u2=du1+u2fR(si nx,cosx)dx=.11+u1-u2 ”1 +u2 丿典型例题题型1 ：有关不定积分概念及性质的命题例1 ：设函数f(x)的一个原函数为sin(2x+1)，则 f x)=()(A) 2cos(2x+l)(B) 2cos(2x+1)解：由题意可知sin(2x+1)= f(X)，即 f(X)=2cos(2x+1)所以 f(X)=/sin(2x+1)，故选 D。例2:设函数f(x)有连续导数，则f(3x)dx等于()(A) 3f(X) +C1(B)

6、3 f(3xC(D) 3f (3x)(C) f(3x)+C1 1解：Jf (3x)dx = - Jf (3x)d(3x) =- f (3x) +C，故选 B.33题型2 :分段函数不定积分的计算11 Ovx 1例 1:设 f(l nx)=，及 f(0)=1,求 f(x).X, X a11 t 0解：设|nx=t,x于是原式变为5和，二0 所以，当 t0时，f (t) = Jf(t)dt = Jddt =6 +C2.由于f (t )= Jf t dt = jddt =6 +C2在(w,兄)内连续(包括t=0)，所以其原函数f (x)在(Y,P)内存在且连续，由f(x)在t=0连续,有im f二！

7、im f(t)二f(0)，而f(0)=1，例1:设F(x)是f (X)的一个原函数，则Jcosxf (sin x)dx=()(A) F(x)+C(B)F(sin X)+C(C) -F(x)+C(D)-F(si nx)+C即得C1 =1 +C2 =1.故得C1 =1,C2 =0.所以lx +1 , X f(x)門 X 、题型3:利用第一换元法计算不定积分,x0时,有2 -Xdx12a213a2心H+c当X co时,有相同的结果。dx例2 :求不定积分f dXx2Jx2 -4解:令x=l,当心时，”1dxJR4x(V)原理:反三角函数的代换 令反三角函数为t被积函数f (x)含有arctanx，又

8、含有 一11 +X2,则令 arctanx =t ,从而 x= tant ;被积函数f (x)含有arcsinx，又含有=，则令arcsinx=t，从而x=sint ；求不定积分rarcsin x dx解：令 arcsinx =t ，贝U x =sint，于是x2 J1 -x2arcsin x dcostdt = ft esc 2题型5:利用分部积分法求不定积分 tdtsin tcost=-Jtd(cott) = -(tcott Jcottdt) = tcott +ln sint +Carcs in x +ln x +C例2 :求不定积分fx2 arctan xdx.X2 +1解：令 arct

9、anx =t ，贝U x =tant，于是x2arctanXdx2ta n2t +1X2 +1tdt = Jt tan 2tdt2=Jt(sec t -1)dt2tJtsec tdt Jtdt = Jtd(tant)2t2= ttant-伽tdt-2(I)直接利用分部积分u，其余为dv ；u，其余为dv ；u，其余为dv ；选取反三角函数为 u，其余为dv ；当被积函数为指数函数与三角函数之积时,u,v选取任意，且要用两次分部积分公式。对象：当被积函数为幕函数与三角函数之积时，选取幕函数为 当被积函数为幕函数与指数函数之积时，选取幕函数为 当被积函数为幕函数与对数函数之积时，选取对数函数为 当

10、被积函数为幕函数与反三角函数之积时，2例1:求不定积分Jxtan2 xdx2 2 2 1 2解：fxtan xdx = J(xsec X-x)dx = Jxsec xdxX,12,_i12=Jxd(tanxx =xtan x - Jtanxdx-x1 2= xta nx + l nlcosxl-x +C例2 :求不定积分Jxedx 解：Jxedx = - fxde = -xe+ Jedx = -xe一 Jedx)=一xe一e+C = -(X +1)e+CI 3求不定积分J巴Jdx、x解:兽 dx =-In 3xd(1-l n3x + 34l n2xdxX，XX，11=-In3X-3JIn 2x

11、d(-)=-XX1 . 31,33, -ln x lnx x=ln3 X -3ln2 X -6 Jln xd(1)xxX=-丄1 n3x-3ln2x-6ln x+6f2dxXXX X1 . 33.26.6 ,.=一一In X-ln x-|nx-+CXX=-(ln3 x + 3ln2Xx+ 6ln x+6) +Cx+6f丄In xdx x求不定积分 J (arcsi nx)2dxdx1 解: f(arcsin x)2dx =x(arcsin x)2 - fx 2arcsin x-xV1= x(arcsin x)2+ 2 farcsin xd Ji -x2= x(arcsin x)2+ 2 / X

12、2 arcsin x - 2 J 丿1 -x1J1 -X2dx= x(arcsin x)2= x(arcsin x)2+ 2 Ji x2 arcsin x - 2 Jdx + 2 Ji -x2 arcsin x -2x +C例5:求不定积分 Jxarctanxdx.解 Jxarctanxdx= Jarctanxdx2=arcta nx-1 fdx22T +x2x21 f=arctanx - f M -22、Iijdx2 .x , X 1=a r ct axn- + 2 2ar (xaCn例6 :求不定积分e2? dx解：Je%in2dxJs吟尹-丄 ex sin - +1 fe二X 丄 cos

13、-dx2 2 2 2 21 lx.X 1esi n-2 21 2x.Xesin-2 21 .Xesin-2 2_丄 fcos-dex8 21x一一 e cos-821 e8-2xx cos-21_2x 1 x ,+一 fe (- s in-)dx8 2 21 rlx x . -fe sin -dx16 2一1尹cos2+C1.上屮sinxdx丄ernZ16 2 2 2(n)换元法与分部积分法的结合 例1 ：求不定积分 Jedx解：令 奴=t ,则 X =t3,dx=3t2dtje酥dx =3 Jtdt =3 det-6 Jtddt= 3t2e6 ftdet =3t2et -6te6 fetdt

14、 =3 qd +6+C =須化2 -2t +2) +C =3e 衣(疔-2仮 + 2) +C例2:求不定积分 jcos(lnx)dx解：令 Inx=t,则 X =et,dx =etdt,fcos(ln x)dx = Jet costdt = Jcostdeet cost + Je sintdt=et cost + Jsin td d =cost sint - fet costdt =x cos(l n X)+ xs in (l n x) - fcos(l n x)dxx心0s(lnx)dx=2cos(lnx)+sin(ln x)+C例3 :求不定积分令普dx解：先作变换，令arcsinx =t

15、，则x =sint，于是arcs in x , dxx2 7r7fJcostdt = ft csc2 tdtsi n2tcost-ft d c 0 tt - t( c o 卜 ctodtt )斗cott + ln stn+CIarcsixnx(川)分部积分的杂例例1：求不定积分farcsdx.X解dx = _2 farcsin Vxd J1-x-X= -2/1 -x arcs in 仮中 2 J-xdarcs in 奴=-2Jl -x arcsin 坂 + f-dx vx=-2-x arcsin 仮中 2 V?中 C例2 :求不定积分庁乎dx.xarctanxdx=farcta nxd+x2+

16、 x2=J1 +x2 arctanx - J _ dxTvkX=J1 +x2 arctanx - f dx1+x2=Jl +x2 arctanx In(x + Jl +x2) +C例3 :求不定积分X2 arctan x , dx.X2 +1f X=x arctan x - 1 +x2dx - Jarctanxd(arctan x)解x2a严n Xdx “arctan xdx-00 dxX2 +1、一-、 X +11 2 1 2=Xarctan x 一 In(1 + x ) (arctan x) + C2 2例4：求不定积分Jxf (x)dx解：Jxf 7x)dx = fxd( f (x) =

17、xf(X)- J f (x)dx = xf (x) - f (x) +Csin X例5：设叱为f(x)的一个原函数，求不定积分Jxf (x)dxX.解：由已知得 f f (x)d =-si +C X所以有 f(xHXcOssinXx2又因为 Jxf (x)dx = Jxd(f(X) =xf(x) - J f (x)dxxc c 9(- sin s ixnC例6：设函数f (x)具有二阶连续导数，计算不定积分f f(X)+ f (x)sin xdx解：J f (x) + f (x)sin xdx = J f (x)sin xdx + J f (x)sin xdx=ff( x) si txdJsi

18、 nxd (f (x =f f ( x) s i rxdx f (伙)s+iX f (x ) ccxdx = Jf(x)sin(d 丈f(x) si nX c cxd f x= Jf(x)sirxdx f(x) si nxf (x ) Coxs f x ) sXdx C=f( X)”s i nx - f (X ) c oxS C题型6:有理分式函数的积分dx例1:求不定积分 f2一2(x+1) (X +1)解：这是有理函数的积分，先把被积函数分解成部分分式之和，设A + B + Cx + D(X +1)2(x2 +1) (x+1)2 x+1X2+1(*)有 1 = A(x2 +1) +B(x

19、+1)(x2 +1) +(Cx +D)(x +1)21令x = -1，解得A =-2令 X = 0，得 A + B + D = 1（* ）式两边对x求导得0 =2Ax + B(x2 +1) + 2Bx(x +1) +C(x +1)2 +2(Cx + D)(x +1)令 x = 0，得 B +C + 2D =0 令 x = -1，得-2A + 2B =0 由(1)、( 2)、(3)、(4)解得11A = B = , C = 一，D = 02因此f_(A+B)x2 +(B +C A)x +(A+C)3-(x+1)2(x2 +1)dx,1+ld X +12 x+1 丄 ld(X+1)2 4X2 +1

20、-d(x2 +1)+c2 2(x+1)+C1例2 :求不定积分Jx石dx12Bx + C 2+1 (x+1)(x2-x+1)亠+2x+1 X x + 1x3+1X3 +1从而于是A + B =0B+C -A=0A + C = 1解得aJ3B = 133x-2 13(x+1) 3(x2 x+1 )1 dx 1 2x1 =23 x+1 6 XIdxx+iT11=-l n|x+1 -ln36(x+1)2 + -x+1 Ta2丄.x -x+1dx(x) + 24亠 1+ 2x-1+arctan=- +CV3V31 arcta n2律1 +CV3例3 :求不定积分xfdx3 x -x解:5丄4cX +X -8人r/ 23dx 可(XX -X+ x+12J + x8d+3)dxx -xX丄X丄丄1.cr1.=+ + x+ fdx8f dx3 2x-1x3-xx3 x211111=+ +x + ln|x-1 -81(-丄 +丄亠 +丄 丄)dx3 2x 2x-1 2 x + 132=宁 +牛 +x+8ln|xl -3ln|x_1|-4lnlx+1 +C3 2题型7:三角有理