2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题(本题共6小题，每小题 4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)lim (cos x)1in(r(2)曲面Z2y与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是(3)设x2an0cos nx()，则a2 =(4)从R2的基10, 2到基11的过渡矩阵为2(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x, y)6x,00,X y其他,1,则 PX Y 1(6)已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布N( ,1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，贝y的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函

2、数值(1.96)0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有hy1Ox(2 )设an, bn, c,均为非负数列，且(A) anbn对任意n成立.(B)(C)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点 三个极小值点和一个极大值点(A)(B)(C)(D)lim ann0,lim bnn1,limncn，则必有(3)bnCn对任意n成立.极限lim an cn不

3、存在. n(D)极限lim bnCn不存在. n已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx 0,yf(X, y) xy0.2 2,2(x y )(A)(B)(C)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:,r可由向量组II :S线性表示，则(A)当r S时，向量组(C)当r S时，向量组II必线性相关.(B)I必线性相关.(D)(5)设有齐次线性方程组 若Ax=0的解均是 若秩(A) 秩(B)， 若 Ax=0 与 B

4、x=0 若秩(A)=秩(B)，Ax=0 和 Bx=0,其中 A,BBx=0的解，则秩(A) 秩(B)； 则Ax=0的解均是Bx=0的解； 同解，则秩(A)=秩(B)； 则Ax=0与Bx=0同解.s时，向量组II必线性相关.S时，向量组I必线性相关.4个命题:均为m n矩阵，现有以上命题中正确的是设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且 y 0,x x(y)是y=y(x)的反函数.(A)(C)(6)设随机变量Xt(n)(n 1),Y(B)(D)1亍，(A)2(n).(B)Y 2(n1).(C)Y F(n,1).(D)Y F(1,n).(本题满分10分)过坐标原点作曲线 y=lnx的切线，该切线

5、与曲线(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积四、(本题满分 12分)y=lnx及x轴围成平面图形V.D.并求级数3的和.n 0 2n 11 2x将函数f(X) arctan展开成x的幕级数,1 2x五、(本题满分10 分)已知平面区域D(x,y)0,0 y，L为D的正向边界.试证:(1) *xeSinydysin x 1ye dxxeSin y .dysin x 1ye dx;亠 sin y .(2) xedysin x .ye dx六、(本题满分某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层10 分).汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功 对桩的阻力的大小与桩

6、被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0 ).汽锤第一次击打将桩打进地下设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m表示长度单位米.)七、(本题满分12分).设土层a m.根据试将x=x(y)所满足的微分方程覚(ydydxsin x)(兰)30变换为y=y(x)满足的微分方程;dy(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0, y (0)3的解.2八、(本题满分 12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，f (x2y2z

7、2)dv(nf(F(t)y2)d，G(t)f(x2D(t)t 21 f(X )dxy2)d其中(t)( x, y, z)2X y2 2 , 2,z t ，D(t)(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性.(2)证明当t>0时，F(t)2G(t).九、(本题满分10分)32 2010设矩阵A23 2，P 101，22 3001的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax2by3c 0，丨2 ： bx2cy3a 0，13: cx2ay3b 0.D(t)(X, y)x22 ,2、y t.1 *PAP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为

8、A试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为0.3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记? min(X1,X2, XJ.(1)求总体X的分布函数F(x);求统计量？的分布函数F ?(X)；(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性2003年考研数学一真题评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分

9、，满分24分.把答案填在题中横线上)1/ 八 ，-z 'n(1 X2)1hm(cosx) =尿.【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limr / g(x)“f (x)(1)=e'im( f(x) 1)g(x)进行计算求极限均可n01 T 'im T 'n cosx 【详解 1】lim (cosx)'"1 x) = ex o'n(1 x) x 0sin x而'im 卫cosxx 5(1x2)'n cosx'im 2x 0 x21故原式=e 2【详解2】因为lim (cosxx 01) ln(11 2x'

10、;im x 0 x21所以原式=e 2(2)曲面z2 2x y与平面2x 4yz 0平行的切平面的方程是2x 4y z 5.【分析】 待求平面的法矢量为n 2,4,1，因此只需确定切点坐标即可求岀平面方程，而切点坐标可根据曲面z x2 y2切平面的法矢量与 n 2,4,1平行确定.【详解】令F (x, y, z) z x2y2，则Fx2x， Fy2y， Fz 1.设切点坐标为(xo, yo, Zo)，则切平面的法矢量为 2xo, 2 yo ,1，其与已知平面2x 4y z 0平行，因此有可解得Xo1,yo相应地有Zo2Xoyo 5.故所求的切平面方程为2(x 1)4(y2)(z 5)2x4y

11、z 5.(3)设 x2an cos nx(an【分析】【详解】【评注】将 f(x) x2(f(X)cosnxdx.根据余弦级数的定义,=x2 sin2x1 xd cos2x0)展开为余弦级数0 sin2x 2xdxixcos2xx2 an cosnx(n 0cos2xdx=1.本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算2 1从R的基10,2【分析】n维向量空间中，从基【详解】根据定义，从P= 1,21(5)设二维随机变量PX Y【分析】化为二重积分【详解】)，其系数计算公式12的过渡矩阵为n到基nP,因此过渡矩阵R2的基2P为:P=(X,Y)已知二维随机变量n的过渡

12、矩阵P满足n1n.到基12的过渡矩阵为的概率密度为(X,Y)的概率密度f(x,y)，Pg(x, Y) Z0 =g(x,y)由题设，有求满足一定条件的概率f (x, y)dxdy进行计算.Z0Pg(X,Y) z0，一般可转4【评注】本题属基本题型,但在计算二重积分时，应注意找岀概率密度不为零与满足不等式X y 1的公共部分D，再在其上积分即可(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布 N( ,1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，贝U的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.96)0.975, (1.645)

13、 0.95.)【分析】已知方差1，对正态总体的数学期望进行估计，可根据d N(0,1)，由P确定临界值U ，进而确定相应的置信区间"2【详解】由题设,0.95，可见0.05.于是查标准正态分布表知U1.96.本题n=16,2X 40,因此，根据P1.960.95,有P401.960.95，即P39.51,40.490.95，故的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给岀的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，贝yf(x)有

14、(D)(E)(F)(D)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点 三个极小值点和一个极大值点O【分析】答案与极值点个还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定>X数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点左侧一阶导数为(C).f(x)的图象去推导(2)设an, bn, cn均为非负数列，且lim an n0,lim bn 1,lim cnnn，则必有(A)anbn对任意n成立.(B)bncn对任意n成立.(C)极限lim an cn不存在.n(D)极限lim bnCn不存在. n【分析】本题考查极限概念，极限值

15、与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限lim ancn 是 0n型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim bnCn属1型，必为无穷大n【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选二中曾岀现过，当时考查的是已知【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、f(X)的图象，本题是其逆问题量，即不存在.【详解】用举反例法，取 an-，bn

16、1，Gn扌门1,2,)，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim 2x 0,y0 (x2f (X, y) xy2)2 1，y )(A)(B)(C)(D)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.点(0,0)是f(x,y)的极大值点.点(0,0)是f(x,y)的极小值点.根据所给条件无法判断点 (0,0)是否为f(x,y)的极值点.【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点f(x,y)是恒大于零、恒

17、小于零还是变号.(0,0)的充分小的邻域内【详解】li0m 0>1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,f(x,y) xy(x2y2)2 (ix,|y|充分小时)，于是可见当y=x且x充分小时，f (x, y) f (0,0) x2 4x40 ；而当y= -x且x充分小时,24f (x,y) f (0,0) x 4x 0.故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A).将极【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度 限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.(4)设向量组I:,r可由向量组II :1,2,s

18、线性表示，则S时，向量组II必线性相关. s时，向量组I必线性相关.(A)当r s时，向量组II必线性相关.(B)当r(C)当r s时，向量组I必线性相关.(D)当rD 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组,r可由向量组II:1, 2, , S线性表示，则当r S时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组 I : 1, 2, , r可由向量组II :S线性表示，且向量组I线性无关，则必有 rS.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】用排除法:00, 110, 2102，但2线性无关，排除(A) ；100, 210，则1,2可由1线性表示

19、,1线性无关，排除(B)；1可由2线性表示，但1线性无关，排除(C).故正确选项为(D).【评注】通过构造适当的反例找到正确选项.(5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:若Ax=0的解均是若秩(A) 秩(B)，若 Ax=0 与 Bx=0 若秩(A)=秩(B)，本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)； 则Ax=0的解均是Bx=0的解； 同解，则秩(A)=秩(B)； 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) .(B) (C).(D) 【分析】 本题也可找反例用排除法

20、进行分析，但 ，迅速排除不正确的选项.【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n -.B 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题成立,过来，若秩1(A)=秩(B)，则不能推岀 Ax=0与Bx=0同解，如 A0，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与【例】Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为齐次线性方程组 Ax=0与Bx=0同解的充要条件(B) A,B为相似矩阵.(D) A,B的列向量组等价.(B).(A)r(A)=r(B).(C) A, B的行向量组等价.有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案(6)设随机变量Xt(n)(n 1)

21、,Y1XT，则(A)2(n).(B)2(n 1).(C)丫F(n,1).(D)Y F(1,n).【分析】先由t分布的定义知 X用F分布的定义即可.【详解】由题设知，X Ur1 5JVn2其中 U N(0,1),V -(n)，于是U21，其中UN(0,1)，V(n)，再将其代入丫亍，然后利VV/C/n，这里U21Y -2 = rXUUy2 (1)，根据F分布的定义知 Y 丄 F (n,1).故应选(C).X【评注】本题综合考查了t分布、2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义三、(本题满分 10分) 过坐标原点作曲线 y=lnx(3) 求D的面积A;(4) 求D绕直线x=e旋

22、转一周所得旋转体的体积的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.V.A；旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积减去【分析】 先求岀切点坐标及切线方程，再用定积分求面积一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】设切点的横坐标为xo，则曲线y=lnx在点(x0,l nxo)处的切线方程是由该切线过原点知lnx010，从而x0 e.所以该切线的方程为平面图形D的面积Vi0.也可考虑用微元法分析的和.1V2(2)切线y -x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为e1 2-e .3曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为

23、(e ey)2dy ，【分析】 幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开,转化为可利用已知幕级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数即通过适当的恒等变形、求导或积分等,1的幕级数展开1 X即可,然后取x为某特殊值,得所求级数的和【详解】因为(X)21 4x22( 1)n4nx2n,xn 0(2£).2 2又f(0)=-所以2n 1,X(1)n4nxX n 0 2n 1因为级数0 2n函数f(x)在X1处连续，所以2f(2)LJ)4n0 2n22n 1 (1)nn 0 2n 11再由fG)0，210 分)五、(本题满分已知平面区域D(x,y)0,0，L为D的正向边界.试证:sin

24、 y 1(1) xedysin X 1ye dxxesin Xsin y .sin X .dy ye dx；(2) xe'"sin X Iye dx【分析】到用格林公式;【详解】(1)的结果.本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想 (2)的证明应注意用方法一：(1)左边=0esinydysin X e dx/ sin X(esin X)dX，所以右边=0 e sin ydyz sin X0(esin X Ie dxsinx)dx亠 sin y Ixe dy ye，十sin X由于esin Xsin Xedx xe2，故由(sin

25、y Isin X Idy ye dx.1)得方法二：（1）根据格林公式，得sin y .sin x .0 xe dy ye dxsin y .sin x .0 xe dy ye dx(esinyD(e sin yDsinx -e )dxdy，sin X .)dxdy.因为D具有轮换对称性，所以e sinx）dxdy= （eD(esinyDsin ysin X 11e )dxdy，sin y 1故 0 xe dy yesin x.sin y -dx 0 xe dysin xyedx.(2)由(1)知sin y -=e dxdyD=esinxdxdyD=（esinx e sinx）dxdy 2dx

26、dy 2 2.DD【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算岀来的，因此期望通过计算岀结果去 证明恒等式与不等式是困难的.另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结 果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0 ）.汽锤第一次击打将桩打进地下设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0<r<1）.问（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下

27、多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限sin X ,dxdysinxdxdy （利用轮换对称性）De sinx)dxdy.设土层a m.根据【详解】（1）设第n次击打后，桩被打进地下Xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn（n1,2,3,).由题设，当桩被打进地下的深度为Z »2x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以k 2a ，2由W2rW1可得即2X2(1r)a2由W3rW2r22X3(1r)a从而X3rWi可得2 2r ar2a,即汽锤击打3次后，可将桩打

28、进地下 扌1 ram(2)由归纳法，设XnJ1 r r21a，则由于Wn从而于是=抽1rWn r2Wn2xn 1Xn 1(1n 1 2 1r )a .r nW1，故得(1 rn 1、2 n 2r )a r a ,J1 r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下m.但用定积分求变力做功并【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度 不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、(本题满分12分)设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y=y(x)的反函数.d2x(1)试将x=x(y)所满足的微分方程 一2(ydydxsin X)(上r)30变换为y

29、=y(x)满足的微分方程;dy(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0, y (0)3的解.2dx【分析】将匹转化为dy吐比较简单,dxdxdy1dydx关键是应注意:d2xdy2于是有.d(dx) = A(±)空dy dy dx y dyy(y)'.然后再代入原方程化简即可dx【详解】(1)由反函数的求导公式知dyd2xdy2d ,dx、d 1()ydx y2ydy代入原微分方程得sin X.(2)方程(* )所对应的齐次方程设方程(*)的特解为y AcosX B sin1代入方程(* )，求得A 0,B-23由 y(0) 0, y (0)2，得 C1【评注】本题的核

30、心是第一步方程变换八、(本题满分 12分)设函数f(x)连续且恒大于零，f (X2y2 z2)dv(t)F(t)f(X2D(t)y2)d0的通解为，G(t)其中(t)(x,y,z)X2(1)讨论F(t)在区间(0,(2)证明当t>0时，F(t)1 . -Sin X， 2从而y y sin X的通解是1.故所求初值问题的解为f(X2 y2)dD(t)t 21 f(X2)dXz2t2，D(t)内的单调性.-G(t).(X, y)x2y2 t2.【分析】(1)先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数F (t)的符号确定单调性;将待证的不等式作适当的恒等变形

31、后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】(1)因为F(t)0d2d0t 2 2f(r2)r2sin dr0 ' ，t 20 f (r )rdrt2 220f(r2)r2drt20 f (r )rdr(t)2 t 22tf(t)0f(r)r(t r)drt 2 20 f(r )rdr所以在(0,)上 F (t)0,故F(t)在(0,)内单调增加.(2)t 2G(t)0f(r2)rdrf 2 0f(r2)dr0要证明t>0时F(t)2-G(t)，只需证明t>0 时，F(t) -G(t) 0，即g(t)t0 f (r J)r Vr 0 f (r Jdrt 2 20f(r

32、 )rdr,g(t)f(t2) ； f(r2)(t r)2dr 0,故 g(t)在(0,)内单调增加.因此,因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(O). 又 g(0)=0,故当 t>0 时，g(t)>0,2当 t>0 时，F(t) -G(t).【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明 事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：b2a f(x)g(x)dx(2)中的不等式,b 2 b 2f (x)dx g (x)dx ,aa在上式中取f(x)为Jf(r2)r, g(x)为Jf (r2)即可.九、(本题满分10 分

33、)3设矩阵A 201 , B P 1 A P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求岀A , P，进而确定1 *P A P及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量;或先求岀A的特征值与特征向量, 特征值与特征向量.【详解】方法一：经计算可得再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求岀其从而A*1A900B 2EE (B 2E)2(9) (3),5故B+2E的特征值为19,3.9时,解(9EA)x 0,得线性无关的特征向量为所以属于特征值29的所有特征向量为k1 1k2 2k1k20 ，其中k1, k2是不全为零的任意

34、常数133时，解(3EA)x0 ,得线性无关的特征向量为所以属于特征值方法二：设又因于是有因此,由于3 3的所有特征向量为 k3 3 k3A的特征值为，对应特征向量为A* A IAe，故有B(P 1B+2E故A的特征值为A*)P 1A* P(P 1 )的特征值,2 1,1 ，其中k30为任意常数.1，即A（P ）,对应的特征向量为P 17.由于A 70,所以 0.(1)2(7),11021 时，对应的线性无关特征向量可取为7 时，因此， 对应于特征值B+2E对应于特征值k3P 1评注】设对应的一个特征向量为0 ，得 P11的三个特征值分别为9 的全部特征向量为9，9，3.1.，P1，P10.1

35、.k2P 1 2 k1103 的全部特征向量为k21 ，其中k3 1 ，其中 k3 是不为零的任意常数1ki,k2是不全为零的任意常数;1P 1AP ，若 是 A 的特征值，对应特征向量为，则 B 与 A 有相同的特征值，但对应特征向量不同， B 对应特征值 的特征向量为 P 1本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力 征值以及 A 与 A* 的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量 .十 、（本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为.不过利用相似矩阵有相同的特l1 : ax2by3c0，l2: bx2cy3a0，l 3 :cx2ay3b0.试证这三条直线

36、交于一点的充分必要条件为 a b c 0.【分析 】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均 为 2.【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线li,| 2,13交于一点，则线性方程组ax2by3c,bx2cy3a,(*)cx2ay3b,2baa2b3c有唯一解,故系数矩阵2c与增广矩阵A2c3a的秩均为2,于是A 0.由于2b3c2c3a2a3bbc)(a2(b c)bc 0ca6(abc3(a2但根据题设 (a b)(c充分性：由 ab)22a(ba)22a3bc)a2b2c2ab acbec)2 (c0，故，则从必要性的证明可知,a)2,0，故秩(A)3.由于123 22(a 1b)2 ；b2 0，故秩(A)=2.于是,秩(A)=秩(A) =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线ll, l 2,1 3 父于一点.方法二：必要性设三直线交于一点(xo, yo)，则X0y0 为 Ax=01的非零解，其中于是0.3(a但根据题设(ab)2